初中数学寒假班北师大初一第6讲 平行线基础班.docx
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初中数学寒假班北师大初一第6讲平行线基础班
第6讲平行线
1、三线八角
(1)同位角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同位角.
(2)内错角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角.
(3)同旁内角:
两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角.
(4)三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角,完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时,应从角的两边入手,具有上述关系的角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F“形,内错角的边构成“Z“形,同旁内角的边构成“U”形.
【典例】
例1(2020春•南丹县期末)如图,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2的位置关系是( )
A.同位角B.内错角C.同旁内角D.相等
【解答】解:
∠1与∠2的位置关系是内错角,
故选:
B.
【方法总结】
此题主要考查了内错角,关键是掌握内错角的边构成“Z“形.
例2(2020春•瑞安市期中)如图,∠1的同旁内角是( )
A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5
【解答】解:
A、∠1和∠2是对顶角,不是同旁内角,故本选项不符合题意;
B、∠1和∠3是同位角,不是同旁内角,故本选项不符合题意;
C、∠1和∠4是内错角,不是同旁内角,故本选项不符合题意;
D、∠1和∠5是同旁内角,故本选项符合题意;
故选:
D.
【方法总结】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义的运用,能熟记同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义是解此题的关键,注意:
数形结合思想的运用.
例3(2020春•澧县期末)分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
【解答】解:
如图1,
同位角有:
∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8;
内错角有:
∠3与∠6,∠4与∠5;
同旁内角有:
∠3与∠5,∠4与∠6.
如图2,
同位角有:
∠1与∠3,∠2与∠4;
同旁内角有:
∠3与∠2.
【方法总结】
本题考查了同位角、内错角,同旁内角,解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.
【随堂练习】
1.(2020春•高州市期中)如图所示,下列选项中是一组同位角的是( )
A.∠1和∠3B.∠2和∠5C.∠3和∠4D.∠3和∠5
【解答】解:
A、∠1和∠3是对顶角,不是同位角,故本选项不符合题意;
B、∠2和∠5是同位角,故本选项符合题意;
C、∠3和∠4是内错角,不是同位角,故本选项不符合题意;
D、∠3和∠5是同旁内角,不是同位角,故本选项不符合题意;
故选:
B.
2.(2020春•鹿城区期中)如图所示,∠B与∠3是一对( )
A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角
【解答】解:
∠B与∠3是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同旁内角,
故选:
C.
3.(2020春•麻城市校级月考)如图,∠1和∠3是直线 AB 和 AC 被直线 DE 所截而成的 内错 角;图中与∠2是同旁内角的角有 3 个.
【解答】解:
∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角;图中与∠2是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7,共3个,
故答案为:
AB、ACDE、内错,3.
4.(2020春•西湖区期末)如图,有下列3个结论:
①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2;②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1;③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4,以上结论正确的是 ①② .
【解答】解:
①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个,即∠EFA和∠EDC,故正确;
②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个:
即∠FAE,故正确;
③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个:
即∠CDE,∠B,∠CED,∠CEF,∠A,故错误;
所以结论正确的是①②.
故答案为:
①②.
2、平行线的判定
平行线的判定方法:
判定方法1两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:
同位角相等,两直线平行.
如图1,∵∠4=∠2,∴a∥b.
判定方法2两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:
内错角相等,两直线平行.
如图2,∵∠4=∠5,∴a∥b.
判定方法3两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成:
同旁内角互补,两直线平行.
如图3,∵∠4+∠1=180°,∴a∥b.
【典例】
例1(2020春•曲阜市期末)如图,下列条件中不能判断a∥b的是( )
A.∠2=∠6B.∠1=∠4C.∠4+∠6=180°D.∠3+∠5=180°
【解答】解:
A、∠2=∠6可以判定a,b平行,不符合题意;
B、∠1=∠4,不能判定a,b平行,符合题意;
C、∠4+∠6=180°,可以判断a、b平行,不符合题意;
D、∠3+∠5=180°,可以判定a,b平行,不符合题意.
故选:
B.
【方法总结】
本题考查的是平行线的判定,用到的知识点为:
同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.
例2(2020春•邹平市期末)如图,下列条件中能判断AD∥BC的是( )
A.∠A=∠CDEB.∠C=∠CDE
C.∠ABD=∠BDCD.∠C+∠ABC=180°
【解答】解:
A、∵∠A=∠CDE,∴AB∥CD,故选项错误;
B、∵∠C=∠CDE,∴AD∥BC,故选项正确;
C、∵∠ABD=∠BDC,∴CD∥AB,故选项错误;
D、∵∠C+∠ABC=180°,∴CD∥AB,故选项错误.
故选:
B.
【方法总结】
本题考查了平行线的判定.解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
例3(2020春•滨城区期末)如图,E,F分别是AB和CD上的点,CE,BF分别交AD于G,H,∠1=∠2,∠B=∠C.
求证:
AB∥CD.
【解答】证明:
如图,∵∠1=∠3,∠1=∠2,
∴∠3=∠2,
∴CE∥BF,
∴∠BFD=∠C,
∵∠B=∠C,
∴∠BFD=∠B,
∴AB∥CD.
【方法总结】
考查了平行线的判定与性质,解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用.
【随堂练习】
1.(2020春•香洲区期末)如图,点E在AB的延长线上,下列条件中可以判断AB∥CD的是( )
A.∠A=∠CBEB.∠A+∠CBA=180°
C.∠A=∠CD.∠C=∠CBE
【解答】解:
A、∠A=∠CBE可以判定AD∥BC,故此选项不合题意;
B、∠A+∠CBA=180°可以判定AD∥BC,故此选项不合题意;
C、∠A=∠C不可以判定AB∥CD,故此选项不符合题意;
D、∠C=∠CBE可以判定直线AB∥CD,故此选项符合题意.
故选:
D.
2.(2020春•黄陂区期末)木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.以上结论都不正确
【解答】解:
木工师傅用图中的角尺画平行线,他依据的数学道理是同位角相等,两直线平行,
故选:
A.
3、平行线的性质
平行线的性质:
性质1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
简单说成:
两直线平行,同位角相等.
如图1,∵a∥b,∴∠4=∠2.
性质2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
简单说成:
两直线平行,内错角相等.
如图2,∵a∥b,∴∠4=∠5.
性质3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简单说成:
同旁内角互补,两直线平行.
如图3,∵a∥b,∴∠4+∠1=180°.
【典例】
例1(2020春•大埔县期末)如图,已知直线EF与AB、CD都相交,且AB∥CD,说明∠1=∠2的理由.
理由:
∵EF与AB相交(已知)
∴∠1=∠3( 对顶角相等 )
∵AB∥CD(已知)
∴∠2=∠3( 两直线平行,同位角相等 )
∴∠1=∠2( 等量代换 )
【解答】解:
理由:
∵EF与AB相交(已知),
∴∠1=∠3(对顶角相等),
∵AB∥CD(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等),
∴∠1=∠2(等量代换),
故答案为:
对顶角相等;两直线平行,同位角相等;等量代换.
【方法总结】
本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
例2(2020春•凉州区校级期中)如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠AGD=105°.求∠BAC的度数.
【解答】解:
∵EF∥AD(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等),
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠3(等式性质或等量代换),
∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行),
∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补),
又∵∠AGD=105°(已知),
∴∠BAC=75°.
【方法总结】
本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质.
例3(2020春•泰兴市期末)已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,点E在BC上,点F在CA的延长线上,EF交AB于点G,且EF∥AD.求证:
∠AGF=∠F.
【解答】证明:
∵EF∥AD,
∴∠F=∠DAC,∠AGF=∠GAD,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠GAD=∠DAC,
∴∠AGF=∠F.
【方法总结】
本题考查平行线的性质、角平分线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
【随堂练习】
1.(2020•武汉模拟)如图,点A、B、C、D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠E=∠F,CE∥DF,求证:
∠A=∠1.
【解答】证明:
∵CE∥DF,
∴∠F=∠2,
∵∠E=∠F,
∴∠E=∠2,
∴AE∥BF,
∴∠A=∠1.
2.(2020春•武昌区期末)填空完成推理过程:
如图,点D,E,F分别是△ABC的边AC,BC,AB上的点,DF∥BC,DE∥AB.
求证:
∠FDE=∠B.
证明:
∵DF∥BC,
∴∠FDE= ∠DEC ( 两直线平行,内错角相等 ).
∵DE∥AB,
∴∠B= ∠DEC ( 两直线平行,同位角相等 ),
∴∠FDE=∠B.
【解答】证明:
∵DF∥BC,
∴∠FDE=∠DEC(两直线平行,内错角相等).
∵DE∥AB,
∴∠B=∠DEC(两直线平行,同位角相等),
∴∠FDE=∠B.
故答案为:
∠DEC,两直线平行,内错角相等;∠DEC,两直线平行,同位角相等.
3.(2020春•西华县期中)如图所示,已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,FG平分∠EFD,交AB于点G.若∠1=52°,求∠BGF的度数.
【解答】解:
∴AB∥CD,
∴∠1=∠CFE=52°,
∴∠EFD=180°﹣52°=128°,
∵FG平分∠EFD,
∴∠GDF
∠EFD=64°,
∵AB∥CD,
∴∠BGF+∠GFD=180°,
∴∠BGF=180°﹣64°=116°
综合运用
1.(2020春•兴城市期末)如图,∠1的内错角是( )
A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5
【解答】解:
∠1的内错角是∠2,
故选:
A.
2.(2020春•安化县期末)如图所示,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2是( )
A.对顶角B.同位角C.内错角D.同旁内角
【解答】解:
∠1与∠2是内错角,
故选:
C.
3.(2020春•鱼台县期末)在直角△ABC中,∠C=90°,DE⊥AC于E,交AB于D.
(1)试指出BC、DE被AB所截时,∠3的同位角、内错角和同旁内角;
(2)试说明∠1=∠2=∠3的理由.(提示:
三角形内角和是180°)
【解答】解:
(1)当BC,DE被AB所截时,∠3的同位角为∠1;∠3的内错角为∠2;∠3的同旁内角为∠4;
(2)∵∠1+∠A+∠C=180°,∠3+∠A+∠C=180°,
∴∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠2=∠3
4.(2020春•泰山区期末)如图1,是大众汽车的图标,图2反映其中直线间的关系,并且AC∥BD,AE∥BF,∠A与∠B相等吗?
并说明理由.
【解答】解:
∠A与∠B相等,
理由:
∵AC∥BD,AE∥BF,
∴∠A=∠DOE,∠DOE=∠B,
∴∠A=∠B,
即∠A与∠B相等.
5.(2020秋•官渡区校级月考)如图,点E在直线BH、DC之间,点A为BH上一点,且AE⊥CE,∠ECG=90°﹣∠HAE.求证:
BH∥CD.
【解答】证明:
过点E作EF∥BH,
∴∠HAE=∠AEF,
∵AE⊥CE,
∴∠AEC=90°
即∠AEF+∠CEF=90°,
∴∠HAE+∠CEF=90°,
∴∠CEF=90°﹣∠HAE,
∵∠ECG=90°﹣∠HAE,
∴∠CEF=∠ECG,
∴EF∥CD,
∵EF∥BH,
∴BH∥CD.
6.(2020春•昆明期末)填写下列空格:
已知:
如图,CE平分∠ACD,∠AEC=∠ACE.
求证:
AB∥CD.
证明:
∵CE平分∠ACD(已知),
∴∠ ACE =∠ DCE ( 角平分线的定义 ).
∵∠AEC=∠ACE(已知),
∴∠AEC=∠ DCE ( 等量代换 ).
∴AB∥CD( 内错角相等,两直线平行 ).
【解答】证明:
∵CE平分∠ACD(已知),
∴∠ACE=∠DCE(角平分线的定义).
∵∠AEC=∠ACE(已知),
∴∠AEC=∠DCE(等量代换).
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
故答案为:
ACE;DCE;角平分线的定义;DCE;等量代换;内错角相等,两直线平行.
7.(2020春•岱岳区期末)已知:
如图,点D是△ABC边CB延长线上的一点,DE⊥AC于点E,点G是边AB一点,∠AGF=∠ABC,∠BFG=∠D,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.
【解答】解:
BF⊥AC,理由如下:
∵∠AGF=∠ABC,
∴FG∥BC,
∴∠GFB=∠FBC,
∵∠GFB=∠D,
∴∠FBC=∠D,
∴BF∥DE,
∵DE⊥AC
∴BF⊥AC.
8.(2020春•海淀区校级月考)如图,已知△ABC,点F在边BC上,EF∥AC交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点D.
(1)补全图形;
(2)判断∠BAC与∠EFD的数量关系,并给予证明.
【解答】解:
(1)如图:
(2)∠BAC=∠EFD.
证明:
∵EF∥AC,
∴∠EFB=∠C.
∵DF∥AB,
∴∠DFC=∠B.
∴∠EFD=180°﹣(∠EFB+∠DFC)=180°﹣(∠C+∠B).
在△ABC中,∠BAC=180°﹣(∠C+∠B),
∴∠BAC=∠EFD.
9.(2020春•姑苏区期中)已知:
直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上,点M为两平行线内部一点.
(1)如图1,∠AEM,∠M,∠CFM的数量关系为 ∠M=∠AEM+∠CFM ;(直接写出答案)
(2)如图2,∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N,若∠EMF等于130°,求∠ENF的度数;
(3)如图3,点G为直线CD上一点,延长GM交直线AB于点Q,点P为MG上一点,射线PF、EH相交于点H,满足∠PFG
∠MFG,∠BEH
∠BEM,设∠EMF=α,求∠H的度数(用含α的代数式表示).
【解答】解:
(1)如图1,过点M作ML∥AB,
∵AB∥CD,
∴ML∥AB∥CD,
∴∠1=∠AEM,∠2=∠CFM,
∵∠EMF=∠1+∠2,
∴∠M=∠AEM+∠CFM.
故答案为:
∠M=∠AEM+∠CFM;
(2)如图2,过M作ME∥AB,
∵AB∥CD,
∴ME∥CD,
∴∠BEM+∠2=∠DFM+∠4=180°,
∴∠BEM=180°﹣∠2,∠DFM=180°﹣∠4,
∵EN,FN分别平分∠MEB和∠DFM,
∴∠1
∠BEM,∠3
∠DFM,
∴∠1+∠3
(180°﹣∠2)
(180°﹣∠4)=180°
(∠2+∠4)=180°
130°=115°,
∴∠ENF=360°﹣∠1﹣∠3﹣∠EMF=360°﹣115°﹣130°=115°;
(2)如图3中设∠BEH=x,∠PFG=y,则∠BEM=3x,∠MFG=3y,设EH交CD于K.
∵AB∥CD,
∴∠BEH=∠DKH=x,
∵∠PFG=∠HFK=y,∠DKH=∠H+∠HFK,
∴∠H=x﹣y,
∵∠EMF=∠MGF=α,∠BQG+∠MGF=180°,
∴∠BQG=180°﹣α,
∵∠QMF=∠QME+∠EMF=∠MGF+∠MFG,
∴∠QME=∠MFG=3y,
∵∠BEM=∠QME+∠MQE,
∴3x﹣3y=180°﹣α,
∴x﹣y=60°
α,
∴∠H=60°
α.
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