空间几何体的结构及练习题.docx
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空间几何体的结构及练习题
§1—2空间几何体的结构
【知识要点】
1.简单空间几何体的基本概念:
(1)fefe柱<
一斜磧柱;
A棱ft正棱柱.
(2)特殊的四棱柱:
棱柱——平行六面体宜平行六面体
V亠2底W是止方整十勺庭匾边恒HR十一亠
长方休_正PM棱柱正方怵
(3)其他空间几何体的基本概念:
几何体
基本概念
正棱锥
底面是正多面形,并且顶点在底面的射影是底面的中心
正棱台
正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面间的几何体是正棱台
圆柱
以矩形的一边所在的直线为轴,将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体
圆锥
以直角三角形的一边所在的直线为轴,将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体
圆台
以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴,将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体
球面
半圆以它的直径为轴旋转,旋转而成的曲面
球
球面所围成的几何体
2.简单空间几何体的基本性质:
几何体
性质
补充说明
棱柱
⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形
(1)直棱柱的侧棱长与高相等,侧面及
对角面都是矩形
(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和
正棱锥
(1)侧棱都相等,侧面是全等的等腰三角形
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和则棱在底面上的射影也组成一个直角三角形
球
(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截面
(2)球心到截面的距离d球的半径R,截
面圆的半径r满足rJr2d2
(1)过球心的截面叫球的大圆,不过球心的截面叫球的小圆
(2)在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离)
3.简单几何体的三视图与直观图:
(1)平行投影:
①概念:
如图,已知图形F,直线I与平面相交,过F上任意一点M作直线MMi平行于I,交平面于点Mi,则点Mi叫做点M在平面内关于直线I的平行投影.如果图形F上的所有点在平面内关于直线I的平行投影构成图形F1,则Fi叫图形F在内关于直
线I的平行投影.平面
性质性质性质性质性质
②平行投影的性质:
1•直线或线段的平行投影仍是直线或线段;
2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线;
3.平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;
4•与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等;
5.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
(2)直观图:
斜二侧画法画简单空间图形的直观图.
(3)
三视图:
正视图
:
左视ffl
W视图
的斜高.
4S圆柱侧面积=2
5S圆锥侧面积=
Rh,其中R是圆柱的底面半径,h是圆柱的高.
RI,其中R是圆锥的底面半径,I是圆锥的母线长.
⑥S球=4R2,其中R是球的半径.
⑵柱体、锥体、台体和球的体积:
①V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的咼.
1Sh,
3
1h(S
3
②V锥体
③V台体
的高.
4艮3,
其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.
JSSS),其中s/,S分别是台体的上、下底面的面积,h为台体
其中R是球的半径.
【复习要求】
1.了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征;
2•会画出简单几何体的三视图,会用斜二侧法画简单空间图形的直观图;
3•理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式.
【例题分析】
例1如图,正三棱锥P—ABC的底面边长为
C
a,侧棱长为b.
C
(I)证明:
PA丄BC;
(n)求三棱锥P—ABC的表面积;
(川)求三棱锥P—ABC的体积.
【分析】对于(I)只要证明BC(PA)垂直于经过三棱锥的基本性质进行求解.
证明:
(I)取BC中点D,连接AD,PD.
•••P—ABC是正三棱锥,
•••△ABC是正三角形,三个侧面PAB,PBC,
•/D是BC的中点,•••BC丄AD,且BC丄PD,
•••BC丄平面PAD,•••PA丄BC.
PA(BC)的平面即可;对于(n)则要根据正
PAC是全等的等腰三角形.
(n)解:
在
RgPBD中,PDJPB2BD2-74b2a2,
2
…SPBC
•••三个侧面
1BC
2
PAB,
•••三棱锥P—ABC
PD旦V'4b2a2.
4
PBC,PAC是全等的等腰三角形,
的侧面积是叟J4b2a2.
4
J3a2
a的正三角形,•三棱锥P-ABC的底面积是七—
尽2
•••三棱锥P—ABC的表面积为
4
•••OD^AD
3
1
•••三棱锥P—ABC的体积为一
3
正三角形
正方形
正六边形
边长
a
a
a
对角线长
丘a
长:
2a;短:
J"3a
边心距
73
6a
a
2
43
2a
面积
732
~a
a2
3/32
2a
外接圆半径
3a
V2
Ta
a
例2如图,正三棱柱ABC—AiBiCi中,
E是AC的中点.
【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形,如本题中的Rt
△POD,其中含有棱锥的高PO;如Rt△PBD,其中含有侧面三角形的高PD,即正棱锥的
斜高;如果连接OC,则在Rt△POC中含有侧棱.熟练运用这几个直角三角形,对解决正棱锥的有关问题很有帮助.
2、正n(n=3,4,6)边形中的相关数据:
ABi//平面BECi.
这种情况下对空间想象能力提出了
(I)求证:
平面BECi丄平面ACCiAi;(n)求证:
【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图,更高的要求,可以根据几何体自身的性质,适当添加辅助线帮助思考.
证明:
(I)•••ABC—AiBiCi是正三棱柱,•••AA1丄平面ABC,
•••BE丄AAi.
•••△ABC是正三角形,E是AC的中点,•••BE丄AC,;BE丄平面ACCiAi,又BE平面BECi,
•••平面BECi丄平面ACCiAi.
(n)证明:
连接BiC,设BCinBiC=D•
•••BCCiBi是矩形,D是BiC的中点,•••DE//ABi.
平面BECi,
又DE平面BECi,ABi
•-ABi/平面BECi•
中,平面PAD丄平面ABCD,AB//DC,△PAD是等边三角
例3在四棱锥P—ABCD
证明:
(I)该几何体三视图如下图:
中a>0.
棱柱,求
用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的一个是四a的取值范围.
解:
个三棱柱的表面积均是2X6a2+6+8+i0=i2a2+24.
情形①:
将两个直三棱柱的底面重合拼在一起,只能拼成三棱柱,其表面积为:
2X(i2a2+24)—2X6a2=i2a2+48.
情形②:
将两个直三棱柱的侧面ABBiAi重合拼在一起,结果可能拼成三棱柱,也可能
曰
疋疋:
拼成四棱柱,但表面积一定是:
2X(i2a2+24)—2X8=24a2+32.
情形③:
将两个直三棱柱的侧面ACCiAi重合拼在一起,结果可能拼成三棱柱,也可能
拼成四棱柱,但表面积一定是:
2X(i2a2+24)—2X6=24a2+36.
情形④:
将两个直三棱柱的侧面BCCiBi重合拼在一起,只能拼成四棱柱,其表面积为:
2X(i2a2+24)—2Xi0=24a2+28
④中产
在以上四种情形中,②、③的结果都比④大,所以表面积最小的情形只能在①、
生.
依题意“表面积最小的一个是四棱柱”,得24a2+28<12a2+48,解得a2
所以a的取值范围是(。
,冷5)
3
例6在棱长为a的正方体ABCD—AiBiCiDi中,E,F分别是BBi,CD的中点,求三棱锥F—AiEDi的体积.
.c
E
_#
c.
at
【分析】计算三棱锥F—AiEDi的体积时,
需要确定锥体的高,即点F到平面AiEDi的
如VFAiEDiVA,EFDi,
距离,直接求解比较困难.利用等积的方法,调换顶点与底面的方式,
也不易计算,因此可以考虑使用等价转化的方法求解.解法i:
取AB中点G,连接FG,EG,AiG.
•••GF//AD//AiDi,.・.GF//平面
•••F到平面AiEDi的距离等于点
AiEDiVgAiEDi
Vdi
AiEG
AiEDi,
G到平面AiEDi的距离.
^SaegAiDi73a2
3A38
D
H
<(
!
a
C
ft
解法2:
取CCi中点H,连接FAi,FDi,FH,FCi,DiH,并记FCinDiH=K.
•••A1D1//EH,AiDi=EH,•••Ai,Di,H,E四点共面.
•••AiDi丄平面CiCDDi,...FC丄AiDi.
又由平面几何知识可得FC」DiH,•••FC丄平面AiDiHE.•••FK的长度是点F到平面AiDiHE(AiEDi)的距离.
3[5
容易求得FK3105a,Vf
A1ED1
1S
AEDi
FK
i752
32aio
345a13
a.
练习1—2
1.
一、选择题:
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为(
2.
(A)2(B)4(C)8(D)16
如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(
4.
某几何体的一条棱长为J7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为J6的线段,
在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最
大值为()
二、填空题:
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为2,E、F分别是BC、A1C1的中点,贝UEF的长等于.
上,且该六棱柱的高为J3,底面周长为3,则这个球的体积为
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件①:
充要条件②:
(写出你认为正确的两个充要条件)
三、解答题:
9.如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E是DD1的中点.
(I)求证:
BD1//平面
(n)求证:
平面ACE丄平面B1BDD1.
10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高
为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
(I)求该几何体的体积V;
(n)求该几何体的侧面积S.
11.如图,已知ABCD—AiBiCiDi是棱长为3的正方体,点E在AAi上,点F在CCi上,且AE=FCi=i.
E
A
(I)求证:
E,B,F,
(n)若点G在BC上,
2
BG—,点M在BB1上,GM丄BF,求证:
EM丄面BCCiBi.
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- 空间 几何体 结构 练习题