史上最全直线与直线方程题型归纳.docx
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史上最全直线与直线方程题型归纳
史上最全直线与直线方程题型归纳
直线与直线方程
一、知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率:
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为「,那么「就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是O°W:
v180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.
2.斜率公式:
经过两点R(Xi,yJ,P2(X2,y2)的直线的斜率公式:
(X1=X2)
x2
3.直线方程的五种形式
直线形式
直线方程
局限
性
选择条件
点斜
式
y—yi=k(x—xi)
不能表示与x轴垂直的直线
1已知斜率
2已知一
占
八\、
斜截
y=kx+b
不能表示与X轴垂直
①已知斜
率
式
的直线
②已知在y轴上的截距
两点
式
y―yi_x―xjy2―yiX2―xi
(N式%2,%式y2)
不能表示与x轴、y轴垂直的直线
1已知两个定点
2已知两个截距
截距
式
xy‘
-+-=1
ab
(a、b分别为直线在x轴和y轴上的截距)
不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线
已知两个截距(截距可以为负)
一般式
Ax+By+C=0
(A、B不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的结果均可化为一般式方程
7.斜率存在时两直线的平行:
Ii//i2=ki=k2且bi=b2.
8.斜率存在时两直线的垂直:
ll」2二kjk2=-1.
9.特殊情况下的两直线平行与垂直:
当两条直线
中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;
(2)当另一条直线的斜率为0时,-条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.
、典例精析
题型一:
倾斜角与斜率
【例1】下列说法正确的个数是()
1任何一条直线都有唯一的倾斜角;
2倾斜角为300的直线有且仅有一条;
3若直线的斜率为tan二,则倾斜角为二;
4如果两直线平行,则它们的斜率相等
A.0个B.1个C.2
【练习】如果AC<0且BC<0,那么直线
AxByC=0不通过(
A.第一象限B.第二象限C.第三象限
D.第四象限
倾斜角为a斜率为k,则()
A.ksino>QB.kcosQO
【例2】如图,直线I经过二、三、四象限,l的
D・kcOSaW0
【练习】图中的直线h,12,13的斜率分别为ki,k2,k3」i」()•
A.ki C.k3 【例3】经过点P(1,2)作直线I,若直线I与连接AO,—1,B4,1的线段总有公共点,求直线I的倾斜角: 与斜率k的取值范围。 【练习】已知两点A-3,4,B3,2,过点P2,-1的直线I与线段AB有公共点,求直线I的斜率k的取值范围。 【例4】若直线1的方程为y=xtan: 2,则() A.: —定是直线i的倾斜角B.: 一定不 是直线I的倾斜角 C.n——定是直线1的倾斜角D.: 不一定是直线1的倾斜角 【练习】设直线axbyc=0的倾斜角为: ,且 sin二ncos: -0 则a、b满足( A.ab=1 B.a—b=1 C.ab=0 题型二: 斜率的应用 【例5】若点A2,2,Ba,0,C0,4共线则a的值为 ■ 【练习】若三点A2,2,Ba,0,C0,bab=0共线,则--ab的值为. 【例6】已知实数x、y满足2xy=8,当2皿3时,求-的最大值为,最小值为 x 【练习】1、若a呼A罟宀罟,则() A.a: b: : cB.cbaC.c: a: : b D.bac 2、求函数 x 2—1y= 2+1 的值域. 题型三: 两直线位置关系的判断 已知,两直线11,12斜率存在且分别为k「k2,若两直线平行或重合则有kk2,若两直线垂直则 有k! k2. 【例7】已知直线11的倾斜角为60,直线12经过点 A(lJ,3),B—2,—2胚),判断直线11与12的位置关系. 【练习】1、已知点P2,3,Q4,5,A—1,a,B2a,2当a为 何值时,直线PQ与直线AB相互垂直? 2、已知直线m1经过点A3,a,Ba—2,3,直线m2经过 点M3,a,N6,5,若m1_m? ,求a的值. 【例8】在平面直角坐标系中,对a^R,直线 11: x—2ay1=0和l2: 2axy—1=0( A-互相平行 C.关于原点对称 y=—x对称 ) B.互相垂直 D.关于直线 【练习】直线3a2x1—4ay8=0与5a—2xa4y—7=0垂直,求a的值. 题型四: 求直线方程 (一)点斜式 【例9】根据条件写出下列直线的方程: (1)经过点A(1,2),斜率为2; (2)经过点B(—1,4),倾斜角为135。 ; (3)经过点C(4,2),倾斜角为90; (4)经过点D(—3,—2),且与x轴平行. 已知直线过一点,可设点斜式 【练习】已知ABC中,A1,—4,B2,6,C—2,0,AD_BC于D,求AD的直线方程. (二)斜截式 【例10】根据条件写出下列直线的方程: (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150,在y轴的截距为一2; (3)倾斜角为45,在y轴上的截距为0.已知斜率时,可设斜截式: 【练习】求斜率为3,且与坐标轴围成的三角形 4 周长是12的直线i的方程. (三)截距式 【例12】根据条件写出下列直线的方程: (1)在x轴上的截距为一3,在y轴上的截距为 2; (2)在x轴上的截距为1,在y轴上的截距为一 4; 与截距相关的问题,可设截距式 【练习】直线I过点P4,3,且在x轴、y轴上的截距之比为1: 2,求直线I的方程. (4)两点式 【例11】求经过下列两点的直线方程: (1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“两点确定一条直线” 【练习】过点M0,1作直线I,使他被两条已知直线h: x—3yTO和—xy4=0所截得的线段AB被点M平分.求直线I的方程. 【例12】1、已知点A(3,3)和直线i: y#x-斗 求: (1)经过点A且与直线|平行的直线方程; (2)经过点A且与直线i垂直的直线方程. 2、已知三角形三个顶点的坐标分别为A(—1,0),B(2,0),C(2,3),试求AB边上的高的直线方程.(思考: 如果求AB边上的中线、角平分线呢? ) 【例13】已知直线i的斜率为2,且i和两坐标轴围成面积为4的三角形,则直线i的方程为 【练习】已知,直线|经过点(一5,—4),且与两坐标轴所围成的三角形面积为5,则直线i的方程为 【例14】直线l不经过第三象限,其斜率为k,在y轴上的截距为b(b*o),贝U() A.k乞0且b0B.k_0且b0C.k: : 0且b0 D・k0且b0 【练习】两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是() D. 三、课后练习 <一>选择题: 1、若直线I: y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点 位于第一象限,则直线I的倾斜角的取值范围 () A. (n,n) (n,n) D. n】 2、已知直线11: (k-3)x+(5-k)y+1=0与12: 2(k-3)x-2y+3=0垂直,则K的值是() A.1或3B.1或5C.1或 4D.1或2 3、直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右 平移1个单位,所得到的直线为() C.y=3x—3 D.y=3x1 <二>填空题: 1、在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号)• 1存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 2如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点 3直线I经过无穷多个整点,当且仅当I经过两 个不同的整点 4直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条 件是: k与b都是有理数 5存在恰经过一个整点的直线. 2、若点P0,-2在直线I上的射影为Q—1,1),则直线I 的方程为. 3、在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一 条直线与函数f(x)=百的图象交于P、Q两点,则x 线段PQ长的最小值是. <三>解答题: 1、设直线h: y=k,xT,I2: k2x—1,其中实数k“k2满 足k—k22=0,证明|1与I2相交. 2、已知直线方程为y=kxb,当x—3,4时,y—8,13】,求此直线的方程. 3、当0a: : 2时,直线I1: ax—2y=2a—4与I2: 2xa2^2a24和两坐标轴围成一个四边形,问a取何值时,这个四边形的面积最小? 并求出最小面积.
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