七年级下学期 同位角 平行线的性质.docx
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七年级下学期同位角平行线的性质
一、知识概述
1、同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截,构成了八个角,也称“三线八角”.其中位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧,并且在第三条直线的同旁)叫做同位角.在两条直线之间,并且位置交错(即分别在第三条直线的两旁)的一对角,叫做内错角.在两条直线之间,并且在第三条直线的同旁的一对角,叫做同旁内角.
2、同位角、内错角、同旁内角的识别
要准确理解同位角、内错角、同旁内角的定义,首先要抓住这三类角的异同.它们的共同点是:
它们都是两条直线被第三条直线所截而成的角中“顶点不同”的角,每个角都有一条边在同一条直线(第三条直线)上,另一条边分别在两条直线(第一、第二条直线)上.它们的区别是:
同位角是在两条直线的“同方”,第三条直线的“同侧”(同旁);内错角是在两条直线“之间”(内),第三条直线“两侧”(错开);同旁内角是在两条直线“之间”(内),第三条直线“同侧”(同旁).其次还要识别这三类角是哪两条直线,被什么样的第三条直线所截而成的,关键是要找准截线.另外,还要能从复杂的图形中分离出这三种角的基本图形,从而准确辨别这些角.
判别同位角、内错角、同旁内角的关键是找到三线,即找到两条直线和截这两条直线的第三条直线,所需判别的两个角的四条边应该分布在这三条直线上.在复杂的图形中判别这三类角时,应沿着角的两边将图形补全,或把多余的线暂时隐去,找到“三线八角”的图形,进而判定这两个角的位置关系.“F型”为同位角,“Z型”为内错角,“U型”为同旁内角.
如图所示,直线l与直线a、b相交,形成了8个角,其中的∠1和∠5这样位置的一对角是同位角,∠3和∠5这样位置的一对角是内错角,∠4和∠5这样位置的一对角是同旁内角.
在图中,同位角还有:
∠2和∠6,∠4和∠8,∠3和∠7;内错角还有:
∠4和∠6;同旁内角还有:
∠3和∠6.
3、平行线
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.用符号“∥”表示平行.如图,直线AB与直线CD平行,记作AB∥CD,读作“AB平行于CD”.
4、平行线的画法
平行线的画法可以概括为“一落二靠三推四画”.
一落:
把三角板的一边落在已知直线上;
二靠:
紧靠三角板的另一边放上直尺(或用另一三角板替代);
三推:
把三角板沿直尺推到三角板的这边通过已知点P的位置;
四画:
沿三角板这一边画直线(如图).
5、平行线的基本性质
平行公理:
经过直线外一点,能且只能画一条直线与已知直线平行.
(1)性质1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
两条直线平行,同位角相等.
如图:
∵AB∥CD(已知)
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
(2)性质2:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:
两直线平行,内错角相等.
如图:
∵AB∥CD(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)
(3)性质3:
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:
两直线平行,同旁内角互补.
如图:
∵AB∥CD(已知)
∴∠2+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)
二、重难点知识归纳
1、理解平行线的意义:
“同一平面”是平行线概念的前提,因为在空间里,“不相交的直线”不一定就是平行线;
2、在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
(1)相交;
(2)平行.
当已知同一平面的两条直线不相交时,就可以肯定它们平行,反之亦然.
3、两条线段平行或射线平行,是指它们所在的直线平行.
三、典型例题剖析
例1、如图,直线AB、CD、EF相交,①指出∠3与其它角(带标号的),是什么关系的角;②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.
分析:
(1)判断一对角的关系,关键在于熟悉各种类型的角之间的位置关系和边之间构成的形状特征.
(2)在“三线八角”中共有4对同位角,两对内错角和两对同旁内角.
解:
(1)∠3与∠1是对顶角;
∠3与∠2和∠4是邻补角;
∠3与∠5、∠7是同旁内角;
∠3与∠6是内错角;
∠3与∠8是同位角.
(2)三条线两两相交(有三个交点)的图形可以看作有三组“三线八角”,而每一组中有4对同位角,2对内错角和2对同旁内角.因此图中共有12对同位角,6对内错角和6对同旁内角.
例2、已知四边形ABCD中,如图所示,AB∥CD,BC∥AD,那么∠A与∠C,∠B与∠D的大小关系如何?
分析:
已知条件中有两组平行直线,根据平行线的性质,推导出角与角之间的数量关系.
解法一:
∠A=∠C,∠B=∠D.理由如下:
∵AB∥CD(已知)
∴∠A+∠D=180°(两条直线平行,同旁内角互补)
∵BC∥AD(已知)
∴∠C+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠A=∠C(同角的补角相等)
同理可知:
∠B=∠D.
解法二:
∠A=∠C,∠B=∠D.
如图,理由如下,延长AB到E,
∵AD∥BC(已知)
∴∠A=∠CBE(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD(已知)
∴∠C=∠CBE(两直线平行,内错角相等).
∴∠A=∠C(等量代换)
同理可知:
∠B=∠D.
解法三:
∠A=∠C,∠B=∠D.
如图,连接AC.
∵AD∥BC(已知)
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD(已知)
∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).
∴∠1+∠2=∠3+∠4(等式的性质)
即∠DAB=∠BCD.同理可知∠B=∠D.
说明:
为了推理的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线,辅助线通常画成虚线.
例3、如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=______度.
分析:
如何求∠2?
观察图形,分析条件,知道AB∥CD,故∠2=∠3,再联系角平分线EG及已知∠1的度数,故可求∠2.
解:
∵AB∥CD,∴∠2=∠3.
又∵∠BEF+∠1=180°,
∴∠BEF=180°-∠1=180°-72°=108°.
∵EG平分∠BEF,
∴
故∠2=54°.
点评:
本题的解答,充分利用了平行线的特征:
两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.
例4、已知:
如图,直线MN的同侧有三个点A、B、C,且AB∥MN,BC∥MN.
求证:
A、B、C三点在同一直线上.
分析:
合理的思维起点是过B点作BE交MN于E,借助平行线的特征,想办法证明∠1+∠3=180°.即想办法证明∠1+∠3是—个平角.如图.
证明:
过B点作BE交MN于E.
∵AB∥MN(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).
∵BC∥MN(已知),
∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).
又∵∠2+∠4=180°(平角的定义)
∴∠1+∠3=180°(等量代换)
∴A、B、C三点在同一直线上.
点拨:
本题提供的证明三点共线的方法是一种典型方法,请同学认真体会.
例5.如图所示,已知两组直线分别互相平行.
(1)若∠1=115°,求∠2、∠4的度数.
(2)题
(1)中隐含着一个规律,请你根据
(1)的结果进行归纳,试用文字表述出来.
(3)利用
(2)的结论解答:
如果两个角的两边分别平行,其中一个角是另一个角的2倍,求这两个角的大小.
探究:
(1)因为∠1+∠3=180°,∠1=115°,
所以∠2=∠1=115°,∠4=∠3=180°-∠1=65°.
(2)如果一个角两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.
(3)设其中一个角的度数为x,则另一个角的度数为2x.
因x+2x=180,所以x=60.
这两个角分别为60°和120°.
中考解析
“平行线性质”是初中数学中的重要内容,也是中考数学中的考点之一.常与三角形、四边形等综合命题.
例1、(河南)如图直线l1∥l2,AB⊥CD,∠1=34°,那么∠2的度数是___________.
分析:
本题考查直角三角形内两锐角互余与平行线的性质.
解:
由图可知,∠1+∠DCB=90°,所以∠DCB=90°-∠1=90°-34°=56°.
而
∥
,所以∠2=∠DCB=56°.
答案:
56°
例2、(长沙)如图,直线a与直线b互相平行,则|x-y|的值是( )
A.20 B.80 C.120 D.180
解:
因为直线
与直线
互相平行,所以x=30°,3y=180°-30°=150°,
得y=50°,因此,|x-y|=|30-50|=20,故选A.
说明:
本题主要考查平行线的性质,互补与绝对值的概念,同时考查了数形结合的数学思想.
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