届中考数学专题复习相似模型讲义及答案.docx
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届中考数学专题复习相似模型讲义及答案
相似模型
(一)(讲义)
Ø课前预习
1.请证明以下结论:
①如图1,在△ABC中,DE∥BC,求证:
△ADE∽△ABC.
②如图2,在△ABC中,∠B=∠AED,求证:
△AED∽△ABC.
③如图3,在△ABC中,∠B=∠ACD,求证:
△ACD∽△ABC.
④如图4,直线AB,CD相交于点O,连接AC,BD,且
AC∥BD,求证:
△AOC∽△BOD.
⑤如图5,直线AB,CD相交于点O,连接AC,BD,∠B=
∠C,求证:
△AOC∽△DOB.
⑥如图6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,求证:
△ADB∽△CDA,△ADB∽△CAB.
AAA
BCB
C
BC
图1图2图3
DBA
ACA
DBDC
图4图5图6
Ø知识点睛
1.六种相似基本模型:
AAA
E
BCBCBC
DE∥BC∠B=∠AED∠B=∠ACD
A型
当两个三角形相似且有公共边时,借助对应边成比例往往可以得到
a2=bc形式的关系.例如:
“母子型”中
△ABD∽△CBA→AB2=BC·BD
△ACD∽△BCA→
△ADB∽△CDA→
DBCA
B
OO
ACADBDC
AC∥BD
∠B=∠C
AD是Rt△ABC斜边上的高
X型母子型
2.相似、角相等、比例线段间的关系:
角相等比例线段
相似性质
角相等比例线段
列方程(或表达边)比的传递转移
相似往往与等信息组合搭配起来使用.多个相似之间一般会通过来转移条件.一般碰到不熟悉的线段间关系时,常需要还原成来观察和分析.
3.影子上墙:
、、是影子上墙时的三种常见处理方式,它们的实质是构造三角形相似.
D
A
G
EFBC
DDDH
HGG
EFHEFEF
△DEH∽△ABC△DHG∽△ABC△HEF∽△ABC
Ø精讲精练
1.如图,在△ABC中,EF∥DC,∠AFE=∠B,AE=6,ED=3,
AF=8,则AC=
A
,CD=.
BC
AB
CD
BC
第1题图第2题图
2.如图,AB∥CD,线段BC,AD相交于点F,点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C,其中AF=6,DF=3,CF=2,则AE=.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BD=2,
AD=8,则CD=,AC=,BC=.
A
C
BC
ADB
F
第3题图第4题图
4.如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和
AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF,
AG与边BC的交点分别为D,E(点D不与点B重合,点E
不与点C重合).
①请写出图中所有的相似三角形;
②若BD=1,则CE=.
2
5.如图,M为线段AB上一点,AE与BD交于点C,∠DME=
∠A=∠B=α,且DM交AE于点F,ME交BD于点G.
(1)写出图中的三对相似三角形;
(2)连接FG,当AM=MB时,求证:
△MFG∽△BMG.
AMB
E
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为
AD的中点,连接BE交AC于点F,连接FD.若∠BFA=90°,
给出以下三对三角形:
①△BEA与△ACD;②△FED与△DEB;
③△CFD与△ABO.其中相似的有(填写序号).
AEDF
O
BC
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,D在AB
的延长线上,且∠DCB=∠A,BD:
CD=1:
2,AE=,则
△BCD的面积是()
A.1
3
B.5
3
C.2
3
D.25
3
C
AEBD
8.如图,在Rt△ABD中,过点D作CD⊥BD,垂足为D,连接
BC交AD于点E,过点E作EF⊥BD于点F,若AB=15,CD=10,则BF:
FD=.
A
CD
BFD
BEC
第8题图第9题图
9.如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接AE,AC,分别交BD于M,N,则BM:
DN=.
10.如图,直线l1∥l2,若AF:
FB=2:
3,BC:
CD=2:
1,则CE:
AE=.
E
GAl1
FE
l2
BCDBC
第10题图第11题图
11.如图,在□ABCD中,E是BA延长线上一点,CE分别与AD,
BD交于点G,F.则下列结论:
①EG=AG;②EF=BF;
GCGD
③FC=BF;④CF2=GF⋅EF.其中正确的是
GFFD
FCFD
.
12.如图所示,AB∥CD,AD,BC交于点E,过E作EF∥AB交
BD于点F.则下列结论:
①△EFD∽△ABD;②EF
=BF;
③EF+EF=FD+BF
CDBD
=1;④1+1=1.其中正确的
ABCDBDBD
有.
ABCDEF
C
BFD
13.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,正方形EFGH的四个
顶点都在△ABC的边上.求证:
1+1=1.
ABCDEF
C
AHDGB
14.
数学兴趣小组想测量一棵树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,同时另一名同学测量一棵树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),这部分影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米,则树高为.
A
D
BC
第14题图第15题图
15.小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得
1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为()
A.9米B.28米
C.(7+3)米D.(14+23)米
16.如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点,CD是水平的,在阳光的照射下,塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m,塔影长DE=18m,小明和小华的身高都是
1.6m,同一时刻小明站在点E处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m和1m,则塔高AB为()
A.24mB.22mC.20mD.18m
A
【参考答案】
Ø课前预习
1.证明略;
Ø知识点睛
2.角相等、比例线段,比例的传递与整合,比例形式
3.推墙法、抬高地面法、砍树法框内答案
框1:
AC2=BC⋅CD;AD2=CD⋅DB.
Ø精讲精练
1.12,3
4
2.10
3
3.4,45,2
4.①△ABE∽△DAE;△DAC∽△DEA;△ABE∽△DCA;△ABC
≌△GAF.
②2.
3
5.
(1)△AMF∽△BGM;△AME∽△MFE;△BMD∽△MGD;
(2)证明略.
6.①②③
7.A
8.3:
2
9.2:
3
10.1:
2
11.①②③④
12.①②③④
13.证明略
14.4.2米
15.D
16.A
相似模型
(一)(习题)
Ø例题示范
例1:
如图,某一时刻,旗杆AB的影子一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为
9.6m,在墙面上的影长CD为2m.同一时刻,小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度.
A
BC
解:
如图,过点D作DE∥BC交AB于点E,则四边形BCDE为
矩形.A
由题意,BC=9.6,CD=2,
∴BC=DE=9.6,CD=BE=2
由题意,
AE=
ED
1
1.2
∴AE=8BC
∴AB=AE+EB=8+2=10
∴旗杆的高度为10m.
Ø巩固练习
2.如图,在锐角三角形ABC中,高CD,BE相交于点H,则图中与△CEH相似(除△CEH自身外)的三角形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
A
AD
D
E
HC
BC
第1题图第2题图
3.如图,E是□ABCD的边CD上一点,连接AC,BE交于点F.若DE:
EC=1:
2,则BF:
EF=.
4.如图,小明在A时刻测得某树B时A时的影长为2m,B时刻又测得
该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为.
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若
BD:
CD=3:
2,则AC:
AB=()
A.3
2
B.2
3
A
C.6
2
D.6
3
BDCB
第4题图第5题图
6.如图,已知□ABCD,过点B的直线依次与AC,AD及CD的延长线相交于点E,F,G.若BE=5,EF=2,则FG的长为
.
7.如图,梯形ABCD的中位线EF分别交对角线BD,AC于点
M,N,AD=1,BC=3,则EF=,MN=.
AD
BCEBC
第6题图第7题图
8.如图,D是AB的中点,AF∥CE,若CG:
GA=3:
1,BC=8,
则AF=.
9.如图,P是□ABCD的对角线BD上一点,一直线过点P分别
交BA,BC的延长线于点Q,S,交AD,CD于点R,T.有下列结论:
①△RQA∽△RTD;②PS⋅PD=PR⋅PB;
③PQ=PB;④PQ⋅PR=PS⋅PT.其中正确的是.
PTPD
9.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于点G,交BC的延长线于点F.若BG:
GA=3:
1,BC=10,则AE=.
B
10.
11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是
AC上的点,若AF⊥BE,垂足为F.求证:
∠BFD=∠C.
A
E
F
BDC
12.如图,一同学在某时刻测得1m长的标杆竖直放置时影子长为1.6m,同一时刻测量旗杆的影子长时,因旗杆靠近一栋楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影子长为11.2m,留在墙上的影子高为1m,则旗杆的高度是.
A
D
BC
第11题图第12题图
13.如图,小明想测量电线杆AB的高度,发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4m,BC=10m,
CD与地面成30°角,且此时测得1m杆的影子长为2m,则电线杆的高度为.
14.如图,在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB,B是CD的中点,且
CD是水平的.在阳光的照射下,塔影DE留在坡面上,已知铁塔底座宽CD=14m,塔影长DE=36m,小明和小华的身高都是1.6m,小明站在点E处,影子也在斜坡面上,小华站在沿DE方向的坡脚下,影子在平地上,两人的影长分别为4m,2m,那么塔高AB=.
A
第13题图第14题图
15.某兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2m,一级台阶高为0.3m,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4m,则树高为.
Ø思考小结
4.相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外,还需要满足一些其他特征,这些特征能够帮助我们快速验证模型.
①平行线,往往配合对顶角相等(X型)、有公共角(A型)
②一组角对应相等,往往配合对顶角相等(X型)、有公共角
(A型)
③多直角结构,往往利用互余关系得到角相等后,配合有公共角(母子型)
5.影子上墙问题的常见处理方法:
推墙法、砍树法、抬高地面法,这三种方法的实质都是构造三角形相似,在构造的时候,我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角.
【参考答案】
Ø巩固练习
1.C
2.3:
2
10.4m
11.D
5.21
2
6.2,1
7.4
8.①②③④
9.5
10.证明略
11.证明略
12.8m
13.(7+
14.20m
3)m
15.11.8m
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