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平面向量基础知识
第一课时:
向量的概念
向量的定义(两要素)
向量与矢量、数量、标量的区别作用点、实际意义(单位)、可比性
向量是矢量的抽象、数量是标量的抽象
向量的表示
几何表示(几何中用点表示位置、用射线表示方向起点到终点)
用有向线段表示向量使向量具有几何直观性
有向线段(三要素)与向量的区别(人的身高不随位置改变而改变)
向量只与其起点和终点的相对位置有关,与起点和终点的绝对位置无关
符号表示有向线段的起点与终点符号(大写)(具体)小写符号(抽象)
手写必须带箭头(“帽子”)
用符号表示向量使向量具有代数的属性
坐标表示
用坐标表示向量使向量具有算术的属性
向量的模及其表示写法与读法(“外套”)
模特殊的向量
零向量定义、表示0、方向
单位向量定义方向的惟一性
与已知非零向量共线的单位向量常用表示符号e、i、j、k
位置特殊的向量
位置向量起点为坐标原点的向量
方向关系特殊的向量与表示
平行向量(共线向量“平行向量”与“共线向量”是等意词)
垂直向量
相等向量平移变换用之
相反向量反向变换用之
零向量的规定:
零向量与任一向量共线,零向量的相反向量是零向量
判断:
1、若两向量相等,则它们的起点与终点相同
2、
3、若a∥b,b∥c,则a∥c
4、若
,则ABCD
5、若a与b不共线,则a≠0,b≠0
6、若
∥
,则A、B、C、D四点共线
7、若
∥
,则A、B、C三点共线
8、若AB=CD,则
9、若AB=CD,则
(既戴帽子,又穿外套)
两个向量平行,这两个向量可以在一条直线上,这与平面几何中的“平行”的含义不同;两个向量共线,这两个向量不一定在一条直线上,这与平面几何中的“共线”的含义也不同.而规定零向量与任一向量平行,使几何中的“平行公理”对于向量平行不再成立.(在几何中,“平行”和“共线、重合”绝不相同,而在向量中,“平行”和“共线”绝对一样)
向量的类型:
自由向量、滑动向量、固定向量
第二课时:
向量的加法
向量加法的定义
向量加法处理方法:
三角形法则、平行四边形法则
(当两个向量共线时,平行四边形法则不适用,只适用三角形法则;当两个向量不共线时,平行四边形法则和三角形法则是一致的)
向量加法的特征:
尾首相接,首尾相连(与接点的位置无关)
向量的和拆分封闭折线的和向量
△ABC中,G是重心
+
+
=0
求和向量时需要把向量具体化、几何化
向量加法的运算律:
交换律、结合律
向量加法的性质
1、两个向量的和为一个向量
2、若两个向量平行,则它们的和向量与它们也平行
3、若两个向量不平行,则它们的和向量与它们也不平行
4、||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,
当且仅当a与b同向,或其中至少一个是零向量时,后一等号成立;当且仅当a与b反向或其中至少一个是零向量时,前一等号成立.
第三课时:
向量的减法
向量减法的定义向量减法是向量加法的逆运算
向量减法处理方法:
三角形法则、平行四边形法则
向量减法的特征:
首首相聚,被减被指(与起点的位置无关)
向量的差拆分
向量减法是向量加法的逆运算,即减去一个向量等于加上该向量的相反向量
求差向量时需要把向量具体化、几何化
向量减法的性质
1、两个向量的差为一个向量
2、若两个向量平行,则它们的差向量与它们也平行
3、若两个向量不平行,则它们的差向量与它们也不平行
4、||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,
当且仅当a与b反向或其中至少一个是零向量时,后一等号成立;当且仅当a与b同向或其中至少一个是零向量时,前一等号成立.
平行四边形与向量的加减法:
平行四边形ABCD中
=a,
=b,若|a+b|=|a-b|,则平行四边形ABCD是
第四课时:
向量的加减法
第五课时:
向量的数乘
乘法的类型、意义与表示方法乘法的加法意义
乘法是加法的简便运算系数范围从自然数扩大到实数
实数与向量的积的定义可看作是实数与实数的积的概念的推广
向量的数乘的定义
实数λ与向量a相乘,叫做向量的数乘,其积是一个向量,记作λa,且满足
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反;当λ=0时,λa=0,总之λa∥a
向量数乘的几何表示伸缩变换与反向变换
向量数乘的运算律结合律、分配律(第一、第二)、交换律
向量数乘与实数乘法的异同:
运算结果不同,运算律相同
向量的线性运算的定义向量的加法、减法、数乘及其混合运算叫做向量的
线性运算,又叫向量的初等运算(结果为向量的“一次”式)
向量的线性运算结果是一个向量,运算法则与多项式运算类似(去掉箭头即为多项式法则)
第六课时:
向量的线性表示
向量的线性表示:
若a≠0,且b=λa,则称b可用非零向量a线性表示,其中a叫做基底
非零向量的单位向量的定义与表示公式
若向量a≠0,则称与a方向相同的单位向量叫做a的单位向量;
若x是a的单位向量,则x=
向量共线定理(向量共线的判定与性质)
已知a≠0,
(1)若b=λa,则b∥a;
(2)若b∥a;,则有且只有一个实数λ,使b=λa
只有以非零向量作为基底,才能线性表示与之共线的所有向量,且线性表达式是惟一的;若以零向量作为基底,则无法线性表示非零向量,而表示零向量时,线性表达式有无数个
若
=λ
+μ
,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
已知λa+μb=0,
(1)若λ与μ不全为零,则a∥b;
(2)若a与b不共线,则λ=μ=0
第七课时:
向量的线性运算
向量线性运算的类型
向量线性运算的常用方法
平移(等量代换)、反向、拆分(路线的选择)、线性表示(中点、分点、交点)(平移与反向是线性表示的特例)大写字母的变换
反证法的运用
向量恒等式问题
中点问题(联想中位线)
交点问题(三点共线的线性表示)
待定系数法
用向量法解题的思想
方程思想如待定系数法
化归与转化思想如向量的拆分
数形结合思想如三角形法则
分类讨论思想如方向关系的讨论(同向、反向、不共线)、零向量与非零向量
向量的等和变换若P1、P2、P3、…、Pk、…、Pn-1依次是线段AB的各个n等分点,O是平面内任一点,则
+
=
+
=
+
=…=
+
第八课时:
平面向量基本定理
平面向量基本定理(共面向量的线性表示)
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
平面向量基本定理的意义:
用不共线的两个向量可把平面内的所有向量统一起来
基底定义、特征、数量、作用、灵活性、不可交流性
不共线的向量e1,e2,叫做表示平面内的所有向量的一组基底
基底不惟一数量可多于两个
只有以不共线的向量(必为非零向量)作为基底,才能线性表示平面内的所有向量,且线性表达式是惟一的;若以共线向量作为基底,则无法线性表示和它们不共线的向量,而表示和它们共线的向量时,线性表达式有无数个
向量的分解
定义:
一个平面向量a用一组基底e1,e2,表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,称为向量a按e1,e2的分解
分类:
当e1,e2,互相垂直时,就称为向量的正交分解非正交分解
向量分解的几何方法过向量的起点和终点分别作基底向量的平行
线,两条直线相交于一点
第九课时:
平面向量的坐标表示与坐标运算
平面向量的坐标表示
位置向量起点为坐标原点的向量
平面向量的分解→平面向量的正交分解→平面向量的分解(以坐标轴的共线向量为基底)→平面向量的分解(以坐标轴的同向向量为基底)→平面向量的分解(以坐标轴的同向单位向量为基底)(“普通话”交流的便利)
A(x,y)
=(x,y)=xi+yj
=(xB-xA,yB-yA)
零向量的坐标为(0,0)
单位向量的坐标为(
,
)
若a=(x,y),则∣a∣=
;∣
∣=
向量的坐标与起点和终点的相对位置有关,与起点和终点的绝对位置无关
平面向量的坐标表示的意义:
把几何问题代数化、算术化
平面向量的坐标运算坐标运算不需要几何特征
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a+b=a-b=λa=
第十课时:
有向线段的定比分点
用黄金分割律引入
定比分点的定义
已知P在直线AB上,且P与B不重合,若
=λ
,则称P分有向线段
所成的比为λ,P叫
的定比分点(
为基底)
(注意起点、分点、终点的顺序在起点和分点符号之间插入分点)
定比分点的类型
当P在线段AB上时,称P为
的内分点,λ>0.特别地,P若为线段AB的中点,则λ=1.
当P在线段AB的延长线或反向延长线上时,称P为
的外分点,λ<0.特别地,P若在AB的延长线上,则λ<-1;若P在AB的反向延长线上,则-1<λ<0.
当P与A重合时,λ=0.
综上得,λ≠-1.
定比分点计算公式(三点一值的计算)
已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),
若点P(x,y)分有向线段
所成的比为λ(λ≠-1),
则
=
=
+
(定比分点向量公式)
(定比分点坐标公式)注意对号入座
线段中点坐标公式
三角形重心坐标公式
练习1、O分有向线段
所成的比为2,则()
A.
=2
B.
=2
C.
=2
D.
=2
2、若P分有向线段
所成的比为3,则A分有向线段
所成的比为
3、若P分有向线段
所成的比为3,则P分有向线段
所成的比为
4、黄金分割点的坐标
三点共线问题的处理方法:
方程法、斜率法、向量法、定比分点法、距离法
第十一课时:
平面向量平行的坐标表示
引入:
若a=(1,3),b=(x,4)则x为何值时,a∥b?
方法1:
设a=λb,列方程组解之,λ是辅助量,可消去不求,象一个学雷锋做好事不留名的人,当然,为了感谢他,也可以打听出其姓名(求出λ的值)
问题:
解决此题能否自力更生,不请外援?
(总结辅助量的效果,事半功倍)
方法2:
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b
x1y2-x2y1=0对号入座
(记忆方法:
先打草稿——写比例式,再写定稿——把分式化为整式)
可以去掉课本上a≠0的规定,且可用加减消元法推导上式
写比例式法可以作为技巧解客观性试题
待定系数法与坐标法的异同:
待定系数法是方程组,可同时解决线性向量式的系数(或向量的坐标)与定向(确定同向还是反向);坐标法是方程,可求向量的坐标,但解决向量定向问题时比较麻烦.
推广:
若a与b不共线,
则(λ1a+μ1b)∥(λ2a+μ2b)
λ1μ2-λ2μ1=0
第十二课时:
平面向量的数量积
用力作功为例引入两矢量生成一标量运算的含义运算符号的意义
向量数量积的定义a·b=
写法读法三个因素
夹角的定义、表示、范围、类型
向量垂直及其性质
垂直是两个非零向量之间的一种关系(三条道路堵死两条)
两向量的数量积为零是两向量垂直的必要条件
零向量的规定
零向量与任一向量的数量积为0,由于零向量的方向不确定,故不定义零向量与其它向量的夹角,更不可说零向量与其它向量垂直
向量模的变换方法(平方加根号)向量的平方等于其模的平方
判断
1、x2=y2
x=y或x=-y
2、x2=y2
x=y或x=-y
3、x2=y2
∣x∣=∣y∣
向量数量积的运算率及公式(限于“二次”以内)
投影的概念
第十二课时:
平面向量的数量积的坐标表示
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2):
(1)a·b=x1x2+y1y2不用夹角也可求数量积对号入座
(2)若a与b为非零向量,则
(3)若a与b为非零向量,则a⊥b
x1x2+y1y2=0注意大前提
第十三课时:
平面向量的数量积
第十四课时:
向量的应用
用向量解决物理问题
矢量的分解与合成分析
力与做功
向量源自物理
用向量解决几何问题
平几问题(向量的几何运算)和解几问题(向量的代数运算)
平行问题平行四边形、梯形、三点共线、中位线、直线方程
垂直问题三角形垂心、矩形、菱形、圆的方程
长度问题平行四边形两对角线与四边的关系、三角形的三边关系
角度问题三角形的射影定理、余弦定理、
不等式问题三角形的三边关系、柯西不等式
直线的方向向量与其斜率斜率为k的直线的方向向量的坐标为(1,k)
有向量条件的问题(无需联想)、无向量条件的问题(公式特征和几何意义的联想)
1、求证:
平行四边形的两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和
2、求证:
三角形的三条高交于一点
3、已知直线上两点坐标求其方程
4、求直径圆方程
5、证明余弦定理
6、证明三角形的射影定理
7、求证:
柯西不等式(x1x2+y1y2)2≤(x1,y1)2(x2,y2)2
8、证明三角形和梯形的中位线定理
9、P89,第13题
第十五课时:
向量小结与综合
向量的概念与表示
向量的运算
1、一次运算与二次运算
2、向量的几何(图形)运算与向量的代数(坐标)运算
向量的应用以算代证
希望以上资料对你有所帮助,附励志名言3条:
1、上帝说:
你要什么便取什么,但是要付出相当的代价。
2、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一,也是成功的利器之一。
没有它,天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。
3、当你无法从一楼蹦到三楼时,不要忘记走楼梯。
要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的,必须学会分解你的目标,逐步实施。
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