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核心词解读三空间观念定稿
跨越断层,走出误区:
《数学课程标准》核心词的实践解读之三
上海市静安区教育学院曹培英
核心词三“空间观念”
一、还原空间观念的本来面目
1.空间观念一词的由来
建国以来,历次颁布的小学算术(数学)教学大纲中,最早出现“空间观念”一词的是1956年印发的《小学算术教学大纲(修订草案)》。
原文是:
“在小学里学习几何教材,除了可以使儿童获得几何方面的一些初步知识和应用这些知识的技能之外,还可以发展他们的空间观念”。
⑴
该“草案”是根据前苏联小学算术教学大纲编译的。
据参加编译和修订工作的曹飞羽先生说,本应译成“表象”,考虑到当时这一心理学名词比较生僻,怕教师不理解,所以改译成“观念”。
因为观念的词义,除了作思想意识或认识、看法解之外,还可以解释为“客观事物在人脑里留下的概括形象”,也就是表象。
从此,“空间观念”就一直沿用至今。
1986年,笔者参加《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》研制工作时,鉴于当时还没有空间观念的明确界定,且“表象”一词已被多数小学数学教师所熟知,曾提议是否改回“表象”。
经研究,发现小学数学的教学实践,已经突破了“表象”的局限。
例如,教师给出长方体长、宽、高的厘米数,学生能够比划出长方体的大小,这实际上是空间想象的初步表现。
本来,表象有记忆表象与想象表象之分,想象有再造想象与创造想象之别,表象与想象,很难截然划清边界。
但当时初中数学教学大纲继续采用“空间观念”的提法,小学数学教学大纲自然不宜出现“想象”。
比较而言,空间观念的内涵比空间表象更为宽泛,留有余地。
既然如此,还是不改为好。
2.相关概念的梳理
作为实践解读,本不该过于追究术语、概念,但由于空间观念这一核心词的重要性(仅次于数感)与特殊性(由来的中国特色),适当梳理是必要的。
读者可根据个人的需要,选择性阅读。
一般认为,“观念”一词源自古希腊的“永恒不变的真实存在”。
它同物质和意识关系密切。
由此可以认为,它原本是一个哲学术语。
从心理学的视角看,与空间观念有着紧密联系的概念有空间知觉、空间表象、空间想象和空间能力。
(1)空间知觉、空间表象与空间想象⑵
空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉。
空间表象是在大量空间知觉的基础上,形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象。
在认知心理学中,表象既是信息加工的成果,又是信息加工的过程。
空间想象是指在事物或图形的影响下,在言语的调节下,头脑中已有空间表象经过加工、改造、结合,产生新表象的心理过程。
显然,空间知觉是空间表象的基础,空间想象是空间表象的发展。
正是由于表象处在“承前启后”的地位,同时作为一种信息表征它在记忆与思维中又起着重要的作用,所以随着认知心理学的兴起,关于表象的研究,可谓方兴未艾。
一般来说,从知觉到表象、到想象,这三种认知水平是递进发展的。
教学观察表明,同一年龄阶段的小学生中,不同的个体又可能表现出不同的水平。
例如,让五年级学生指认圆柱的高:
个别学生能正确指认圆柱实物的高(如图1),但在指认圆柱图形的高时,出现了错误(如图2),表明这类学生只达到了“实物识别”即空间知觉的水平。
有的学生不仅能正确指认圆柱图形的高(如图3),表现出“图形识别”即空间表象的水平,还能根据提示语“长方形绕着它的一条对称轴旋转”,在圆柱正视图上正确指认该圆柱的高(如图4),表明这类学生已经达到了“剖面识别”即空间想象的水平。
从实物识别到图形识别、剖面识别,实际上也反映了表象概括水平的发展,特别是表象的流动性、可操控性(心理操作)的发展。
教学观察还发现,同一个学生在某种场合表现出这种水平,换个情境又可能表现出另一种水平,说明三种空间认知水平在同一个体中还会交错共存。
上面的问题情境,没有刻意排除知识(如“高”的概念)的理解,对于空间认知水平表现的影响。
这是因为笔者认为:
试图完全剔除知识、经验影响的实验研究,比较适合学龄前儿童;当实验对象是小学生时,这方面的努力常常是徒劳的。
类似的例子如:
从小喜欢玩积木及各种玩拼装玩具的男孩,与喜欢玩娃娃的女孩,入学后自然会表现出空间认知水平的性别差异。
有经验的教师都能发现这一现象,尽管差异会随着年龄的增长而有所减弱。
但很多量化分析空间认知性别差异的研究,在筛选实验对象时,几乎都没有考虑各种活动经验的同等条件,因为这样做是非常困难的。
再说,在数学教育的语境中讨论空间认知,自然会联系教学内容,剥离几何知识的研究,难免拉大与教学实际的距离。
因此,教学环境下的实验,不那么精准,却具生态性,对教学实践更有启发意义。
(2)空间能力
心理学关于空间能力的研究由来已久。
不少学者认为空间能力是智力的一个重要的相对独立的成分,比如被誉为多元智能之父的加德纳认为,空间能力是几种“相对自发的人类智能”中的一种。
然而,对空间能力的界定与结构分析,至今尚无定论。
按照能力的通常定义推演,空间能力应该是指人们顺利完成空间问题解决活动所必备的个性心理特征。
这与加德纳关于智能的定义“量度一个人问题解决能力的指标”是一致的。
就认知活动来说,空间能力是以空间形式为主要对象,以空间知觉、表象和想象为主要心理活动过程,在头脑中进行几何抽象、分析与综合(包括图形的分解与重组)、判断与推理(包括图形的运动及二维、三维间的转换)的思维能力。
简言之,所谓空间能力主要是特定领域内的思维能力。
上述概念的关系,可以大致图示如下:
空间知觉→空间表象→空间想象及其他思维
图5
空间能力
严格地说,思维与能力是两个有区别的概念,空间能力也不仅仅是空间思维(信息加工),还包含空间问题解决(信息输出),但无可否认的是,空间思维是空间能力最主要的构成要素,将两者视为一体并忽略其他附属因素不失为一种研究策略。
为数众多的研究已经表明:
空间能力对从事数学研究和科学、技术工作甚至一般工作的人来说,都是重要的;经过一定的训练可以提高空间能力的水平;小学阶段的训练也是如此。
⑶
(3)空间观念
笔者以为,所谓“空间观念”是一个具有中国特色的数学教育术语,它的内涵只能靠我们自己,基于实践研究,借鉴相关理论来给予界定或描述。
从词语的实际使用情况看:
一般教师大多把它视为表象、也会不知不觉地进入想象;学者们大多把它作为空间能力即空间思维的代名词,尤其是在课程标准中,将图形的抽象、分析等典型思维活动都纳入空间观念的范畴,其实就是在空间能力的意义下使用“空间观念”这一术语。
通过前面的分析,不难看出两种使用倾向实际上是趋同的。
据此,本文以下论述就不再区分空间观念与空间能力、空间思维,一概称之为空间观念。
在小学,空间观念以空间表象为主要表征形态,也包括一定的命题表征,并涉及空间知觉与初步的空间想象。
关于空间观念这一术语的中国特色,不妨再补充一个例证。
全美数学教师理事会于1988年前后制订的《美国学校数学课程与评价标准》,于2000年出版的《美国学校数学教育的原则和标准》,人民教育出版社都有中译本。
前一书,由国内学者翻译,多处出现空间观念一词。
如:
“对于2—3维图形及其性质的领会和感知,图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面。
”⑷
后一书,主要由旅居海外的学者翻译,书中难觅空间观念。
相应的语段如:
“空间想象——建立和操纵二维和三维物体的心智表征,及从不同角度观察一个物体的能力,是几何思维的重要方面。
”⑸
询问前一书有关章节的译者张卫国先生,他说是按照我国的用语习惯意译的。
经查,原词是spatialsense,如果直译,应为空间知觉或空间感。
感谢友人相助,仔细查阅后一书的原著,不见spatialsense,取而代之的是spatialvisualization(空间想象)、spatialreasoning(空间推理)、Geometricthinking(几何思维)等,揣想可能是前后两书不同作者或研究进展的缘故。
关于空间观念也包括一定的空间想象,有必要再展开作些说明。
一段时间以来,国内数学教育界比较普遍的看法是,空间想象要求过高。
所以包括初中在内的义务教育阶段只提培养空间观念。
事实是,想象的难易,很大程度上取决于想象的具体内容:
简单的形体,小学生都能想象;复杂的形体,大学生也难以建立表象,更不要说想象。
例如,本人执教“圆柱的认识”时,曾经有过一段有趣的师生对话。
师:
想象一下,一个圆柱体直径20厘米,高1厘米。
谁来描绘一下这个圆柱?
生:
这个圆柱体比较大、很矮,像个圆盘。
师:
见过这样的圆盘吗?
生:
没有。
师:
能画出图来吗?
生:
可以。
……
本以为学生会联系生活经验,回答这是一张大饼,实际却无人有此联想;先前教学中出示了圆柱体的教具和一些圆柱形的实物图片,但没有如此特殊的形状。
由此推断学生回答时,记忆表象中还没有这样的圆柱变式,他们是凭借想象,对头脑中的圆柱表象(标准图形),依据已知尺寸作了改造。
这是限制在基础知识范围内一般学生都能完成的想象,比较接近表象水平。
进一步更典型的想象,在许多灵活应用的练习中常有充分表现。
例如:
一根表面积是138平方厘米的长方体木料,相对的两个面是正方形,正方形的边长小于长方体的长。
从木料一头锯下一个最大的正方体,剩下部分的表面积为98平方厘米,求锯下的正方体表面积。
习题没有图示,凡能正确解答的学生都能清楚解释“(138-98)÷4×6”每一步计算的结果是什么,表明他们在头脑里想象出了前后表面积的差,是锯下的正方体4个面的面积:
相反的实例,如“马鞍面”即双曲抛物面(图7),很多大学生学过之后画不出草图,观察多媒体演示也无济于事,说明他们并没有形成该曲面标准图形的记忆表象。
透过诸如此类的例证,不难得出启示:
尽管我们将小学生的空间观念主要定位在空间表象水平上,因为它切合小学生空间观念的现实水平;但不应排斥空间想象,因为它在小学生空间观念的邻近发展区内。
二、怎样把握空间观念
1.教学文件中关于空间观念的阐述
在我国,1963年颁布的《全日制小学算术教学大纲(草案)》,首次在“教学目的”中提出了“具有初步的逻辑推理的能力和空间观念”的要求⑹,但未阐述什么是空间观念。
1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》⑺,以及1986年的《全日制小学数学教学大纲》⑻,都只是提出同样的要求,仍没有加以阐述。
1992年的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》,第一次对培养初步空间观念的要求,作了比较具体的描述:
“使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象,能够识别所学的几何形体,并能根据几何形体的名称再现它们的表象,培养初步的空间观念。
”⑼
这段话言简意赅,首先刻画空间观念是指建立什么样的表象,然后说明最主要的表现“识别”与“再现”,至于未尽内涵,则用“培养初步的空间观念”概括。
2001年的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,进一步作出更详细的阐述:
“空间观念主要表现在:
能由实物的形状想像出几何图形,由几何图形想像出实物的形状,进行几何体与其三视图、展开图之间的转化;能根据条件做出立体模型或画出图形;能从较复杂的图形中分解出基本的图形,并能分析其中的基本元素及其关系;能描述实物或几何图形的运动和变化;能采用适当的方式描述物体间的位置关系;能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考。
”⑽
这段文字的内容非常丰富,有五层意思。
一是空间想象方面的表现,包括两种转换,即实物形状与几何图形、几何体与三视图、展开图之间的可逆转换。
二是动手操作方面的表现,制作模型、画出图形。
三是空间分析方面的表现,复杂图形的分解、分析。
四是空间描述方面的表现,描述运动变化、位置关系。
描述位置关系还特别强调“采用适当的方式”。
因为即便是在小学阶段,也要先后学习多种方式,即“上下前后左右”、“有序数对”、“方向和距离”、“相交或平行”。
五是用图形描述问题和直观思考,相当于新版课标中的第四个核心词“几何直观”。
空间观念的种种表现,已经列举的相当全面、详尽了。
如果说有遗漏的话,那就是图形的抽象、图形的特征或者说性质。
修订后的新版课标,关于空间观念的语段是:
“主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。
”⑾
很明显,比课标实验稿更为精炼、概括,揣摩意图,可能意在突出重点、削枝强干。
空间想象方面,增加了想象方位和位置关系,补上了根据特征抽象出几何图形。
这里的“特征”显然是指几何特征,这里的“几何图形”可以理解为包括平面图形、立体图形及其三视图、展开图。
空间描述方面,只留描述运动变化,位置关系不再重复。
动手操作方面,强调画出图形,省略了制作模型。
虽说“制作”是培养空间观念的有效手段,但毕竟不是数学教育的“核心”。
用图形描述问题和直观思考,单列了一个核心词“几何直观”予以强调。
删去了空间分析方面的要求,对小学数学来讲,关系不大。
立足于小学数学实际,课标两个文本中的“想象”,以空间表象水平的再认、再现及联想为主,可以认为主要是日常习惯用语,还不是心理学严格意义上的纯粹空间想象。
2.空间观念的主要表现
不管把空间观念理解为“空间能力”,还是“表象+初步的想象”,出于教学实践的需要,教师最为关注的还是空间观念的具体表现。
概括地说,小学生空间观念的表现,主要就是在所学几何形体的现实原型、几何图形与它们的名称、特征之间建立起可逆的“刺激—反应”。
实际事物名称←→特征
图形←→变换
以受到实际事物的刺激生成的反应为例。
看到手帕的反应是,这是一个正方形,头脑里出现图形,想到它的四条边相等,四个角都是直角,等等。
提到香港特别行政区的区旗,想到旗面是长方形,五片花瓣可由其中一片旋转得到,有的学生还能看出瓣叶顶端的五个点在同一圆上,等等。
走在某一十字路口,反应出这两条路互相垂直,有时还联想到邻近的某条路与这两条路之一平行,等等。
看到皮鞋盒,头脑里出现它的立体图、三视图、展开图,想到它的面、棱、顶点的特征,等等。
上面例举的“刺激—反应”过程,包含了图形的抽象、图形及其位置关系的识别、图形性质的再现、图形的运动变化,以及立体图与其三视图、展开图的转换,也反映了表象与词语的双重编码效应。
至于空间观念的描述表达,无非是语言描述、画出图形和符号表示,其实就是数学语言的三种形态。
以图形及其特征的描述为例:
等腰直角三角形△ABC,∠A=90°
直角边长3厘米AB=AC=3cm
(单位:
厘米)
文字语言←→图形语言←→符号语言
描述图形的运动变化和位置关系也是如此。
三、怎样提升培养空间观念的教学水平
小学阶段是人一生中空间观念发展的重要时期。
在这阶段,怎样培养和发展学生的空间观念,是一个理论性和实践性都很强的课题,已有大量的相关论述与经验总结。
这里本着“跨越断层,走出误区”的取向,择要表达一些个人见解。
1.借鉴相关理论
长期以来,我们研究“教”远多于研究“学”,随着“教育以学生发展为本”的观念成为共识,情况开始好转,但心理学理论的应用仍处于教学研究的边缘。
例如教学体积概念的展示课,从老鼠与大象比大小开始,多媒体课件的演示一个接一个,有等长的两根木棍比粗细、封面面积相等的两本书比厚薄,还有各种各样体积不变的变换实例:
学生自然是兴趣盎然。
可是,所有这些辨析内容,让人联想起幼儿园大班的教学活动。
小学五年级学生还需要吗?
皮亚杰关于儿童获得体积守恒观念的实验及其结论告诉我们,受过教育和未受过教育的儿童大约在相同的年龄出现各种守恒能力,实现体积守恒的年龄是11-12岁。
检测的方式是:
把纸片假设为湖,上面的方形是小岛,询问儿童在这些不同面积的小岛中盖房子,要能住下相同的人,该如何建。
以此考察儿童是否理解通过高度的增加来弥补面积的减少,从而达到体积守恒(房子一样多)。
⑿
把测试题改编成如下表述:
在两块地上建房子,一块地200平方米,建了三层楼。
另一块地100平方米,要建同样大小、同样多房间的楼,你有办法吗?
在教学体积概念之前,对36名五年级学生(2名10岁,5名12岁,其他皆为11岁)进行检测,所有学生几乎都毫无困难地作出了正确的回答。
可见,教学的起点,应该是在学生已经具有体积守恒观念的基础上,使他们理解“体积”的词义,建立“三维”观念。
如:
下面两支铅笔的体积一样大吗?
两本书呢?
为什么?
有教师在教学前了解到学生对于体积的一个真实困惑“空气有体积吗?
”于是准备了一个放了气的皮球和打气筒,打算在课堂上演示。
教学过程中果然有学生提出这一问题,还没等老师拿出器具,一位学生说“我有办法证明给大家看”。
只见他掏出一个塑料袋,往里吹气、抓住,“看!
空气是有体积的。
”事实教育我们,真的不能低估孩子的认知水平与能力。
再以皮亚杰理论的应用,反思两个教学案例:
其一,一年级教学球体的初步认识。
鉴于儿童经常说“球是圆的”,为了区别“球”与“圆”,教师出示一个蛮大的塑料球,瓣开成两个半球面,让学生看到切口是圆。
还给学生每人发了一个药丸的包装壳,让学生自己瓣开再观察。
观摩者无不为教师的精心准备而折服。
评课时有人提出疑问:
儿童以为球是圆的,是因为球的剖面是圆吗?
有人认为是的,因为西瓜切开来,就能看到圆面。
也有人认为,恐怕主要是日常语言的误导,因为中国的语言习惯,“球”有骂人之嫌,“圆”富赞誉之意,所以该称“球”的地方常常代之“圆”,如歌词“地球是个美丽的圆。
”
其二,三年级教学周长。
为了引出“平面封闭图形一周的总长”这句话,教师煞费苦心创设情境,让学生区分平面图形有开口的、有封闭的,花费了不少时间。
讨论时,相当一致的意见是:
在此之前没有出现过封闭概念,区分封闭与否是必要的,需要改进的只是怎样节省用时。
反思两个案例,皮亚杰的理论能给我们什么启示呢?
关于儿童几何认知的发展,皮亚杰有一个非常著名的研究结论:
与几何学的建立、发展顺序相反,儿童最初建构拓扑(如连通性、封闭性和连续性等)关系,后来是射影(直线构成等)以及欧几里得(多边形、平行和距离等)关系。
⒀
尽管心理学界并未一致赞同这一认知发生次序,但可以肯定的是,儿童很早就能区分开放图形(如×)与封闭图形(如○)。
也就是说,教学中出现“封闭”一词,是有认知基础的,无须过份展开,只要学生理解其意即可。
类似地,既然儿童从小就能感知射影关系,那么他们将球与圆混淆的主要原因,就应该是“球的正投影是圆”。
因为在日常生活里,特别是从远处看球体,视觉效果往往是球的正视图。
其他理论(如范·希尔等人关于几何思维水平的研究)的应用,限于篇幅,不再举例。
总之,充分借鉴心理学已有的相关研究成果,可以启发我们更深入地研究“学”,从而真正“吃透”学生,减少教学的盲目性。
2.加强两种直观⒁
理论和实践都能告诉我们,小学生形成、发展空间观念主要依靠“视”与“触”,亦即主要途径、手段是观察与操作,两项都属于直观教学范畴。
(1)视觉直观
观察是一种有思维积极参与的感知活动。
正是在这个意义上,人们常说观察是智力活动的门户。
小学生观察能力的发展与空间观念的发展,基本上是同步的。
主要表现为:
从感知强刺激成份到感知弱刺激成份;从认识单一要素到认识要素关系;从熟悉标准图形到熟悉变式图形。
笔者曾总结引导学生观察空间形式的基本教学策略:
比较、辨析图形的异同;在运动变化中观察图形特征;在各种背景中识别基本图形。
鉴于这些对策已为广大教师所熟知,因此本文不再展开。
(2)动作直观
小学图形与几何教学中的动作直观主要有两类,即操作实验活动与画图。
先谈操作实验。
最常用的操作实验有图形的拼摆、折叠、划分、测量、割补以及制作模型等。
目前,各套教材都安排了很多这方面的内容,教师也积累了丰富的经验。
有必要指出:
在整个小学阶段,触觉、运动觉与视觉的协同活动,始终是获得空间观念的有力支撑;即使到了高年级,当空间想象受阻时,提供操作材料动手实验,依然是行之有效的教学对策。
试举一例。
有一道非常经典的几何题:
把一个表面涂色的大正方体木块,切割成27个同样大小的小正方体木块。
三面、两面、一面涂色的小正方体木块各有多少个?
表面无色的小正方体木块有多少个?
前一问的答案正好分别对应正方体有8个顶点(三个面的交点)、12条棱(两个面相交的边)、6个面,最后剩下
27―8―12―6=1(个)
包在中间,六面无色,即后一问的答案。
这道题的经典意义在于形体特征与空间观念的有机整合,在于基本概念与答案之间简洁、明了的对应。
自然也有遗憾,那就是挑战性不够。
空间观念强的学生凭空就能想象,空间观念弱的学生看图也能明白。
如果仅仅加大难度,比如将切割成27个改为1000个,或者将正方体改成长方体,并且去掉“同样大小”等,则破坏了答案的简洁性,且空间想象的余地并不大。
采用突破思维定势的方式对上题加以改造:
一个表面涂色的长方体木块,长、宽、高都是整数厘米,把它切割成若干个棱长1厘米的小正方体木块。
①如果存在恰有五个面涂色的小正方体,那么这样的小正方体最多有几个?
②如果其中只有两个面涂色的小正方体恰有4个,那么大长方体的长、宽、高各是多少厘米?
此题曾让教师解答,参加培训的近50名教师只有3人全对。
给五年级学生思考,允许用小立方体学具摆一摆,他们一动手,就发现了最多只有2个小正方体恰有五个涂色的面。
部分学生还能说出理由:
有五个涂色面的小正方体只有1个面与其他正方体重合,所以只能在长方体两头,而且长方体只能由一排小正方体组成。
第②问也有不少学生找出了全部答案。
①②
显然,让学生多种感官协同活动,自己构造直观,有效地支撑了空间想象,有利于空间观念最近发展区的最大化。
再讨论画图。
画图本是学习几何的常规直观手段,但在小学至今没有受到应有的重视。
一方面,在新版课标的课程内容中:
第一学段没有明确的画图要求;第二学段除了方格纸上的简单作图之外,也只有“会用圆规画圆”,“能画指定度数的角,会用三角尺画30°,45°,60°,90°角”。
另一方面,在几何教学的实践中,画图常常处在可有可无的边缘地位。
很多教师非常重视算式书写习惯的培养,甚至要求等号必须用尺“写”,却很少有教师重视画图习惯的培养。
比如,只有极少数教师会强调,画图必须用铅笔,而不是手上拿着什么笔就用什么笔画。
多次听到初中教师抱怨:
“为什么小学老师会容忍学生用圆珠笔、水笔画图。
”
当然,培养良好的习惯,只是“重视”画图这一有效直观手段的浅层表现,更实质性的是通过画图,丰富学生的几何认知,促进空间观念的发展。
例如:
过两点画直线、线段,可以感知两点确定一条直线,两点之间线段最短;过直线外一点画已知直线的平行线、垂线、垂线段,有助于体会平行公理、垂直的唯一性,以及垂直线段最短。
我们的教学实验表明,小学高年级学生完全能够独立探索、总结用刻度尺、量角器画三角形的方法,即已知两边与夹角、两角与一边画三角形。
在教师的启发下,他们也能用刻度尺和圆规按已知的三边画出三角形,并总结出画法。
在这手脑并用的过程中,学生还经历了一系列的想象、验证活动,获得了可贵的探究体验和一定的操作经验。
基于多年的教学实证,可以初步得出结论:
初中数学视为“公理”的几何事实,绝大部分能够也应该在小学阶段通过探索性画图活动,让学生积累感性认识,进而在发展学生空间观念的同时,切实改善、强化中小学数学教学的衔接。
当下的现状是:
小学阶段,有时间铺垫,却少有作为;初中阶段,内容多,时间紧,大凡作公理处理的几何命题,难以展开,只能一带而过。
能力强的学生,可以自己在短时间内填补认知空隙;学习困难学生,认识不能一次完成,常常处于似懂非懂状态。
因此,客观上加大了两极分化。
十几年前,研究初中几何入门难问题时,已经发现了这一问题,然而大面
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