16组 金融投资 王辰 王体涛 张天龙.docx
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16组金融投资王辰王体涛张天龙
金融投资
16组 王辰 王体涛 张天龙
摘要
本文针对金融投资中255个工作日的日投资效益额的数据情况,分别建立了正态分布概率模型和离散型随机变量模型。
经过作日投资效益额的频率直方图初步判断,所选取的样本是近似服从正态分布的,然后通过参数估计,假设检验得出结论该样本数据服从正态分布具有一定的可信度。
通过正态分布的密度函数,将所要求解的问题转化为概率表达式,得出在下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为3.84%,能以95%的置信度保证损失的数额不会超过8.72万元,根据投资效益额与投资额成正比的关系,我们得出在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,那么初始投资额最多应为1146.8万元。
为了对比,我们又建立了离散型随机变量模型,此模型是建立在日投资效益额的样本值均为整数的基础上,即样本数据是离散型随机变量,根据样本值的频数可以确定每个随机变量发生的概率,进而可以得出整个随机变量的概率分布。
通过离散型随机变量的密度函数,得出在下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为3.67%,能以95%的置信度保证损失的数额不会超过7.94万元,根据投资效益额与投资额成正比的关系,我们得出在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,那么初始投资额最多应为1258.35万元。
针对两个周期的情况,对于第一个模型,我们利用正态分布的可加性,类比一个周期的解法,依旧得出了相应的结论;对于第二个模型,由于数据的离散型,计算量较大,我们尝试利用VB编写了程序来求解出问题的概率,有效的解决了多数据离散型随机变量概率求解的问题。
最后,我们又试着从一个周期和两个周期这特殊情形,将问题的解决形式推广到一般的情形。
我们得到结论:
(1)已知初始投资额为M,求T个周期内,限定损失额为L的置信度1-α为
;(2)已知初始投资源为M,求T个周期内,置信度为1-α时的限定损失额L为
;(3)已知限定损失额L,求T个周期内,置信度为1-α时的初始投资额
为
关键词:
金融投资正态分布离散型模型
一、问题重述
某公司在金融投资中,需要考虑如下两个问题:
1)准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产(如股票,外汇等)。
它必须根据历史数据估计在下一个周期(如1天)内的损失的数额超过10万元的可能性有多大,以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。
2)如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,那么初始投资额最多应为多少。
下面是该公司在过去一年255个交易日的日收益额(单位为万元)的统计数据,假定每天结算一次,保持每天在市场上的投资额为1000万元:
收益额
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要求:
1)参考以上数据,建立两种模型来解决前述的两个问题,并对这两个模型加以比较;
2)讨论二周期情形(如今后两天内)上述两个问题的答案。
3)陈述上述两个问题的一般形式(即初始投资额为M,限定损失额为L,置信度为1-
T个周期)及其解决方案。
二、问题分析
该公司255个交易日的日收益额(单位为万元)的统计数据,可视作总体数据中的样本。
我们可以通过对样本数据作频数直方图的方法,得到样本数据的分布情况。
由后面的分析可知,样本数据是近似服从正态分布的。
在这个初步判断的基础上,我们又尝试进行了参数估计,假设检验等步骤,保证数据是服从正态分布这一结论具有一定的可信度。
另外根据题中样本数据均是整数这一特点,我们又尝试建立了离散型随机变量模型,旨在从不同的角度解决金融投资中的收益额问题。
在已知初始投资额的条件下,要根据历史数据估计在下一个周期或者更多个周期内的损失的数额超过10万元的可能性有多大,以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少这两个问题完全可以转化为一个概率问题,根据建立的正态分布函数模型和离散型随机变量模型,应用概率统计的理论方法,可以将建立的概率模型一步步化简,得到问题的近似解。
对于要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,确定初始投资额最多应为多少这一问题,我们查阅资料得到:
投资效益额与投资额是成正比关系的,即初始投资额越大,投资效益额也越大。
在这一结论的背景下,我们可以对要求的初始投资额进行一次合理的估计,进而可以得出问题解的估计值。
当然这一问题的求解是建立在求解出以95%的置信度保证损失的数额不会超过的数值的基础上。
对于将问题推广到一般形式及解决方案的确立,我们可以将所建立的正态分布函数模型应用到问题的求解上来,考虑到正态分布具有可加性,此问题的实质也就是N个服从相同的正态分布的变量的概率问题的求解,由特殊性推广到一般情形,利用正态分布的性质这一问题可以得到有效的解决。
三、模型假设
1.T个周期内的收益额相互之间无影响,且相互独立;
2.假设影响每天收益额的外界因素基本稳定;
3.题中所选取的255天的日投资收益额为随机抽样,具有一定的代表性,能反映
T个周期内日投资收益额的水平;
4.题中的日投资收益额为处理方便均进行了取整处理,实际情况允许有小数;
四、符号系统
X:
日投资效益额(万元);
W:
初始投资额(万元);
m:
以95%的置信度保证损失的最大数额;
T:
周期的个数;
五、模型建立
模型一:
正态分布概率模型
5.1.1总体分布的检验:
由255个交易日收益额的数据通过matlab数据输入,作频数直方图,参数估计,假设检验等一系列步骤,得出该数据的总体分布。
1.数据输入
x=[3332313029282827262625242424242222212121212121202020]
x=[x,191919191818181818181817171717171616161616161616151515151514]
x=[x,1414141414141313131313131313131312121212121212121212121212121111]
x=[x,11111111111110101010101010101010101010101010101010999999999]
x=[x,8888888888877777777777666666666666665555555555]
x=[x,4444443333332222222211111111100000-1-1-1-1-1-1-1-1-1]
x=[x,-2-2-2-3-3-3-3-3-3-3-4-4-4-4-5-6-6-6-6-6-6-7-7-8-8-8-8-8-9-9-9]
x=[x,-9-9-10-10-10-11-11-12-12-13-15-22-25];
hist(x,10)
2.作频数直方图
利用matlap中的直方图命令hist(x),作出255个交易日的日投资效益额频率直方图见图1。
图1
从图1可以看出,该日投资效益额近似服从正态分布。
3.分布的正态性检验
normplot(x)
从图2可以看出,数据基本上在一条直线上,故初步可以断定日投资效益额分布近似为正态分布。
4.参数估计
在基本确定所给数据x的分布后,就可以估计该数据的参数。
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)
结果:
muhat=7.4863,sigmahat=9.8520,muci=[6.2713,8.7013],sigmaci=[9.0647,10.7902]。
从而由该结果可以估计出日投资效益额的均值为7.4863,标准差为9.8520,均值的0.95置信区间为[6.2713,8.7013],标准差的0.95置信区间为[9.0647,10.7902]
5.假设检验
已知日投资效益额服从正态分布,现在方差未知的情况下,检验其均值是否为7.4863
[h,sig,ci]=ttest(x,7.4863)
结果:
h=0,sig=1,ci=[6.2713,8.7013].
检验结果:
(1)布尔变量h=0,表示不拒绝零假设,说明提出的日投资效益额均值为7.4863是合理的;
(2)95%的置信区间为[6.2713,8.7013],它完全包括7.4863,且精度很高;
(3)Sig的值为1,远超过0.5,不能拒绝零假设。
终上所述,通过matlab的正态拟合以及参数估计和假设检验可知该日投资效益额的分布近似服从正态分布,其中正态分布的参数分别用样本的均值与标准方差来进行估计,
μ=7.4863,б=9.8520,因此该分布的密度函数为:
5.1.2密度函数为正态分布的日投资效益额概率函数模型的求解
(1)要根据历史数据估计在下一个周期(如1天)内的损失的数额超过10万元的可能性有多大,此问题完全可以简化为一个概率求解的问题。
所以原问题可以用概率表达式表述为:
查标准正态分布表可知
=0.9616,从而原概率值为3.84%。
所以下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为3.84%。
(2)以95%的置信度保证损失的数额不会超过的值设为X万元,x为日投资效益额,由该分布服从正态分布可知:
由概率统计知识可以将上述式子化为:
将μ=7.4863,б=9.8520,以及查标准正态分布表
,从而可以求出X=8.72,所以以95%的置信度保证损失的数额不会超过的值为8.72万元。
(3)针对要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,求初始投资额最多应为多少这一问题,由(1)(2)的求解过程中可知,投资1000万元,下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为3.84%,以及以95%的置信度保证损失的数额不会超过的值为8.72万元,这里可以取相同的比例来对初始投资额进行一次合理的估计,设初始投资额为W(万元),则
,求解可以得到w=1146.8万元。
因此在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,初始的投资额最多应为1146.8万元。
5.1.3 下面讨论两个周期上述问题的求解
模型二:
离散型模型
5.2.1 分析表中数据,我们发现收益额X均为整数(x=33,32,31...-29,-30),考虑将X做离散型随机变量处理。
由表中的数据可以得到每个离散型随机变量的所发生的频率为:
5.2.2 离散型随机变量模型的求解
(1)在一个周期内损失的数额超过10万元,那么随机变量X的范围为X<-10
那么这一事件的概率可表示为p{X<-10}=P{X=-30}+P{X=-29}+...+P{X=-11}=
,从而可以知道在一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性近似为3.14%。
p=[0.04310.0627];
>>X=[-9-8];
>>m=interp1(p,X,0.05)
求解结果:
m=
-8.6480
所以近似认为|m|=8.648万元,即能以95%的置信度保证损失的数额最大为
8.648万元。
(3)针对要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,求初始投资额最多应为多少这一问题,由(1)(2)的求解过程中可知,投资1000万元,下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为3.14%,以及以95%的置信度保证损失的数额不会超过的值为8.6480万元,这里可以取相同的比例来对初始投资额进行一次合理的估计,设初始投资额为W(万元),则
,求解可以得到w=1156.34万元。
因此在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,初始的投资额最多应为1156.34万元。
52.3 下面讨论两个周期上述问题的求解
(1)设第一周期损失的数额为X,第二周期损失的数额为Y,那么这两个周期损失的
总数额为Z=X+Y,那么在两个周期内损失的数额超过10万元,那么随机变量X的范围为Z<-10,那么这一事件的概率可表示为P{Z<-10}=P{X+Y=-60}+P{X+Y=-59}+...+P{X+Y=-11}
利用VB编写程序代码可以得出结果:
P{Z<-10}≈3.67%
程序代码见附录,程序运行结果见图3
图3
(2)根据
(1)的代码,只需要将条件改为Z<-9和Z<-8,则可以得出P{Z<-9}≈4.89%,
P{Z<-8}≈5.51%。
p=[0.04890.0551];
X=[-9-8];
m=interp1(p,X,0.05)
程序求解结果为m=
-8.8226
所以近似认为|m|=8.8226万元,即能以95%的置信度保证损失的数额最大为8.8226万元。
(3)针对要求在两个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,求初始投资额最多应为多少这一问题,由(1)(2)的求解过程中可知,投资1000万元,下一个周期内的损失的数额超过10万元的可能性为3.67%,以及以95%的置信度保证损失的数额不会超过的值为8.8226万元,这里可以取相同的比例来对初始投资额进行一次合理的估计,设初始投资额为W(万元),则
,求解可以得到w=1133.45万元。
因此在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%,初始的投资额最多应为1133.45万元。
问题三的求解:
陈述上述两个问题的一般形式(即初始投资额为M,限定损失额为L,置信度为1-
T个周期)及其解决方案。
(1)已知初始投资额为M,求T个周期内,限定损失额为L的置信度1-α的解决方案:
(2)已知初始投资源为M,求T个周期内,置信度为1-α时的限定损失额L的解决方案:
(3)已知限定损失额L,求T个周期内,置信度为1-α时的初始投资额
的解决方案:
针对要求在T个周期内的损失超过L的可能性不大于α,求初始投资额
最多应为多少这一问题,由(1)(2)的求解过程中可知,投资M,下一个周期内的损失的数额超过L的可能性为1-
,以及以1-α的置信度保证损失的数额不会超过的值为
,这里可以取相同的比例来对初始投资额进行一次合理的估计,设初始投资额为W(万元),则
,求解可以得到
=
。
因此在T个周期内的损失超过L万元的可能性不大于α,初始的投资额最多应为
六、模型分析
本文针对金融投资中255个工作日的日投资效益额的数据情况,分别建立了正态分布概率模型和离散型随机变量模型。
经过作日投资效益额的频率直方图初步判断,所选取的样本是近似服从正态分布的,然后通过参数估计,假设检验得出结论该样本数据服从正态分布具有一定的可信度,考虑到正态分布的密度函数是适用于连续性随机变量,虽然题中的样本数据均是整数,但考虑到实际情况数据的不确定性,我们所建立的连续型正态分布概率模型在求解问题精度上是能够得到保证的。
对于问题的解决,建立在概率统计中一般型正态分布向标准型正态分布简化的基础上,具有理论的支持。
对于我们所建立的离散型随机变量模型,此模型是建立在日投资效益额的样本值均为整数的基础上,即样本数据是离散型随机变量,根据样本值的频数可以确定每个随机变量发生的概率,进而可以得出整个随机变量的概率分布,其概率分布清晰明了。
根据离散型随机变量概率的可加性,我们得出问题的近似解。
从理论上说,此模型精度不高,
特别是将随机变量视作离散型的就决定了这个问题在求解过程中与实际情况相比具有一定的误差,而且如果样本值的数量很大,求解概率的计算过程具有一定的复杂性,不如正态分布概率模型简单易行。
七、模型推广
对于问题的求解,我们首先建立了正态分布函数模型。
正态分布是概率论和数理 统计中最重要的一种分布。
一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,例如人的身高、体重;农作物的收获量;海洋波浪的高度;电子管中的噪声电流、电压。
尤其在误差理论中正态分布是最基本的分布。
另一方面,正态分布具有良好的性质,许多分布在一定条件下可近似看成正态分布,因此在理论研究中,正态分布十分重要。
对于我们建立的离散型随机变量模型,此模型在实际生活中具有广泛的应用。
比如离散性分布中的0-1分布,二项分布,泊松分布,几何分布这几个分布。
特别是泊松分布是概率论中的一种重要分布。
主要集中在两个领域内,一是社会生活中对服务的各种要求,二是物理学、放射性物质分裂落到某区域的质点数,显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等。
八、结论
针对本文的金融投资问题,我们建立了正态分布模型和离散型随机变量模型,对于不同的模型求解的结果近似相等,说明了这两种模型的建立以及对于问题的解决是合理可行的,再由问题中的所求解的一个周期和两个周期的情况,推广到T个周期问题的求解,得出问题的一般性解答形式。
具体的求解结果见下表:
正态分布模型
离散型随机变量模型
一般情形
1周期
2周期
1周期
2周期
T个周期
损失的数额超过10万元的可能性
以95%的置信度保证损失的数额(万元)
初始投资额最大值(万元)
九、参考文献
[1]赵静,但琦《数学建模与数学实验》,高等教育出版社:
2014年8月.
[2]印凡成,夏乐天《概率论与数理统计》,河海大学出版社:
2012年8月,p79-p80.
附录
离散型随机变量模型概率求解的VB程序:
PrivateSubCommand1_Click()
DimA(-30To33)AsSingle,iAsInteger,jAsInteger,sumAsSingle,pAsSingle
A(-25)=1/255:
A(-22)=1/255:
A(-15)=1/255:
A(-13)=1/255:
A(-12)=2/255:
A(-11)=2/255:
A(-10)=3/255:
A(-9)=5/255:
A(-8)=5/255
A(-7)=2/255:
A(-6)=6/255:
A(-5)=1/255:
A(-4)=4/255:
A(-3)=7/255:
A(-2)=3/255:
A(-1)=9/255:
A(0)=5/255:
A
(1)=9/255:
A
(2)=8/255:
A(3)=6/255:
A(4)=6/255:
A(5)=10/255:
A(6)=14/255:
A(7)=11/255:
A(8)=11/255:
A(9)=9/255:
A(10)=19/255
A(11)=8/255:
A(12)=14/255:
A(13)=10/255:
A(14)=7/255:
A(15)=5/255:
A(16)=8/255:
A(17)=5/255:
A(18)=7/255:
A(19)=4/255A(21)=6/255:
A(22)=2/255:
:
A(20)=3/255
A(24)=4/255:
A(25)=1/255:
A(26)=2/255:
A(27)=1/255:
A(28)=2/255
Fori=29To33
A(i)=1/255
Nexti
Fori=-30To33
Forj=-30To33
Ifi+j>=-60Andi+j<=-11Then
p=A(i)*A(j)
sum=sum+p
EndIf
Nextj
Nexti
Text1=sum
EndSub
PrivateSubCommand3_Click()
End
EndSub
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