全国高考理科数学全国一卷试题和答案解析.docx
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全国高考理科数学全国一卷试题和答案解析
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2018年全国普通高等学校招生全国统一考试
(全国一卷)理科数学
一、选择题:
(本题有12小题,每小题5分,共60分。
)
1、设z=,则∣z∣=()
A.0B.C.1D.
2
2、已知集合A={x|x-x-2>0},则A=()
A、{x|-1 C、{x|x<-1}∪{x|x>2}D、{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农 村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是() A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5 =( ) A、-12B 、-10C 、10D 、12 、设函数 f( ) ( ) x2+ax. 若f( )为奇函数,则曲线 y= f( )在点(,)处的切线 5 x =x3+a-1 x x 00 方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 6、在? ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=() 专业知识分享 WORD格式整理 A.-B.-C.+D.+ 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为() A.2 B.2 C.3 D.2 8.设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=() A.5B.6C.7D.8 9.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 () A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为 Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3, 则() A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 11.已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=() A.B.3C.D.4 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面 面积的最大值为() A.B.C.D. 专业知识分享 WORD格式整理 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13. 若x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值为 . 14. 记Sn为数列{an}的前n项和. 若Sn=2an+1,则S6= . 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是. 三.解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题,每个试 题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共60分。 17.(12分) 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若 DC = ,求BC . 18.(12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把? DFC折起,使点C 到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明: 平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 专业知识分享 WORD格式整理 19.(12分) 设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明: ∠O=∠O. 20、(12分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验 出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取 20件产品作检验,再根据检验结果决 定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为 P(0 为不合格品相互独立。 ()记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(P),求f(P)的最大值点 1 。 (2)现对一箱产品检验了 20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的 作为P的值,已知 每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔 偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 专业知识分享 WORD格式整理 21、(12分) 已知函数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: . (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中,曲线C? 的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线C? 的极坐标方程为2+2cos-3=0. (1)求C? 的直角坐标方程: (2)若C? 与C? 有且仅有三个公共点,求C? 的方程. 专业知识分享 WORD格式整理 23.[选修4-5: 不等式选讲](10分)已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣. (1)当a=1时,求不等式f(x)﹥1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范围. 专业知识分享 WORD格式整理 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.D 9.C 10.A 11.B 12.A 二、填空题 13.6 14.6315.16 3 3 16. 2 三、解答题 17.解: (1)在△ABD中,由正弦定理得 BD AB . sin ADB sinA 由题设知, 5 2 ADB 2 sin45 所以sin . sinADB 5 由题设知,ADB 90,所以cos ADB 1 2 23 25 . 5 (2)由题设及 (1)知,cosBDC sin ADB 2 . 5 在△BCD中,由余弦定理得 专业知识分享 WORD格式整理 BC2BD2DC22BDDCcosBDC 2 2582522 5 25. 所以BC5. 18.解: (1)由已知可得, BF PF,BF EF,所以BF 平面PEF. 又BF 平面ABFD,所以平面PEF 平面ABFD. (2)作PH EF,垂足为H.由 (1)得,PH 平面ABFD. 以H为坐标原点, uuur uuur Hxyz. HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 由 (1)可得,DE PE. 又DP 2,DE1,所以PE3. 又PF 1,EF2,故PE PF. 可得PH 3 3 ,EH. 2 2 3), uuur 3, uuur 3)为平面ABFD的法向量. 则H(0,0,0) ,P(0,0, D(1, 3 0),DP(1, 3),HP (0,0, 2 2 2 2 2 uuur uuur 设DP与平面ABFD所成角为 ,则sin HPDP |uuur uuur| |HP||DP| 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3. 4 3 43. 34 19.解: (1)由已知得F(1,0) ,l的方程为x 1. 由已知可得,点A的坐标为(1, 2 )或(1, 2 ). 2 2 所以AM的方程为y 2 x 2或y 2 x 2 . 2 2 (2)当l 与x轴重合时, OMA OMB 0. 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以 OMA OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时, 设l 的方程为y k(x1)(k 0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 2,x2 2, 直线 , 的斜率之和为k MA k y1 y2 . MAMB MB x1 2x2 2 由y1 kx1 k,y2kx2 k得 kMA kMB 2kx1x2 3k(x1 x2) 4k. (x1 2)(x2 2) 将yk(x 1)代入x2 y2 1得 2 专业知识分享 WORD格式整理 (2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0. 所以,x1 x2 4k2 x1x2 2k2 2 2k2 1 2k2 . 1 则2kx1x2 3k(x1 x2) 4k 4k 3 4k 12k3 8k3 4k 0 . 2k2 1 从而kMA kMB 0,故MA,MB的倾斜角互补. 所以OMAOMB. 综上, OMA OMB. 20.解: (1)20件产品中恰有 2件不合格品的概率为 f(p) 2 2 18 因此 C20p(1 p). f(p) C202[2p(1 p)18 18p2(1p)17] 2C202p(1 p)17(110p). 令f(p) 0,得p 0.1. 当p(0,0.1)时,f(p) 0;当p (0.1,1)时,f(p) 0.所以f(p)的最大值点为 p00.1. (2)由 (1)知,p0.1. (ⅰ)令 Y表示余下的 180件产品中的不合格品件数,依题意知 YB(180,0.1),X 20225Y,即 X4025Y. 所以EX E(4025Y) 4025EY490. (ⅱ)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为 400元. 由于EX 400,故应该对余下的产品作检验. 21.解: (1)f(x)的定义域为(0, ),f(x) 1 1a x2 ax 1 . x2 x x2 (ⅰ)若a≤2 ,则f (x)≤0 ,当且仅当a 2 ,x 1 时f (x) 0,所以f(x)在(0, )单调递减. (ⅱ)若a 2,令f(x) a a2 4 a a2 4 . 0得,x 2 或x 2 当x a a2 4 a a2 4 )时,f (x) 0 ; (0, 2 )U( 2 当x (aa2 4 a a2 4 )时,f (x) 0. 所以f(x)在(0,a a2 4 ),(a a2 4 )单调递减,在 2 2 2 2 (aa2 4,a a2 4)单调递增. 2 2 (2)由 (1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当 a 2. 由于f(x)的两个极值点 x1 ,x2满足x2 ax 1 0,所以x1x2 1,不妨设x1 x2,则x2 1. 由于 f(x1) f(x2) 1 1 alnx1 lnx2 2 alnx1 lnx2 2 a 2lnx2 , x1 x2 x1x2 x1 x2 x1 x2 1 x2 x2 所以f(x1) f(x2) a 2等价于1 x22lnx2 0. x1 x2 x2 设函数g(x) 1 x2lnx ,由 (1)知,g(x)在(0, )单调递减,又g (1) 0 ,从而当x (1, )时,g(x)0. x 专业知识分享 WORD格式整理 所以1 x2 2lnx2 0,即f(x1) f (x2) a2. x2 x1 x 2 22.解: (1)由x cos ,y sin 得C2 的直角坐标方程为 (x 1)2 y2 4. (2)由 (1)知C2 是圆心为A(1,0) ,半径为 2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线 .记y轴右边的射线为 l1,y轴左边的射线为l2. 由 于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于 l1与C2 只有一个公共点且 l2与C2有两个公共点,或l2 与 C2 只有一个公共点且l1 与C2有两个公共点. 当l1 与C2 只有一个公共点时, A到l1所在直线的距离为 2,所以| k 2| 2,故k 4或k 0.经检验,当 k2 1 3 k 0时,l1与C2没有公共点;当k 4时,l1与C2只有一个公共点, l2与C2 有两个公共点. 3 当l2 与C2 只有一个公共点时,A到l2 所在直线的距离为 |k 2| 2,故k 0 4 经检验,当k 0 2,所以 1 或k. k2 3 时,1与 C 2没有公共点;当 k 4时, l 2 与 C 2没有公共点. l 3 综上,所求C1的方程为y 4 |x| 2. 3 23.解: 2, x≤1, (1)当a 1时,f(x) |x 1| |x 1|,即f(x) 2x, 1 x1, 2, x≥ 1. 1
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