线性代数性质公式整理.docx
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线性代数性质公式整理
线性代数
第一章行列式
一、相关概念
1.行列式——n阶行列式
是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
的代数和,这里
是1,2,···n的一个排列。
当
是偶排列时,该项的前面带正号;当
是奇排列时,该项的前面带负号,即
(1.1)
这里
表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中,如果一个大的数排列在小的数之前,就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用
表示排列
的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开——
,
5.余子式与代数余子式——在n阶行列式
中划去
所在的第i行,第j列的元素,剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式
称为
的余子式,记为
;称
为
的代数余子式,记为
,即
。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如
,称为A的伴随矩阵,记作
。
二、行列式的性质
1.经过转置行列式的值不变,即
→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置,行列式的值变号。
特别地,两行相同(或两行成比例),行列式的值为0.
3.某行如有公因子k,则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和,则可把行列式拆成两个行列式之和:
5.把某行的k倍加到另一行,行列式的值不变:
6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0
三、行列式展开公式
n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素,与其对应的代数余子式乘积之和,即
|A|按i行展开的展开式
|A|按j列展开的展开式
四、行列式的公式
1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积;
2.关于副对角线的n阶行列式的值
3.两个特殊的拉普拉斯展开式:
如果A和B分别是m阶和n阶矩阵,则
4.范德蒙行列式
5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵)
若A、B都是n阶矩阵,
是A的伴随矩阵,若A可逆,
是A的特征值:
;
;|AB|=|A||B|;
;
;
;若
,则
,且特征值相同。
一般情况下:
五、行列式的计算
1.数字型行列式
将行列式化为上下三角,再按行或列展开;
化简技巧:
①将每列(行)都加到同一列(行),或者将每列(行)ki倍都加到同一列(行)。
②逐行(或逐列)相加
③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式
数学归纳法——①验证n=1时命题正确;假设n=k时命题正确;证明n=k+1时,命题正确。
②验证n=1和n=2时命题都正确,假设n ③对于n阶的三对角行列式,通常可用数学归纳法。 2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考,利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形;也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。 ☆利用单位矩阵 恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。 3.行列式|A|是否为0的判定 若A=[ ]是n阶矩阵,那么 行列式|A|=0 矩阵A不可逆 秩r(A) Ax=0有非零解 0是矩阵A的特征值 A的列(行)向量线性相关。 因此,判断行列式是否为0,常用: ①秩;②齐次方程组是否有非零解;③看特征值是否为0;④反证法;⑤若|A|=k|A|,且k≠1时也能得出|A|=0 4.代数余子式求和 ①按定义直接计算求和; ②用行列式的按行或列展开的公式。 由于 的值与 的值没有关系,故可以构造一个新的行列式|B|,通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。 P205例20 ③利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性质 ④根据伴随矩阵 的定义,通过求 再来求和。 第二章矩阵 一、矩阵的概念及运算 矩阵——m×n个数排成如下m行n列的一个表格 称为是一个m×n矩阵,当m=n时,矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。 如果一个矩阵所有元素都是0,则称为零矩阵,记作O。 两个矩阵 , ,如果m=s,n=t,则称A与B是同型矩阵 两个同型矩阵如果对应的元素都相等,则称矩阵A与B相等,记作A=B。 矩阵A是一个表格,而行列式|A|是一个数。 二、矩阵的运算 1.(加法)设A、B是同型矩阵,则 2.(数乘) 3.(乘法)若A为m×s矩阵,B为s×n矩阵,则A、B可乘,且乘积AB是一个m×n矩阵。 记成 ,其中 4.转置将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵 三、矩阵的运算规则 ABC为同型矩阵,则 1.加法—— 2.数乘—— 3.乘法ABC满足可乘条件 注意一般情况下 对角矩阵 对角矩阵的逆矩阵 4.转置—— ; ; 5.伴随矩阵—— ; ; ; ; ; ; 6.方阵的幂—— 注意 7.特殊方阵的幂(求 )—— ①若秩 ,从而 例如P218 ②特殊的二项式展开 ③分块矩阵 ④特征值、特征向量、相似 ⑤简单试乘后如有规律可循,再用归纳法。 四、特殊矩阵 设A是n阶矩阵: ①单位阵: 主对角元素为1,其余元素为0,记成 ②数量阵: 数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。 ③对角阵: 非对角元素都是0的矩阵称为对角阵,记成 ④上(下)三角阵: 当 ,有 的矩阵称为上(下)三角阵。 ⑤对称阵: 满足 ,即 ⑥反对称阵: 满足 ,即 , 的对称阵称为反对称阵。 ⑦正交阵: 矩阵称为正交阵,即 ⑧初等矩阵: 单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。 ⑨伴随矩阵: 见(一.1.6) 五、可逆矩阵 1.主要定理: 若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。 行列式不为0则矩阵可逆。 2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得 成立,则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵,B是A的逆矩阵,记成 3.可逆的充要条件——①存在n阶矩阵B使得AB=E ② ,或秩r(A)=n,或A的列(行)向量线性无关 ③齐次方程组Ax=0只有零解 ④矩阵A的特征值不全为0 4.逆矩阵的运算性质——若 若A,B可逆,则 ;特别地 若 可逆,则 ; ; 注意,即使A,B,A+B都可逆,一般地 5.求逆矩阵的方法——①若 ②初等变换 ③用定义求B,使得AB=E或BA=E,则A可逆且 ④分块矩阵,设B,C都可逆,则 ; 六、初等变换、初等矩阵 1.主要结论: 用初等矩阵P左乘A,所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换;若是右乘就是相应的列变换。 2.初等变换——设A是 矩阵,(倍乘)用某个非零常数 的某行(列)的每个元素,(互换)互换A的某两行(列),(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。 称为初等变换。 3.初等矩阵——由E经过一次初等变换所得的矩阵 倍乘初等矩阵 互换初等矩阵 倍加初等矩阵 4.等价矩阵——矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,则称A与B等价,记成 。 若 ,则后者称为A的等价标准形。 (A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵。 ) 5.初等矩阵与初等变换的性质—— ①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵; ②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵 , , ③ 左行右列 ④当A时可逆矩阵时,则A可作一系列初等行变换成单位矩阵,即存在初等矩阵 , ,···, ,使得 七、矩阵的秩 1.求秩的主要方法: 经过初等变换矩阵的秩不变;如果A可逆,则 2.矩阵的秩——设A是m×n矩阵,若A中存在r阶子式不等于0,且所有r+1阶子式均为0,则称矩阵A的秩为r,记成r(A),零矩阵的秩规定为0。 3.矩阵的秩的性质—— 矩阵A中非零子式的最高阶数是r A中每一个r阶子式全为0 A中有r阶子式不为0 特别地, ; 若A是n阶矩阵, 若A是m×n矩阵,则 4.矩阵的秩的公式—— ; 当 时, ; ;若A可逆,则 若A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则 分块矩阵 。 八、分块矩阵 1.概念——将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块,每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块),把子块看成原矩阵的一个元素,则原矩阵叫分块矩阵。 由于不同的需要,同一个矩阵有不同的方法分块,可以行分块,以列分块等。 2.分块矩阵的运算——对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行),就有如下运算法则: 若B,C分别是m阶与s阶矩阵,则 , 若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵,则 , 若A是m×n矩阵,B是n×S矩阵且AB=O,对B和O矩阵按列分块有 即B的列向量是齐次方程组 的解。 线性表出P214 第三章、向量 一、n维向量的概念与运算 1.n维向量——n个有序数组 所构成的一个有序数组成为n维向量,记成 或 ,分别称为n维行向量或n维列向量,数 称为向量的第i个分量。 2.零向量——所有分量都是0的向量称为零向量,记为0 3.相等——n维向量 相等,即 4.运算——n维向量 (加法) , , (数乘) , , , (内积) ,称 为向量 的长度。 ,等号成立当且仅当 特别地,如 ,则称 正交 二、线性表出、线性相关 1.线性组合——m个n维向量 及m个数 所构成的向量 称为向量组 的一个线性组合,数 称为组合系数。 2.线性表出—— ①对n维向量 和 ,如果存在实数 ,使得 则称向量 是向量 的线性组合,或者说向量 可由 线性表出。 ②设有两个n维向量组(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;如果(Ⅰ)中每个向量 都可由(Ⅱ)中的向量 线性表出,则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。 如果(Ⅰ)、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组等价。 等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。 向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。 等价的向量组有相同的秩,但秩相等的向量组不一定等价。 3.线性相关、无关——对于n维向量 ,如果存在不全为零的数 ,使得 则称向量组 线性相关,否则称它线性无关。 关于线性无关,只要 不全为零,必有 ,或者,当且仅当 时,才有 显然,含有: 零向量,相等向量,坐标成比例的向量组都是线性相关的,而阶梯形向量组一定是线性无关的。 证明: 证明线性无关通常的思路是: 用定义法(同乘或拆项重组),用秩(秩等于向量个数则线性无关),齐次方程组只有零解或反证法。 4.重要定理—— ①n维向量组 线性相关 齐次方程组 有非零解 ②n个n维向量 ③ 个n维向量必线性相关。 ④如果 线性相关,则 必线性相关。 ⑤如果n维向量组 线性无关,则它的延伸组 必线性无关。 ⑥n维向量 可由 线性表出 非齐次方程组 有解 ⑦向量组 线性相关 至少有一个向量 由其余s-1个向量线性表出。 ⑧向量组 线性无关,而向量组向量组 线性相关,则向量 可由 线性表出,且表示方法唯一。 ⑨设有两个n维向量组(Ⅰ) ;(Ⅱ) ,如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)
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