传感器计算题详细讲解.docx
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传感器计算题详细讲解
〈传感器与传感器技术》计算题
解题指导(供参考)
第1章传感器的一般特性
1-5某传感器给定精度为2%F•S,度值为50mV,零位值为10mV,求可能出现的最大误差以mV计)。
当传感器使用在满量程的1/2和1/8时,计算可能产生的测量百分误差。
由你的计算结果能得出什么结论?
解:
满量程(F?
S)为50~10=40(mV)
可能出现的最大误差为:
m=402%=0.8(mV)
当使用在1/2和1/8满量程时,其测量相对误差分别为:
08
!
100%=4%
4012
斗0.8
2100%=16%
40叫
1-6有两个传感器测量系统,其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述,试
求这两个系统的时间常数和静态灵敏度K。
(1)30dy3y=1.510*T
dt
式中,y为输出电压,V;T为输入温度,C。
(2)1.4史4.2y=9.6x
dt
式中,y——输出电压,JV;x——输入压力,Pa。
解:
根据题给传感器微分方程,得
(1)T=30/3=10(s),
K=1.510勺3=0.510'(V/C);
(2)t=1.4/4.2=1/3(s),
K=9.6/4.2=2.29(JV/Pa)。
1-7设用一个时间常数=0.1s的一阶传感器检测系统测量输入为
x(t)=sin4t+0.2sin40t的信号,试求其输出y(t)的表达式。
设静态灵敏度K=1。
解根据叠加性,输出y(t)为X!
(t)=sin4t和X2(t)=0.2sin40t单独作用时响应y1(t)
和y2(t)的叠加,即y(t)=y1(t)+y2(t)。
由频率响应特性:
力⑴
sin[4tarctan(_,「)]
1Cv)2
1
.sin[4t—arctan(4=<0.1)
1(40.1)2
=0.93sin(4t-21.8)
1
%⑴〔1(400.1)2
=0.049sin(40t-75.96)
0.2sin[40t—arctan(400.1)]
所以
y(t)=y1(t)+y2(t)=0.93sin(4t-21.8)0.049sin(40t-75.96)
1-8试分析A蛆By(t)二Cx(t)传感器系统的频率响应特性。
解传感器系统的时间常数
=A/B,灵敏度K=C/B。
所以,其频率响应为
A/、C/B
A()-2
J+(coA/B)
相频特性为
(■)--arctan(,A/B)
度在540C至500C之间接近正弦曲线波动,周期为80s,静态灵敏度K=1。
试求该热
电偶输出的最大值和最小值。
以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解:
依题意,炉内温度变化规律可表示为
x(t)=520+20sin(t)C
由周期T=80s,则温度变化频率f=1/T,其相应的圆频率•.=2二f=2二/80=二/40;
温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应y(t)为
y(t)=520+Bsin(,t+)C
热电偶为一阶传感器,其响应的幅频特性为
=0.786
因此,热电偶输出信号波动幅值为
B=20AC)=200.786=15.7C
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(t)|max=520+B=520+15.7=535.7C
y(t)|min=520-B=520-15.7=504.3C
输出信号的相位差:
为
(3)=-arctan(co)=-arctan(2二/8010)=-38.2
相应的时间滞后为
t=36^'382=84s
2
dy3
23.010
dt
dyioio
不22510y“.O10x
式中,y为输出电荷量,pC;x为输入加速度,m/s2。
试求其固有振荡频率5和阻尼比。
解:
由题给微分方程可得
•n二2.251010/1=1.5105rad/s
3
m3.0疋103
0.01
2.2.2510101
1-11
某压力传感器的校准数据如表1-5所示,试分别用端点连线法和最小二乘
法求非线性误差,并计算迟滞和重复性误差;写出端点连线法和最小二乘法拟合直线
方程。
(最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录)
表1-5校准数据表
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
-2.68
-2.69
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
解校验数据处理(求校验平均值)
压力
(MPa)
(设为x)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
校验平均值
(设为y)
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
-2.68
-2.69
-2.70
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.64
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
4.04
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
7.47
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
10.93
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
14.45
(1)端点连线法
设直线方程为
y=ao+kx,
取端点(xi,yi)
(0,-2.70)和(X6,y6)=(0.10,14.45)。
贝Uao由x=0时的
yo值确定,即
ao=yo-kx=yi=-2.70(mV)
k由直线的斜率确定,即
k=y6-力=14.45-(一270)=仃1.5(mV/MPa)
x^-x10.10—0
拟合直线方程为
y=-2.70+171.5x
律求非线性误差
压力
校验平均值
直线拟合值
非线性误差
最大非线性误差
(MPa)
(mV)
(mV)
(mV)
(mV)
0
-2.70
-2.70
0
0.02
0.64
0.73
-0.09
0.04
4.04
4.16
-0.12
-0.12
0.06
7.47
7.59
-0.12
0.08
10.93
11.02
-0.09
0.10
14.45
14.45
0
所以,压力传感器的非线性误差为
0.12
14.45-(一2.70)
100%=0.7%
律求重复性误差:
输出值(mV)
(MPa)
正行程
反行程
1
2
3
不重复误差
1
2
3
不重复误差
0
-2.73
-2.71
-2.68
0.05
-2.71
-2.68
-2.69
0.03
0.02
0.56
0.61
0.64
0.08
0.66
0.68
0.69
0.03
0.04
3.96
3.99
4.03
0.07
4.06
4.09
4.11
0.05
0.06
7.40
7.43
7.45
0.05
7.49
7.53
7.52
0.04
0.08
10.88
10.89
10.94
0.06
10.95
10.93
10.99
0.04
0.10
14.42
14.47
14.46
0.05
14.42
14.47
14.46
0.05
最大不重复误差为
0.08mV,则重复性误差为
100%=0.47%
療求迟滞误差:
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
0
-2.73
-2.71
0.02
-2.71
-2.68
0.03
-2.68
-2.69
0.01
0.02
0.56
0.66
0.10
0.61
0.68
0.07
0.64
0.69
0.05
0.04
3.96
4.06
0.10
3.99
4.09
0.10
4.03
4.11
0.08
0.06
7.40
7.49
0.09
7.43
7.53
0.10
7.45
7.52
0.07
0.08
10.88
10.95
0.07
10.89
10.93
0.04
10.94
10.99
0.05
0.10
14.42
14.42
0
14.47
14.47
0.0
14.46
14.46
0.0
最大迟滞为0.10mV,所以迟滞误差为
0.10
14.45—(—2.70)
100%=0.58%
(2)最小二乘法
设直线方程为
y=a°+kx
数据处理如下表所示
序号
1
2
3
4
5
6
x
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.3
y
-2.70
0.64
4.04
7.47
10.93
14.45
34.83
2x
0
0.0004
0.0016
0.0036
0.0064
0.01
0.022
xy
0
0.0128
0.1616
0.4482
0.8744
1.445
2.942
根据以上处理数据,可得直线方程系数分别为
2
7x*y-\x、xy0.02234.83-0.32.942
2x2八x2二60.022-0.32
0.76626-0.8826
0.042
-2.77(mV)
62.942-0.334.83
60.022-0.32
=171.5(mV/MPa)
所以,最小二乘法线性回归方程为
y=-2.77+171.5x
求非线性误差:
0.07
14.38-(-2.77)
100%=0.41%
压力
校验平均值
直线拟合值
非线性误差
最大非线性误差
(MPa)
(mV)
(mV)
(mV)
(mV)
0
-2.70
-2.77
0.07
0.02
0.64
0.66
-0.02
0.04
4.04
4.09
-0.05
-0.07
0.06
7.47
7.52
-0.05
0.08
10.93
10.95
-0.02
0.10
14.45
14.38
0.07
所以,压力传感器的非线性误差为
,所以最小二乘法
可见,最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小拟合更合理。
重复性误差「R和迟滞误差是一致的。
1-12用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时,如幅值误差限制在
幅值误差和相位差为多?
解:
根据题意
1
:
1-5%(取等号计算)
J1+伽丫
/+(低]=—1—=丄=1.0526
'/1—5%0.95
解出
cot=0.3287
所以
03287
=0.3287/0.52310”s=0.523ms
2兀:
<100
当用该系统测试50Hz的正弦信号时,其幅值误差为
(1+(2兀x5^0.52^10^)
一1=一1.32%
相位差为
=-arctan(沁)=-arctan(2nX50x0.523为=1(09.3
1-13一只二阶力传感器系统,已知其固有频率f°=800Hz,阻尼比=0.14,
现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时,其幅值比A(「)和相位角
t■)各为多少;若该传感器的阻尼比=0.7时,其AC)和:
(■)又将如何变化?
解:
⑷=2平_f=40°_05
'n2二f。
f。
800
所以,当
E=0.14时
A⑥戶2p2
1•25丁■43门5
=1.31
1
J(1—0.522+4汉0.142汉0.52
•--arctan一=-arctan20.142°.5--0.1845rad--10.6
1-(⑸con21-0.5
当E=0.7寸
A--0.975
2222
1-0.540.70.5
■yrctan2刀胪775rad一3
1—0.5
1s、2s和3s
1-14用一只时间常数=0.318s的一阶传感器去测量周期分别为
的正弦信号,问幅值相对误差为多少
解:
由一阶传感器的动态误差公式
=0.318s
———1
(1)T=1snf=1Hznco=2兀(rad)n人=2—1=—55.2%
J1+(2贰^0.318)
(2)T=2s=f=0.5Hz——:
(rad)二-29.3%
—1—2—..
(3)T=3s=fHz(rad)=3一-16.8%
33
1-15已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz,阻尼比=0.1,若要求传感器
的输出幅值误差小于3%,试确定该传感器的工作频率范围
解:
由fo=10kHz,根据二阶传感器误差公式,有
<1.03^1.069
将=0.1代入,整理得
42
■;-n-1.96,\0.0645=0
co1
_1.927_■_1.388(舍去)
一0.0335-
0.183
®丿
2f
-'n2二f。
二f=0.183f。
=0.18310=1.83kHz
在“183
1-16设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理
其固有振荡频率分别为
800Hz和1.2kHz,阻尼比均为0.4。
今欲测量频率为
400Hz正弦变化的外力,
选用哪一只?
并计算将产生多少幅度相对误差和相位差
解:
由题意知
则其动态误差=0.4
400/800=0.5
400/1200=1/3
J1—(⑹叫订+4即何叫2
1
-1
-1
-0.52240.420.52
=17.6%
1
:
-1=7.76%
.1-132『40.42132
相位差
®丄42:
@/^n)’_|2><0.4><0.5
\--tan2-~tan2~
1-仙/%)1-0.5
二-0.49rad=-27.9
⑴.亠2江0.4汇(13)
2=—tan2=-0.29(rad)=—16.6
1-1/3
第2章电阻应变式传感器
2-5一应变片的电阻Ro=120Q,K=2.05,用作应变为800卩m/m勺传感元件。
⑴
Uo。
求「只与R/R;
(2)若电源电压Ui=3V,求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压
解:
由
.R800
亍K~2.05
3
=1.6410-
△R=1.64WR=1.64X'31Q<120Q=0.197Q
其输出电压为
U0=5R=31.6410"=1.2310"V=1.23(mV)
4R4
2-6一试件的轴向应变*0.0015,表示多大的微应变(卩£该试件的轴向相对伸长率为百分之几?
解:
Sx=0.0015=1500X-61=1500()
由于
x=Al/l
所以
Al/I=x=0.0015=0.15%
2-7假设惠斯通直流电桥的桥臂1是一个12^1的金属电阻应变片(K=2.00,检测用),桥臂1的相邻桥臂3是用于补偿的同型号批次的应变片,桥臂2和桥臂4是120〔啲固定电阻。
流过应变片的最大电流为30mA。
(1)画出该电桥电路,并计算最大直流供桥电压
(2)若检测应变片粘贴在钢梁(弹性模量E=2.11011N/m2)上,而电桥由5V电
源供电,试问当外加负荷c=70kg/cm2时,电桥的输出电压是多少?
(3)假定校准电阻与桥臂1上未加负荷的应变片并联,试计算为了产生与钢梁加
载相同输出电压所需的校准电阻值。
解
(1)电桥电路如图所示;最大供桥电压
Uim=30mA(120+120)门=7200mV=7.2V
(2)二=70kg/cm2=686N/cm2=6.86106N/m2,贝U
fl,
=^E=6.86106/2.11011=3.2710^=32.7(亠)
电桥输出为
Ui5_5_5
Uo-K23.2710=8.1810(V)
44
2
=8.1810mV
(3)为了使输出电压相同,只要应变对应的电阻变化相同即可(这里取负应变
对应电阻减少输出相同负电压)。
解题2-7图
应变对应的电阻变化为
厶R_55
K;:
=23.2710—6.5410^
R
R=6.5410与R1=6.5410^5120=7.8510气」
并联电阻Rp
Rp〃R1=120-7.8510^=119.99215(门)
Rp=1834.275k'"18341」
2-8如果将120Q的应变片贴在柱形弹性试件上,该试件的截面积
S=0.5X伽2,材料弹性模量E=2X10N/m2。
若由5X10N的拉力引起应变片电阻
变化为1.2Q,求该应变片的灵敏系数K。
解:
应变片电阻的相对变化为
.R
R
1.21…
0.01
120100
柱形弹性试件的应变为
F
4
510
£=——
54仆一0.005;
E
SE
_411
0.510一210
应变片的灵敏系数为
R/R0.01
K=
2
名0.005
2-10以阻值R=120Q,灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值120Q的固定电阻组成电桥,供桥电压为3V,并假定负载电阻为无穷大,当应变片的应变为2□和2000
时,分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压,并比较两种情况下的灵敏度。
解:
依题意
单臂:
Uo
匕k;=32.0;
22
3O0“(V)二"2—
3^10^(V^名=2000口&
差动:
310”(V)—;-2—
310'(V)=;-2000—
灵敏度:
Ku
KUi/4(单臂)
KUi/2(差动)
可见,差动工作时,传感器及其测量的灵敏度加倍。
2-11在材料为钢的实心圆柱试件上,沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Q的
金属应变片Ri和R2,把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2-11)。
若钢的泊松比
卩=0.285应变片的灵敏系数K=2,电桥的电源电压Ui=2V,当试件受轴向拉伸时
测得应变片Ri的电阻变化值.:
R=0.48Q,试求电桥的输出电压Uo;若柱体直径
d=10mm,材料的弹性模量E=2x101N/m2,求其所受拉力大小
解:
由R1/R1=K1,则
R/R1
K
0.48/120
2
二0.002
2=」;1=-0.2850.002=-0.00057
所以电桥输出电压为
=22(0.0020.00057)
4
=0.00257(V)=2.57mV
当柱体直径d=10mm时,由“=二=—匚,得
ESE
仆兀江(10^10,2
F=后=0.00221011
44
=3.14104(N)
2-12若用一R=350I■'的应变片(K=2.1)粘贴在铝支柱(支柱的外径D=50mm,内径d=47.5mm,弹性模量E=7.31011N/m2)上。
为了获得较大的输出信号,应变片
应如何粘贴?
并计算当支柱承受1000kg负荷时应变片阻值的相应变化
解应变片应沿支柱的轴向粘贴
应变片阻值的相应变化为
.R=KR=KRr/E=KR(F/S)/E
由于
S=「(D2-d2)/4=二(502—47.52)/4=191(mm2)=1.9110如2
F=1000kg=9800N
所以
.R=2.1350[9800/(1.9110“)]/7.31011=0.52(")
2-13一台采用等强度梁的电子称,在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片,做
成称重传感器,如习题图2-12所示。
已知l=10mm,b0=||mm,h=3mm,
E=2.1x4N/mm2,K=2,接入直流四臂差动电桥,供桥电压6V,求其电压灵敏度
悬臂粱式力传感器
(Ku=Uo/F)。
当称重0.5kg时,电桥的输出电压Uo为多大?
—
—
(a)
习题图2-12
解:
等强度梁受力F时的应变为
6FI
h2b°E
当上下各贴两片应变片
并接入四臂差动电桥中时,其输出电压:
6FI
h2boE
则其电压灵敏度为
2
Uo
61006
2~24
32112.1104
=3.463X-1QV/N)=3.463(mV/N)
当称重F=0.5kg=0.5X9.8N=4.9N时,输出电压为
Uo=KuF=3.463X4.9=16.97(mV)
2-14现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片,欲测钢构件频率为10kHz的动态应力,若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5%,试问应选用哪一种?
为什么?
解:
=v/f=5000/(10103)=0.5(m)
l0=10mm时
呈人叫。
500(10门
十sin0-1sin180-1--0.066%
二l。
■:
10500
1。
=20mm时
弋500(20门
、2sin180一1--0.26%
二20500
由此
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