完整初中数学二次函数压轴题doc.docx
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完整初中数学二次函数压轴题doc
2014年中考数学冲刺复习资料:
二次函数压轴题
面积类
1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于
的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
N,若点
M
(3)在
(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求
m的值;若不存在,说明理由.
2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C
点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC点的坐标.
的面积的最大值,并求出此时
M
平行四边形类
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P
是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为
0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点
A(0,1),B(2,0),O(0,
P,使四边形PB′A′B的面积是
△A′B′O面积4倍?
若存在,请求出
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形
的两条性质.
P的坐标;若不存在,请说明理由.
PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出四边形
PB′A′B
5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:
y=x﹣5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD
的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
周长类
6.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和
y轴的正半轴上,O为坐
标原点,
A、B两点的坐标分别为(﹣
2
3,0)、(0,4),抛物线y=x+bx+c经过点B,且顶
点在直线
x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出
P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S
和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
等腰三角形类
7.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
8.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(﹣1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
综合类
10.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,
且与y轴交于点C(0,5).
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在
(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,
以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
11.如图,抛物线
2
C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x
y=ax+bx+c(a≠0)的图象过点
轴正半轴上,且
OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:
△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:
在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
12.如图,抛物线与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
对应练习
13.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在
(1)中抛物线的对称轴上是否存在点
D,使△BCD
的周长最小?
若存在,求出点
D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是
(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线
AC
的下方,试求△ACE
的最大
面积及E点的坐标.
14.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知
A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)试判断△AOC与△COB是否相似?
并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?
若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
15.如图,在坐标系xOy中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,
2
2),抛物线y=x+bx﹣2的图象过C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时,恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?
(3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?
若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
2014年中考数学冲刺复习资料:
二次函数压轴题
面积类
2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C
点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC点的坐标.
的面积的最大值,并求出此时
M
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题;转化思想.
分析:
(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使
h取最大值,即
点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于
BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只
有一个交点时,该交点就是点M.
解答:
解:
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
0=16a﹣×4﹣2,即:
a=;
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣x﹣2.
(2)由
(1)的函数解析式可求得:
A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:
OC2=OA?
OB,又:
OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB,得:
∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为
AB的中点,且坐标为:
(,0).
(3)已求得:
B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:
y=x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:
y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,
可列方程:
x+b=x2﹣x﹣2,即:
x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;
∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直线l:
y=x﹣4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:
,解得:
即M(2,﹣3).
过M点作MN⊥x轴于N,
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
平行四边形类
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P
是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定.专题:
压轴题;存在型.
分析:
(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:
把A(3,0)B(0,﹣3)分别代入
2
y=x+mx+n
与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),用P点的纵坐标减去
M的纵坐标
得到PM的长,即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣
=时,PM最长为
=,再利用三角形的面积公式利用
S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;
(3)由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当
边形为平行四边形,然后讨论:
当P在第四象限:
PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可
能;当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;当P在第三象限:
PM=OB=3,
t
2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的
t的值.
解答:
解:
(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得
解得
,所以抛物线的解析式是
y=x2﹣2x﹣3.
设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得
,解得
,
所以直线AB的解析式是y=x﹣3;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),
因为p在第四象限,
所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,
当t=﹣
=时,二次函数的最大值,即
PM最长值为
=,
则S△ABM=S△BPM+S△APM=
=.
(3)存在,理由如下:
∵PM∥OB,
∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,
①当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有
PM=3.
②当P在第一象限:
2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得t1
2
PM=OB=3,(t
=
,t=
(舍去),所以P点的横坐标是
;
③当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=
(舍去),t2=
,所以P
点的横坐标是
.
所以P点的横坐标是
或
.
4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,
0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是
△A′B′O面积4倍?
若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出四边形PB′A′B
的两条性质.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题.
分析:
(1)利用旋转的性质得出A′(﹣1,0),B′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形
PB′A′B的面积是△A′B′O面
积的4倍,得出一元二次方程,得出
P点坐标即可;
(3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形
PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质
得出答案即可.
解答:
解:
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(﹣1,0),B′(0,2).
方法一:
2
设抛物线的解析式为:
y=ax+bx+c(a≠0),
∴,解得:
,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.
方法二:
∵A′(﹣1,0),B′(0,2),B(2,0),
设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣2)
将B′(0,2)代入得出:
2=a(0+1)(0﹣2),
解得:
a=﹣1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2;
(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2.连接PB,PO,PB′,
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,
=×1×2+×2×x+×2×y,
2
=x+(﹣x+x+2)+1,
∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:
×1×2=1,
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则
4=﹣x2+2x+3,
即x2﹣2x+1=0,解得:
x1=x2=1,
此时y=﹣12+1+2=2,即P(1,2).
∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意
2个均可.
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;
②等腰梯形对角线相等;
③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(
10分)
或用符号表示:
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:
y=x﹣5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD
的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题.
专题:
压轴题;分类讨论.
分析:
(1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标,然后代入直线l的
解析式中即可求出点A的坐标.
(2)由A点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点B的坐标.则AB、AD、BD三边
的长可得,然后根据边长确定三角形的形状.
(3)若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,应分①AB为对角线、②AD为
对角线两种情况讨论,即
①
AD
PB、②
AB
PD,然后结合勾股定理以及边长的等量关
系列方程求出解答:
P点的坐标.
解:
(1)∵顶点A的横坐标为x=﹣=1,且顶点A在y=x﹣5上,
∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,
∴A(1,﹣4).
(2)△ABD是直角三角形.
将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,∴c=﹣3,
∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3
∴C(﹣1,0),D(3,0),
BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,AD2=(3﹣1)2+42=20,BD2+AB2=AD2,
∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.
(3)存在.
由题意知:
直线y=x﹣5交y轴于点E(0,﹣5),交x轴于点F(5,0)
∴OE=OF=5,又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l,即PA∥BD
则构成平行四边形只能是
PADB
或
PABD,如图,
过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.
设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5)
则PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得:
(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4
∴P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),
存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.
周长类
6.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出
P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t
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