65高中数学思想方法.docx
- 文档编号:8840827
- 上传时间:2023-02-02
- 格式:DOCX
- 页数:36
- 大小:42.96KB
65高中数学思想方法.docx
《65高中数学思想方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《65高中数学思想方法.docx(36页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
65高中数学思想方法
1.函数与方程的思想:
函数与方程的思想:
考试中心对考试大纲的说明中指出:
高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考“查,使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算,而在解答题中,则从更深的层次,在知识的网络的交汇处,从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。
”什么是函数和方程思想?
简单地说,就是学会用函数和变量来思考,学会转化已知与未知的关系,在解题时,用函数思想做指导就需要把字母看作变量,把代数式看作函数,利用函数的性质做工具进行分析,或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题.用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有什么要求.
一、例题分析:
例题分析:
【例1】.已知数列{an}各项都是正数,且满足a0=1,an+1=例(Ⅰ)证明an 【分析及解分析及解】.(Ⅰ)方法一: 把an+1=分析及解 1an(4−an),n∈N.2 1an(4−an),n∈N.看作一个函数2 f(x)= 由此启发得 1x(4−x)2 ak+1= 1112ak(4−ak)=[4−(ak−2)2]=−(ak−2)+2<2.222于是ak<2,121又因为ak+1−ak=−ak+2ak−ak=−ak(ak−2)>0,22所以ak+1>ak, 由以上有an 方法二: 用数学归纳法证明: 1°当n=1时,a0=1,a1=∴0 13a0(4−a0)=,22 k时有ak−1 1x(4−x),f(x)在[0,2]上单调递增,2所以由假设有: f(ak−1) (2),111即ak−1(4−ak−1) 所以对一切n∈N,有ak 方法一: an+1= 11an(4−an)=[−(an−2)2+4],222所以,2(an+1−2)=−(an−2) 第1页共29页 令bn=an−2,12则bn=−bn−121122=−(−bn−2)22n−1111222n=−⋅()2bn−2=L=−()1+2+L+2b0222 又b0=-1,所以 1nbn=−()2−1,21n即an=2+bn=2−()2−12 方法二: 由已知的递推式,有2(an+1−2)=−(an−2), 2 2(2−an+1)=(2−an)2,设cn=2−an,由(Ⅰ)有cn>0. 即 2 于是2cn+1=cn,两边取常用对数,得 则{lgcn−lg2}是以lgc0−lg2=−lg2为首项,2为公比的等比数列. lg2+lgcn+1=2lgcn,构造等比数列{lgcn−α},为此设lgcn+1−α= 2(lgcn−α),用待定系数法可得α=lg2。 这是方程思想的作用。 lgcn−lg2=(−lg2)⋅2n=−lg22,.n1lgcn=lg2−lg22=lgn,22−1 n cn=2−an=2 1 2n−1 2 1an=2−2 2n−1 【例2】.给定抛物线C: y=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点.(Ⅱ)设FB=λAF,若λ∈[4,9],求l在y轴上的截距的变化范围.【分析及解分析及解】(Ⅰ)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,分析及解所以l的方程为y=x−1.将y=x−1代入方程y2=4x,并整理得(Ⅰ)设l的斜率为1,求OA与OB的夹角的大小; x2−6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=6,x1x2=1. 22|OA||OB|=x12+y12⋅x2+y2 OA⋅OB=(x1,y1)⋅(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2−(x1+x2)+1=−3. cos(OA,OB)=OA⋅OB|OA|⋅|OB|=− =x1x2[x1x2+4(x1+x2)+16]=41. 314.41 第2页共29页 所以OA与OB夹角的大小为π−arccos(Ⅱ)由题设FB=λAF得即 314.41(x2−1,y2)=λ(1−x1,−y1), ①②∴x2=λx1.③ 2 x2−1=λ(1−x1),y2=−λy1.2222由②得y2=λy1,∵y12=4x1,y2=4x2,联立①、③解得x2=λ,依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ),或B(λ,−2λ),又F(1,0),得直线l方程为 (λ−1)y=2λ(x−1)或(λ−1)y=−2λ(x−1), 当λ∈[4,9]时,l在方程y轴上的截距为把 2λ2λ或−,λ−1λ−1 2λ2λ看作函数,设g(λ)=,λ−1λ−12λ22g(λ)==+,λ−1λ+1λ−1 λ∈[4,9] 2λ在[4,9]上是递减的,λ−1λ+1(或用导数g′(λ)=−<0,证明g(λ)是减函数。 )λ(λ−1)2 可知g(λ)= 32λ442λ3≤≤,−≤−≤−,4λ−133λ−144334直线l在y轴上截距的变化范围为[−,−]∪[,].3443 ∴【例3】.已知x=1是函数f(x)=mx3−3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中 m,n∈R,m<0,(Ⅰ)求m与n的关系式;(Ⅱ)求f(x)的单调区间; (Ⅲ)x∈[−1,1]时,当函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,m求的取值范围.【分析及解分析及解】: (Ⅰ)f′(x)=3mx2−6(m+1)x+n分析及解因为x=1是函数f(x)的一个极值点,所以f′ (1)=0,即3m−6(m+1)+n=0,所以n=3m+6(II)由(I)知,f′(x)=3mx2−6(m+1)x+3m+6=3m(x−1)x−1+ 2m 当m<0时,有1>1+ 2,当x变化时,f(x)与f′(x)的变化如下表: m 第3页共29页 x f′(x)f(x) 2 −∞,1+m <0 单调递减 1+ 0 2m 21+,1m >0 单调递增 10极大值 (1,+∞) <0 单调递减 极小值 当m<0时,f(x)在−∞,1+ 22在在单调递减,(1+,1)单调递增,(1,+∞)上单调递减.mm2(III)由已知得f′(x)>3m,即mx−2(m+1)x+2>0222又m<0所以x−(m+1)x+<0mm222即x−(m+1)x+<0,x∈[−1,1]①mm122设g(x)=x−2(1+)x+,mm其函数开口向上,由题意知①式恒成立,而①式恒成立等价于[g(x)]max<0, 22g(−1)<01+2++<0所以⇒mmg (1)<0−1<044解之得− 【例4】.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0, (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1、S2、S3…,S12中哪一个最大,并说明理由。 【分析及解 (1)由a3=12得: a1=12−2d,分析及解】分析及解∵S12=12a1+44d=144+42d>0∴− S13=13a1+78d=156+52d<0 24 (2)Sn=na1+ n(n−1)15d=dn2+(12−d)n222512−2d ∵d<0,Sn是关于n的二次函数,对称轴方程为: x=∵− 24 ∴6< 51213−<2d2 ∴当n=6时,Sn最大。 【例5】.已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n.证明: (1+m)n>(1+n)m. 第4页共29页 nm【分析及解分析及解】: (1+m)>(1+n)⇔nln(1+m)>mln(1+n)⇔分析及解 ln(1+x)ln(1+x)(x≥2),只要证明g(x)=为减函数就可以了.xxx[1−ln(1+x)]−ln(1+x)由g′(x)=<0,x2(1+x)ln(1+x)则g(x)=为减函数,由2≤m≤n可得xg(m)>g(n)ln(1+m)ln(1+n)因而>,mn 构造函数g(x)=于是,(1+m)n>(1+n)m成立. ln(1+m)ln(1+n)>,mn 二、课后练习: 课后练习: 1.已知关于x的方程x2−(2m−8)x+m2−16=0的两个实根x1,x2满足x1<数m的取值范围__________。 2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如下,则((A)b∈(−∞,0)(C)b∈(1,2)(B)b∈(0,1)(D)b∈(2,+∞) 2 3 )y 0 1 2 x 3.已知关于x的方程sin参考答案: 1.{m|− x+acosx-2a=0有实数解,求实数a的取值范围。 17 2.数形结合的思想2.数形结合的思想 数形结合思想是一种很重要的数学思想,数与形是事物的两个方面,正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科,才能使人们能够从不同侧面认识事物,华罗庚先生说过: “数与形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观, 形少数时难入微.”.把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想。 数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来。 在使用的过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识,因此,数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。 考试中心对考试大纲的说明中强调: “在高考中,充分利用选择题和填空题的题型特点,为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识,而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法,解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’‘数’到的转化为主。 一、例题分析: 例题分析: 第5页共29页 【例1】: 如果实数x、y满足(x−2)+y=3,则例 22 y的最大值为(x ) A. 12 B. 33 C. 32 D.3 【分析及解: 分析及解】分析及解 等式(x−2)2+y2=3有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆, 圆心为(2,0),半径r=3,(如图),而yy−0=则表示圆上的点(x,y)与坐xx−0 标原点(0,0)的连线的斜率。 如此以来,该问题可转化为如下几何问题: 动点A 在以(2,0)为圆心,以3为半径的圆上移动,求直线OA的斜率的最大值,由图 可见,当∠A在第一象限,且与圆相切时,OA的斜率最大,经简单计算,得最 大值为tan60°3,选D= 【例2】: 若集合M=(x,y)例 x=3cosθ(0<θ<π),集合N={(x,y)|y=x+b}y=3sinθ 。 且MIN≠∅,则b的取值范围为 22分析:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 65 高中数学 思想 方法