初中数学竞赛第二十四讲探索性问题含解答.docx
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初中数学竞赛第二十四讲探索性问题含解答
第二十四讲探索性问题
【趣题引路】
一个圆形街心花园,有三个出口A、B、C,如图1,每两个出口之间有一条60m长的道路,组成正三角形ABC.在中心点还有一个亭子,为使亭子与原有的道路相通,需要修三条小路OD,OE,OF,使另一出口D、E、F分别落在△ABC的三边上,且这三条小路把△ABC分成三个全等的多边形,以备种植不同品种的花草.
(1)请你按以上要求设计两种不同的方案,将设计方案分别画出来,并附简单说明;
(2)要使三条小路把△ABC分成三个全等的等腰梯形,应怎样设计?
请把方案画出来,并求此时三条小路的总长;
(3)请你探索出一种一般方法,使得出口D不论在什么位置都能准确地找到另外两个出口E、F的位置,请写明方法;
(4)你在(3)中探究出一般方法适用于正五边形吗?
这种方法可以推广到正n边形吗?
(1)
(2)(3)(4)
解析
(1)方案1D、E、F分别与A、B、C重合,连结OD、OE,OF,得三条小路OD、OE、OE.如图2.
方案2OD、OE、OF分别垂直于D,E,F得OD,OE,OF,如图3.
(5)
(2)如图4,三条小路OD、OE、OF分别与AC、AB、BC平行,得到三个全等的等腰梯形;作OM⊥BC于M,连结BO,则OE=
=20,又OE=OF=OD.
∴OE+OF+OD=3·OE=60.即3条小路OD,OE,OF总长为60.
(3)方案1在BC、CA上分别截取BE=CF=AD,连结OD、OE、OF即得三条小路如图5.
方案2连OD,将OD逆时针旋转120°交BC于E,再逆时针旋转120°交AC于F即得3条小路,如图5.
(4)在正五边形A1A2A3A4A5中,设M1为A1A2上任意一点,在各边上分别截取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1,连结OM1、OM2、OM3、OM4、OM5即可得5条小路,从而可进一步推广到正n边形.
【知识延伸】
探索性问题有别于通常的问题(常规问题).如果把一个题目的系统分成已知条件,解题依据,解题方法和结论四个要素,那么探索性问题往往只有其中的两个要素,以解题过程来看,较少现成的法则和套路,较多分析、探索与创造.
解决此类问题要求我们能综合运用观察、分析、分类、类比、转译、化归、特殊化、一般化、反证法以及数形结合甚至猜想等数学思想和方法.
探索性问题归纳有四种题型:
(1)探索题设下的图形或数量之间的关系;
(2)探索解决问题的方法;(3)探索图形具备某性质或关系的条件或结论;(4)探索改变题设条件后结论是否变化.
例1
如图,⊙O为等腰梯形ABCD的内切圆,M、N、P分别为⊙O与AB、CD、BC的切点.试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所存在的各种关系.
解析
(1)角的相等:
∠A=∠ABC,∠BCD=∠D;∠MBO=∠PBO;∠MOB=∠POB;∠MBO=∠COP等.
(2)角的互补:
∠A+∠D=180°;∠ABC+∠BCD=180°.
(3)角的互余:
∠MBO+∠MOB=90°;∠BOP+∠COP=90°等.
(4)线段的垂直:
OM⊥AB;ON⊥CD:
OP⊥BC;OB⊥OC.
(5)共线点:
N、O、M三点在一条直线上.
(6)线段的相等:
BM=PB=MA;CN=CP=ND;OP=OM=ON;
BC=BM+CN;AB+CD=AD+BC=2AD.
(7)三角形全等:
△MBO≌△PBO;△NOC≌△POC.
(8)三角形相似:
△OCB∽△MOB(或△PBO)∽△NOC(或△PCO).
(9)比例线段:
通过相似三角形对应边成比例,可找到多组成比例线段关系.
(10)作为比例中项的线段:
OP是BP与CP的比例中项,也是MB与NC的比例中项;
MN是AB与CD的比例中项;OB是MB与BC的比例中项;OC是NC与BC的比例中项.
点评
解此问题时最好要有条理性,先从某个角度进行分析,待不能再挖掘出新的对等或成比例的关系后,应及时地换一个角度再思考.
例2如图,EB是⊙O的直径,且EB=6.在BE的延长线上,取点P,使EP=EB.A是PE上一点,过A作⊙O的切线AD,切点为D.过D作DF⊥AB于点F,过B作AD的垂线BH,交AD的延长线于点H.连结ED和FH.
(1)若AE=2,求AD的长;
(2)当点A在EP上移动(点A不与点E重合)时,①是否总有
?
试证明你的结论.
②设ED=x,BH=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解析
(1)∵AD切⊙O于D,AE=2,EB=6,∴AD2=AE·AB=2×(2+6)=16.∴AD=4;
(2)①无论点A在EP上怎么移动(点A不与点E重合),总有
.
证明连结BD,交FH于G.∵AH是⊙O的切线,D为切点,∴∠3=∠4.
又∵BH⊥AH,BE为直径,∴∠BDE=90°,
∴∠1=90°-∠3=90°-∠4=∠2.
在△DFB和△DHB中,∠DHB=90°,∠1=∠2,DB=DB,
∴△DFB≌△DHB.∴BF=BH.∴△BHF是等腰三角形.
∵∠1=∠2,∴BG⊥FH,即BD⊥FH.
∵BD⊥DE,∴ED∥FH,∴
.
②设ED=x,BH=y,BE=6,BF=BH,
∴EF=6-y.
∵DF是Rt△BDE斜边上的高,∴△DFE∽△BDE,
∴
即ED2=EF·EB.
∴x2=6(6-y),即y=-
x2+6.
∵点A不与点E重合,∴ED=x>0,
当点A从点E向左移动,ED逐渐增大,A和P重合时,ED最大,
这时,连结OD,则OD⊥PH,∴OD∥BH.
又∵PO=PE+EO=6+3=9,PB=12,
BH=
=4,
∴BF=BH=4.
EF=EB-BF=6-4=2.
由ED2=EF·EB,得x2=2×6=12.
∵x>0,∴x=2
∴0 . 故所求的函数关系式为y=- x2+6,自变量x的取值范围是0 . 点评 此题根据动点,建立有关函数关系,揭示了函数的本质;函数是研究运动变化的两个变量间的关系问题,此题第 (2)题的第①小题是一个结论探索问题,它要求先探索出结论,再证明出结论成立.在实际问题中,建立的函数关系式,必须注意求出自变量的取值范围,即使题目中没有明确提出这个要求. 【好题妙解】 佳题新题品味 例1如图,直线L上有两点A、B,AB=4cm,过L外一点C作CD∥L,射线BC与L所成的锐角∠1=60°,线段BC=2cm,动点P、Q分别从B、C同时出发,P以1cm/s的速度沿由B向C的方向运动,Q以2cm/s的速度沿由C向D的方法运动,设P、Q运动的时间为t(s),当t>2时,PA交CD于E. (1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长. (2)求△APQ的面积S和t的函数关系式; (3)当QE恰好平分△APQ的面积时,QE的长是多少厘米? 解析 (1)∵BP=t,CQ=2t,PC=t-2, 由EC∥AB,且AB=4,得△PEC∽△PAB, ∴ 即EC= QE=QC-EC=2t- = ; (2)过P作PE⊥L,垂足为F,交QC的延长线于点G, 因∠1=60°,∴PF=PB.sin60°= t. 又∵CD∥L,故PG⊥CD. ∴S△APQ=S△EQA+S△EPQ = QE·GF+ QE·PG= QE(GF+GP)= QE·.PF = · · t= (t2-2t+4); (3)因为△APQ是由△QEA和△QEP组成,又这两个三角形具有公共的底QE, 所以只须G平分PF,即当C为PB的中点时,QE即平分△PAQ的面积, 于是由t-2=2,可得t=4,从而有: QE= = =6(cm). 点评 这是一个点以定速沿规定方向移动的几何问题,求解此题的关键是抓住动点移动的时间与各量之间的关系. 例2AB是⊙O的直径,把AB分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么⊙O的周长L= a, 计算: (1)如图1,把AB分成两条相等的线段,每个圆的周长L2= a= L; (2)如图2,把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长L3=_______; (3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长L4=_____. (1) (2)(3) (4)如图3,把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长Ln=__________. 结论: 把大圆的直径分成n条相等的线段以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆的周长是大圆周长的________. 请依照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系. 解析 (2) L(3) L(4) L;结论; . 又由直径与面积的关系,得: 面积关系为,每个小圆面积是大圆面积的 . 点评 此题先给出了特殊范例,然后要求归纳出一般性的规律,这类问题的解法因题而异,没有固定的解题模式,只有多练习多思考,提高观察、推理,归纳能力,遇到这类问题才会很快找到解法. 中考真题欣赏 例1(2003年北京市中考题)如图,ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,请你以F为端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可). 证明∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∴∠DAE=∠BCF. 在△BCF和△DAE中,CB=AD,∠BCF=∠DAE,CF=AE, ∴△BCF≌△DAE. ∴BF=DE. 点评 本题是一个常见的几何基本图形,可创设新的图形背景,使之成为我们合情推理能力的生长点. 例2(2003年吉林省中考题)如图,AB是半圆O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合),点Q在半圆O上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C. (1)∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明; (2)当QP⊥AB时,△QCP的形状是_______三角形. (3)由 (1)、 (2)得出的结论,请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是_________三角形. 解析 (1)△QCP是等边三角形. 证明连结OQ,则CQ⊥OQ, ∵PQ=PO,∠QPC=60°, ∴∠POQ=∠PQO=30°,∴∠C=90°-30°=60°, ∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°. ∴△QPC是等边三角形. (2)等腰直角三角形. (3)等腰三角形. 点评 本题设计精灵,考查我们的推理能力,并且探求方式扩展到了由特殊到一般的归纳推理模式,使数学学习经历从合情推理到演绎推理的完整过程. 竞赛样题展示 例1(2000年黄冈市数学竞赛试题)如图,堆放在车厢里的两根圆木紧紧挨在一起,两根圆木的半径分别为9dm和4dm,为了有效地利用空间,现要在两根圆木的间隙处插进一根半径为1.5dm的小圆木,问能否做到? 解析⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r. 连结O1O2,O1C,O2B,O3G,过O2作O2D⊥O1C交O1C于点D, 过O3作O2D的平行线交O2B,O1C于点E、F. 设⊙O3的半径为x,则在Rt△O2O3E中,E= =2 . 又∵BG=O3E,在Rt△O1O3F中 CG=O3F= =2 . ∴O2D=EF=BC=2 +2 ① 在Rt△O1O2D中,(R+r)2-(R-r)2=O2D2, ∴O2D=2 ② 由①、②,得: 2 +2 =2 ∴ = 即x= 当R=9和r=4时,x= = . ∵ < 故半径为 的圆木不能插进两圆木的间隙. 点评 本题实质上是求⊙O1和⊙O2相外切同时⊙O1、⊙O2又和直线(截面图形)相切的⊙O3,在此情况下,已知⊙O1、⊙O2的半径,⊙O3的半径也就可求出来了. 例2(江苏省初中数学竞赛题)如图,AB是半圆的直径,AC⊥AB,AC=AB.在半圆上任取一点D,作DE⊥CD,交AB于点E,BF⊥AB交AD的延长线于点F. (1)设AD是x°的弧,若要使点E在线段BA的延长线上,求x的取值范围; (2)不论点D取在半圆的什么位置,图中除AB=AC外,还有两条线段一定相等,指出这两条相等的线段,并予以证明. 解析 (1)当E点由右趋向于点A时,△ADB将成为等腰直角三角形,即D点为OS与⊙O的交点,这里OS⊥AB, 所以,点E从右运动到点A时,AD是45°的弧,即x=45. 当点E离开点A在BA的延长线时,离点A越近,点D越接近于点A, 因此x接近于0,D为A点时,x=0, 所以满足题设要求的x的范围是0≤x<45. (2)由题意,知∠CDE=90°,∠CAB=∠EBF=90°,∠ADB=90°, ∵AC为圆的切线,∴∠CAD=∠ABD. ∵∠DEB=180°-∠AED=180°-(360°-180°-∠C)=∠C, ∴△ACD∽△EBD, . 又∵∠ABD=∠BFD,所以△ABD∽△BFD, 所以 ∵AB=AC,∴BE=BF. 点评 此题是探索结论问题,是在给定的条件下,探求相应的结论,解这类问题的思路是: 从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,然后对猜想出的结论进行证明. 全能训练 A级 1.请你观察思考下列计算过程: 因112=121,所以 =11;同样,1112=12321,因为 ;……由此猜想: =_________. 2.观察一列数: 3,8,13,18,23,28…,依此规律,在此数列中比2000大的最小整数是__________. 3.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律,拼成若干个图案: 问: (1)第4个图案中有白色地面砖_________块. (2)第n个图案中有白色地面砖_________块. 4.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到______条折痕,如果对折n次,可以得到________条折痕. 5.已知,如图,线段AM∥DN,直线L与AM、DN分别交于点B、C,直线L绕BC的中点P旋转(点C由点D向点N方向移动). (1)线段BC与AD、AB、CD围成的图形,在初始状态下,形状是△ABD(即△ABC)请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形名称; (2)任取变化过程中的两个图形,测量AB、CD长度后分别计算同一个图形的AB+CD(精确到1cm),比较这两个和是否相同? 试加以证明. 6.如图,AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC,垂足为E. (1)由这些条件,你能推出哪些正确结论? (要求: 不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程写出4个结论即可); (2)若∠ABC为直角,其他条件不变,除上述结论外,你还能推出哪些正确结论? 并画出图形(要求: 写出6个结论即可,其他要求同 (1)). A级(答案) 1.111111111. 2.2003. 3. (1)18; (2)4n+2. 4.15,2n-1或1+2+22+23+…+2n-1. 5. (1)一般梯形,等腰梯形、直角梯形和平行四边形; (2)经测量计算,两个图形的AB+CD都是相等的. 6. (1)第一类: 如图,连结BD,可得结论: ①AB=BC(或∠A=∠C);②DE2=BE·EC;③DE是AD和BE的比例中项;④DC2=EC·BC(或AD2=EC·BC);……、第二类: 连结OD,可得结论;⑤OD∥BC;⑥OD⊥DE;⑦DE是⊙O的切线……从中任选4个结论即可. (2)如图,第一类: 不添加辅助线,可得结论: ①BC是⊙O的切线;②DE∥AB;③CE=EB;④△CDE∽△CAB;⑤CB2=CD·CA;⑥CD=DA=CE: EB;⑦S△CDE: S△CAB=1: 4;…… 第二类: 作辅助线.第一种情形: 连结BD,可得结论: ⑧DE=BE=CE;⑨∠A=∠C=45°;第二种情形: 连结OD,可得结论,⑩CE=DE=BE=AO=BO;(11).DE是⊙O的切线……从中任选6个结论即可. B级 1.如图1,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以2cm/s的速度沿线段CA向点C运动(不运动至点A),⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB、AC相切,当点P运动2s时,⊙O的半径是() A. cmB. cmC. cmD.2cm (1) (2)(3) 2.如图2,直径AB过⊙O的圆心,与⊙O相交于A、B两点,点C在⊙O上,且∠AOC=30°,点E是直线AB上的一个动点(与点O不重合),直线EC交⊙O于点D,则使DE=DO的点E共有() A.1个B.2个C.3个D.4个 3.如图3,直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,若点P在边AB上移动,使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,则符合条件的P点有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,点E平分BC,点P在BD上,且PE+PC=1,探求边AB的最大值. 5.已知如图,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于点D,连结BD、CD、CE,且∠BDA=60°. (1)求证: △BDE是等边三角形; (2)若∠BDC=120°,猜想四边形BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想. B级(答案) 1.A. 2.C. 3.C.设AP=x,则PB=7-x. ①若△PAD∽△PBC,则 = ∴x= <7,符合条件; ②若△PAD∽△CBP,则 x1=1,x2=6也符合条件.故满足条件的P点有3个. 4.如图,不论P如何移动,因为∠BAD=120°, 所以△ADC是等边三角形,取AD的中点F, 连结PF,可得PF=PE.连CF可得CF⊥AD, 根据题意,得PF+PC≥FC,(当点P在FC与BD的交点上时,取等号). 又∵PF+PC=PE+PC=1, ∴FC≤1,AB≤ 所以AB的最大值是 . 5. (1)如图,∵AD平分∠BAC,∴∠3=∠4. 又∵∠4=∠5,∴∠3=∠5, ∵∠DBE=∠2+∠5,∠BED=∠1+∠3,∠1=∠2, ∴∠DBE=∠BED.∴DB=DE. 又∵∠BDE=60°.∴△BDE是等边三角形; (2)猜想四边形BDCE是菱形, ∵∠BDC=120°,∠BDE=60°,∴∠EDC=60°. ∵∠BED=60°,∴BE∥CD. ∵∠3=∠4,∴BD=DC,∴BD=DC, 又∵BD=BE,∴BE DC, ∴四边形BDCE是平行四边形, 又BD=DC,∴BDCE是菱形.
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