等差数列前n项和及其应用.docx
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等差数列前n项和及其应用
等差数列前n项和及其应用
—•选择题(共8小题)
J已知数列{如}的通项公式如=26-2”,要使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为()
A.12B.13C.12或13D.14
2等差数列{““}的前"项和为S”,已矢口"]=13,S3=Sii,当S”最大时,"的值是()
A.5B.6C.7D.8
3.若{"“}是等差数列,首项公差dVO,"1>0,且6/2013("2012+"2013)则使数列{"“}
的前n项和S“>0成立的最大自然数"是()
A.4027B.4026C.4025D.4024
4.已知数列{“”}为等差数列,其前”项和为S“,如・血=5,则九为()
A.110B.55C.50D.不能确定
5.在等差数列{“”}的前"项和为S“,若“2+"4+"15的值为常数,则下列为常数的是()
A.SjB・SgC・Si3D・515
6.设等差数列{“”}的前"项和为S“,若S23>0,S24<0,则S”取最大值时“的值为()
A・11B・12C・13D・23
7.在等差数列{如}中,—<-b若它的前〃项和弘有最大值,则当必>0时,“的最大
a6
值为()
A.11B・12C・13D・14
8.等差数列{"“}中,“ioVO,“ii>0且t/ii>k/iol*S“为其前n项和,则()
A.S]()V0,S\i>0B・S]9<0,S2o>O
C・S5<0,S6>0D・S20VO,S2i>0
二•填空题(共4小题)
9已知等差数列{如,{如前n项和分别为S”和%,若工=空2孥,则句十:
5+严+%丁口n+。
bq+be+bg+b]?
・
D设等差数列{““}的前”项和为S”,若3"5-“1=10,则Si3=•
11数列{如}的前〃项和为S”且S产〃2十(归屮),则通项公式如=・
已知两个等差数列M.{bn}的前H项和分别为Sn,Tn.且F二竺雪
1n4n+27
■
三•解答题(共4小题)
B等差数列{血}的前”项和为S”,且"3+"5="4+7,Sio=100.
(1)求{“”}的通项公式:
(2)求满足不等式Sn<3an-2的n的值.
H记S”为等差数列{%}的前"项和,已知5=10,$3=24.
(1)求{如}的通项公式:
<2)求S”,并求S”的最大值.
15.在等差数列{““}中,尙0=18,前5项的和S5=-15.
<1)求数列{"“}的通项公式;
(2)求数列{"“}的前”项和的最小值,并指出何时取最小.
16.已知等差数列{"“}中,5=1,a3=-3.
<1)求数列{"“}的通项公式;
(2)若数列{"“}的前斤项和S&=-35,求比的值.
等差数列前n项和及其应用
参考答案与试题解析
—•选择题(共8小题)
J已知数列伽}的通项公式5=26-2“,要使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为()
A.12B・13C・12或13D・14
【分析】数列是首项为24,公差为2的等差数列,从而S尸24卄"伍一“x(-2)=-
2
n2+25n=-(—竺)2卜竺.由此能求出要使此数列的前畀项和S”最大—的值.
24
【解答】解:
•・•数列仏}的通项公式"“=26-2”,
•••4=26・2=24,
〃=如■如・i=(26■2”)・[26-2(?
?
-I)]=-2»
•••数列仙}是首项为24,公差为2的等差数列,
ASn=24/7fn^n"^-X(一2)=-n2+25,i=-(n
•••要使此数列的前h项和£最大,则h的值为12或
13.故选:
C.
【点评】本题考查等差数列的前〃项和最大时项数〃的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
2等差数列{“”}的前”项和为S”,已知5=13,S3=SU,当S”最大时,"的值是()
A.5B・6C・7D・8
【分析】由等差数列的性质可得如+⑷=0,可得该数列的前7项均为正数,从第8项开始全为负数,故数列的前7项和最大,进而可得答案.
【解答】解:
°.°S3=S]1,.°.S11-S3=“4+"5+"6+…+"11=0,
故可得("4+51)+(«5+«10)+…+("?
+"8)=4("7+"8)=0,
.••©+“8=0,结合如=13可知,该数列的前7项均为正数,
从第8项开始全为负数,故数列的前7项和最大,
故选:
C.
【点评】本题考查等差数列的前"项和,涉及等差数列的性质,从数列自身的特点入手是解决问题的关键,属中档题.
3.若仏}是等差数列,首项公差dVO,心>0,且"2013(“2012+“2013)<0,则使数列{"“}
【分析】由题意可知数列是递减数列,由"2013("2012+^2013)<0,知"20】2>0,“2013<0,
由此推得答案.
【解答】解:
由题总可得数列{如}单调递减,
°,"2O13<°,l"2O12l>l"2O】J・
•:
"2012+。
2013>°・
则$4025=4025如13<°,3^024=
(02012+知]3)X4024
2
故使数列{如}的前H项和Sn>0成立的最大自然数H是
4024.故选:
D.
【点评】本题考查了等差数列的前〃项和,考查了对递减数列的项的符号的判断,关键
在于分淸从那一项开始为负值,且判出正负相邻两项和的符号,是中档题.
4.
已知数列伽}为等差数列,其前〃项和为S”加7-0=5,则弘为(
【分析】利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出・
【解答】解:
2“7■"8=2(尙+6〃)~(c/]+7〃)=“i+5〃=g6=5,
5十句1
•:
S]i二11X—-—二11牝二55・
故选:
B.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式,考査了推理能力与计算能力,属于中档题.
5.在等差数列{"”}的前“项和为S“,若“2+"4+"15的值为常数,则下列为常数的是()
A.S7B・SgC・S]3D・S]5
【分析】利用等差数列的通项公式及英性质即可得出.
【解答】解:
设等差数列{心}的公差为d,••S+g+“i5=3“i+18d=3"7为常数,
•
=13(仃为常
c_13(a1+a13)
•$3=2
数.故选:
C.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于
中档题.
6.设等差数列{"“}的前"项和为S”若S23>0,S24VO,则S”取最大值时“的值为()
A.11B.12C.13D.23
【分析】等差数列仏}的前/I项和为S“,523>0,S24VO,从而尙2>0,"13<0,由此能求出S“取最大值时n的值.
【解答】解:
等差数列{“”}的前/I项和为Sn,$23>0,S24VO,
»3二2(吕[+023)="
24、”’
岂。
二2(彳[+024>二12(
I
•••S”取最大值时“的值为:
12・故选:
B.
【点评】本题考查等差数列的前"项和取最大值时”的值的求法,考査等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想.
7.在等差数列{如}中,—<-h若它的前〃项和%有最大值,则当必>0时,n的最大a6
值为()
A.11B・12C・13D・14
【分析】公差d<0,首项5>0,为递减数列,由等差数列的性质知:
加6="1十51>0,
"6+"7=么112V0,由此能求出结果.
【解答】解:
•••数列仏}是等差数列,它的前川项和必有最大值,
•••公差d<0,首项山>0,{如}为递减数列,
••a7
•
"6°“7<0,"6+"7<0,由等差数列的性质知:
2ci(y=ci1+a]]>0,“6十“7
=“]+“12<0,•・0=号(心+心),
乙
A5n>0时…的最大值为
【点评】本题考查等差数列中满足前〃项和为正的〃的最大值的求法,考査等差数列的性质等基础知识,考査推运算求解能力,考査函数与方程思想,是基础题.
8.等差数列{“”}中,"|0<0‘“ii>0且an>k/iobS“为其前n项和,则()
A.S]()<0,S]]>0B・S]9<0,S2o>O
C・S5<0・S6>0D・S20VO,S2i>0
20(3i3i1)
【分析】由等差数列的性质可得:
S20=>0,Si9=19-6/io<0.
2
【解答】解:
丁等差数列{"”}中,"i()V0,如1>0且wii>k/]obS”为其前"项和,
20(ain+aii)
•••由等差数列的性质可得:
5>0=岁一>0,
乙
Si9=19・"io 故选: B. 【点评】本题考查命题真假的判断,考査等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 二•填空题(共4小题) 9已知等差数列仙小血}前//项和分别为%和0若4=空¥,勾十节+严严匸 tnn+3b2+b6+bg+b12 15 l? -- Q十Q十Q+Q2 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得■■1-''5''9问题得以解决. b2+b6+bs+b12t13 [解答】解&1+°5+$9+°1: 3_°: 1+&13_Q87+13-11 2^2+bg+bg+b12切+匕再4b? b? bj+b13T13+3 _15 IT 故答案为: — 16 【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题. ©设等差数列仏}的前”项和为S“,若3"5-“1=10,则Sk=65. 【分析】利用等差数列通项公式求出2^=10,由此能求岀$3的值. 【解答】解: •・•等差数列伽}的前"项和为%,3“5-"1=10, /.3(5+4〃)・山=加]+12〃=加7=1°, A5i3=y-(a1+a13)=y-X2aT= 孕X10二65・故答案为: 65. 乙 【点评】本题考査等差数列的前13项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查 运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 1数列{"“}的前"项和为S”,且Sn=n2-n(nGNR),则通项公式“”=2“-2. 5,n=l 【分析】由已知条件利用◎=1、能求出结果. nlSn-Sn-rn>2 【解答】解: VSw=n2-n(nGN*), A^/1=5i=1"1=0, 心2时>a=S-S1 an^n-1 =(n2-n)-[(? ? -1)2-(zi-1)] =2h-2. 当h=1时,2n"2=0=5, /•(tn=2n~2. 故答案为: 2/1-2. 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认貞•审题,注意公式的灵活运用. 2已知两个等差数列仙小{%}的前n项和分别为弘Tn.且F二単则 4n+27、+ 211=4 【分析】题目给出了两个等差数列的前”项和的比值,求解两个数列的第11项的比,可以借助等差数列的前H项和在“为奇数时的公式Sn=Iiarrfl进行转化. 【解答】解: 因为数列{“〃}、{心}都是等差数列,根据等差中项的概念知数列中的第11 项为数列前21项的等差中项, 所以$21=21"]],厂21=2"]], 二S"—7X21+1二里 ■t77'4X21+27"? ■ 俐/贝(共10页) 故答案为善 【点评】本题主要考査了等差数列的性质和数列的求和.解题的关键是利用了等差数列的前n项和在n为奇数时的公式,若n为奇数,则Sri=narc1_1. 三•解答题(共4小题) J等差数列{"”}的前"项和为S",且"3十"5="4+7,510=100. <1)求{如}的通项公式: <2)求满足不等式Sn<3a„-2的n的值. 【分析】 (1)由心+"5=“4+7,Sio=100,列岀方程组,求出首项和公差,由此能求出{““}的通项公式. <2)由“]=1,an=2n-1,求出Sn=n2,从而得到n2-6n+5<0,由此能求出n的值. 【解答】(本题10分) 解: (1)设数列{伽}的公差为d, 由“m+"5="4+7,得加]+6d=“]+3〃+7,…(1分) 由Sio=100,得10"i+45d=100,②…(2分) 解得di=l,d=29…(4分) 所以如=山+(? ? -1)cl=2n-1.…(5分) n(ai+a„) (2)因为"i=l,an=2n-1,所以»二=n2>…(7分) 由不等式S”V3"“-2,得“2<3(2n-1)-2» 所以,n2-6n+5<0, 解得1<“<5,…(9分) 因为zjEN*> 所以”的值为2,3,4.…(10分) 【点评】本题考查等差数列的通项公式、项数“的求法,是基础题,解题时要认貞•审题,注意等差数列的性质的合理运用. 4记S”为等差数列{““}的前"项和,已知“1=10,$3=24. (1)求{"“}的通项公式: <2)求S“,并求S”的最大值. 【分析】 (1)设等差数列{如的公差为必由“i=10,S3=24.利用求和公式解得〃,即可得出 (2)利用求和公式、二次函数的单调性即可得出. 【解答】解: (1)设等差数列{隔}的公差为d,V«|=1O,S3=24.A3XiO+3X2J=24. 2 解得d=-2. •••如=10・2(//-1)=12-2n. •: 当/! =5或6时,S”最大,S〃=-52+55=30. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单训性,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 15.在等差数列{如}中,"io=18,前5项的和S5=-15. <1)求数列{"“}的通项公式; (2)求数列{如}的前“项和的最小值,并指岀何时取最小.站l+9d=18 【分析】 (1)由等差数列伽}中<10=18,前5项的和55=-15.§‘ 5中+》X4Xd二-15由此能求岀数列{如}的通项公式. n(a-|+a)379147 (2)由ai=-9,〃=3,如=3〃-12,知片二=y(n—)由此 能求出当"=3或4时,前”项的和S“取得最小值S3=S4=-18. 【解答】解: (1)•・•等差数列仙J中,“io=18,前5项的和S5=-15, 5中+^X4Xd二一15 解得5=-9,d=3, •*.Un=3/: ■12. (2)•••“]=-9,d=3,an=3n-12, nCai+a^,)19 •: sn=——2——C3n2-21n) •••当〃=3或4时,前〃项的和S“取得最小值53=S4=-18. 【点评】本题考查等差数列的通项公式和前〃项和公式的灵活运用,是基础题.解题时 要认真审题,仔细解答,注意配方法的合理运用. 16.已知等差数列{"“}中,“1=1,“3=-3. <1)求数列{如}的通项公式; <2)若数列{如}的前k项和Sk=-35,求k的值. 【分析】 (1)根据等差数列的通项公式,先求出d,即可得到答案, (2)根据等差数列的前“项和公式即可求出. 【解答】解 (1)设等差数列⑺”}的公差为〃,血]=1,“3=・3,得加=山+2〃,解得d=-2, •*.an=a\+(n~1)d—1-2(n-1)=3■ (2)SR=k(l+3-2k2=-35, 2 即Q-2—35=0, 解得k=l或-5(舍去) 故R=7. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前〃项和公式,属于基础题.
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- 等差数列 及其 应用