数值分析作业答案.docx
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数值分析作业答案
第2章插值法
1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式
(1)用单项式基底。
(2)用Lagrange插值基底。
(3)用Newton基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解:
(1)用单项式基底
2
设多项式为:
P(x)=a°■aixa2x,
1
X。
2
X。
1
1
1
所以:
A=
1
X1
x2
=
1
-1
1
=-6
1
X2
x|
1
2
4
7352
所以f(X)的二次插值多项式为:
P(x)xx
326
(2)用Lagrange插值基底
I(X(x-Xj)(x-X2)_(X1)(x-2)
0)(X0”)(X0-X2)(11)(1-2)l(X)一(X-X0)(X-X2)_(X-1)(X-2)
1(x1-x0)(x1-X2)(TT)(T-2)
(X-X0)(X-X1)(X-1)(X1)l2(X)二
(X2-X0)(X2-X1)(2-1)(21)
Lagrange插值多项式为:
L2(X)二f(Xo)lo(X)f(Xi)li(X)f(X2)l2(X)
11
=0(-3)—(x-1)(x-2)4—(x-1)(x1)
63
.5x23^7
623
735
所以f(x)的二次插值多项式为:
L2(x)xx2
326
⑶用Newton基底:
均差表如下:
Xk
f(Xk)
一阶均差
二阶均差
1
0
-1
-3
3/2
2
4
7/3
5/6
Newton插值多项式为:
N2(X)二f(冷)f[X0,X1](X-X°)f[X0,X1,X2](X-X°)(X-X1)
35
=0(x-1)(x-1)(x1)
26
5237
XX——
623
7352
所以f(x)的二次插值多项式为:
N2(x)xx
326
由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的
ex的近似
6、在-4—x—4上给出f(x)=ex的等距节点函数表,若用二次插值求值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少?
解:
以Xi-1,Xi,Xi+1为插值节点多项式的截断误差,则有
1.
甩(x)fV)(x—Xy)(x—Xi)(x—Xr),加(X^XhO3
式中Xi斗=x-h,Xi1=xh.
R2(x)=1e4xma?
+(x—Xy)(x—Xi)(x—X卅)
4
eh3
...14213
J。
3,「93
4
令一h3<10-得h<0.00658
9..3
插值点个数
4—(—4)
11216.8叮217
N-1
是奇数,故实际可采用的函数值表步长
4-(—4)8
h0.006579
N-11216
8、f(x)=x7x43x1,求f[20,21/,27]及f[20,21-,28]。
解:
由均差的性质可知,均差与导数有如下关系:
f(n)(冷
f[x°,X1,,Xn],[a,b]
n!
f⑺(巴)7!
所以有:
f[20,2[,27]丄=1
7!
7!
f[20,21^,28]=fG=0=0
8!
8!
15、证明两点三次Hermite插值余项是
R3(x)=f⑷()(x-Xk)2(x-Xk1)2/4!
(Xk,x「1)
并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。
证明:
利用[xk,Xk+1]上两点三次Hermite插值条件
KxQ二f(xQ,出风J=f(Xk1)
H3(xQ二f(xQ,H3(XkJ=f仏1)
知R3(x)=f(x)-H3(x)有二重零点Xk和k+1。
设
R3(x)=k(x)(x-Xk)2(x-Xk1)2
确定函数k(x):
当x=xk或Xk+1时k(x)取任何有限值均可;
当X=Xk,Xk1时,X,区必1),构造关于变量t的函数
g(t)=f(t)-H3(t)-k(x)(x-Xk)2(x-XkJ2
显然有
g(xQ=0,g(x)=O,g(xk1)=0
g(Xk)=0,g(Xk.J=0
在[Xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在仃(x^x)及(x,Xki)使得
g(i)=0,g
(2)=0
在(Xk,1),(1,2),(2,Xki)上对g(x)使用Rolle定理,存在ki•(Xk,1),
k^(1,2)和k3(2,Xkl)使得
g(“)=g“(k2)=g“(k3)=0
再依次对g(t)和g(t)使用Rolle定理,知至少存在-区x.J使得
g(4)()"
而g⑷(t)=f(4)(t)-k(4)(t)4!
,将•代入,得到
k(t)=£f⑷(),(Xk,Xk1)
4!
推导过程表明•依赖于Xk,Xk.1及X
综合以上过程有:
R3(x)=f(4()(x-Xk)2(x-Xk1)2/4!
确定误差限:
记Ih(x)为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。
Xk=akh,(k二0,T,n),h二-—-
n
在区间[Xk,Xk+1]上有
1
f(x)—Ih(x)=f⑷G)(x—Xk)2(X—Xk十)2/4!
兰才m-xxf⑷(x)乂恩彎十(x-xj2(x-x*2
而最值max(x_xk)2(x「xk彳)2二maxs2(s_1)2h4〔h4,(x二xksh)
Xk童势+0<<16
进而得误差估计:
f(x)Th(x)|兰h4maxf⑷(x)
384a总应
16、求一个次数不高于4次的多项式p(x),使它满足p(0)=p(0)=0,
p
(1)=p
(1)=0,p
(2)=1。
(Xo二0?
Xi二1)
1
H3(x)八[H3(Xj)aj(x)H3(Xj厂j(x)]
j:
0
:
cX_1「X_0『、_0]2
=1-2(x-1)-
IL1—0丄1—0'〈1—0
c23
二2x-x
1
设P(x)二H3(x)Ax2(x-1)2,令P
(2)=1得A二—
4
于是
P(x)=2x2_x3』x2(x_1)2=1x2(x_3)2
44
第3章曲线拟合的最小二乘法
16、观测物体的直线运动,得出以下数据:
i
0
1
2
3
4
5
时间t/s
0
0.9
1.9
3.0
3.9
5.0
距离s/m
0
10
30
50
80
110
求运动方程。
解:
经描图发现t和s近似服从线性规律。
故做线性模型abt,「二spari1,t?
,
计算离散内积有:
55
1,11=為12=6,1,t八tj=00.91.93.03.95.0=147
j曲j=0
5
t,t八t2=020.921.923.023.925.0^53.63
j=0
5
(1,^ZSj=0+10+30+50+80+110=280
j£
5
t,s二'tjSj=000.9101.9303.0503.9805.0110=1078
j£
求解方程组得:
‘614.7、'a"‘280"
n=
1J4.753.63丿少丿订078丿
a二-7.855048,b=22.253761
运动方程为:
s=-7.85504822.253761
52
平方误差:
:
2"Sj-s(tj#:
2.1102j=0
仃、已知实验数据如下:
i
0
1
2
3
4
Xi
19
25
31
;38
44
Yi
19.0
32.3
49.0
:
73.3
97.8
用最小二乘法求形如y=a,bx2的经验公式,并计算均方差
解:
门二span1,x2』,计算离散内积有:
44
(1,1)=乞12=5,(1,x2x2=192+252+312+382+44^5327
j=0j=0
4x2y八x;=194254314384444=7277699
j=0
4
(1,y)=Zy=19.0+32.3+49.0+733+97.8=271.4
j=e
4
x2,y八x2yj=19219.025232.331249.038273.344297.8=3693215
j卫
求解方程组得:
广55327『a、
r271.4、
©3277277699丿lb,
^369321.5,
a:
0.972579,b=0.05035
2
所求公式为:
y二0.9725790.05035x
1
「42込
均方误差:
5=徑*y(Xj)-yj打&0.1226
[j=°J
第4章数值积分与数值微分
1确定下列求积分公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:
h
(1)「f(x)dx:
A/(-h)Agf(0)Af(h);
2h
(2)2hf(x)dx:
A」f(-h)AJ(0)Aif(h);
1
(3)J(x)dx:
[f(-1)2f(xJ3f(x2)]/3;
h2
(4)f0f(x)dx怎h[f(0)+f(h)]/2+ah[f(0)—f(h)]。
h
解:
(1).山f(x)dx:
A」f(-h)A)f(0)AJ(h);
将f(x)=1,X,X2分别代入公式两端并令其左右相等,得
h
A』A0A二Jdx二2h
h
-hAj0AohAi=”xdx二0
.2以dxh3
h2AjA00h2A|x
-上
h,2
」1
所求公式至少具有2次代数精确度。
又由于
f(0)hf(h)具有3次代数精确度。
2h
(2).,hf(x)dx:
A/(-h)A°f(O)AJ(h)
f(x)=1,x,x2分别代入公式两端并令其左右相等,得
(-h)2A「
2h
A4A0Aiidx二4h
J01--2h
2h
-hA40A0hf=:
i_xdx=0
n--2h
A00h~Ax~dxx3
0=h_3物
16h3
3
8h"4h
解得:
=A,A0:
33
人32h38h38h3
令f(x)=x,得2hxdx=0=—(_h)—h=0—33
x52h
2h4
令f(x)=x,得Nhxdx=
2
故求积分公式具有3次精确度。
55
64h8h,48h,416h
(—h)h=
5333
1
(3)」f(x)dx:
[f(-1)2f(xJ3f(x2)]/3
当f(x)=1时,易知有
1
.」f(x)dx:
[f(-1)2f(xJ3f(X2)]/3
令求积分公式对f(x)=x,X2准确成立,即
1
』xdx二0二一12x13x2
」x2dx
-12xj
则解得x1一0.2898979或X1=0.6898979
.x2=0.5265986x2=-0.1265986
将f(x)=x3代入已确定的积分公式,则
1
」f(x)dxrf(-1)2f(X1)3f(X2)]/3
故所求积分式具有2次代数精确度。
h2
(4)of(x)dx:
h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)-f(h)]
当f(x)=1,x时,有
h2
01dx:
h[11]/2ah2[0—0]
h2
oxdx:
h[0h]/2ah[1-1]
故令f(x)=x2时求积公式准确成立,即
dx
2
X
hIo
h]/2ah2[0-2h]
解得a=一。
12
将f(x)=x3,x4代入上述确定的求积分公式,有
h[0h3]/2—h2[0-3h2]_4012
1
-h[0h4]/2h2[0-4h4]
012
故所求积公式具有3次代数精确度。
(2)
(3)
-62
[—sin2日d日,n=6
1
解("复化梯形公式,“8
f(0)2、f(xk)f
(1)=0.1114024
2ILk吕
复化辛普森公式,
h「7
S^=-f(0)4"
6k=0
f(x1)+4 (1)】0.1115718 (2)h=2,T4二 -3 -f (1)2、f(Xk)f(9) 2一心 =17.3060005 h~33 「6_f(i)4m4L(xk)f (9)=16.7237505 」 =1.0356841 (3)h抵,t^2f(0)2: f(Xk)f -5 S6二-f(0)4f(*1 6IL心k2 5、推导下列三种矩形求积公式: b af(x)dx=(b-a)f(a) “g+f(叭1.0357639 心6 字(b-a)2;屮(b-a)2;a+bf'7n) af(x)dxr(b-a)f(—~2^(b—a)3。 b f(x)dx二(b-a)f(a)a b 解: (1)左矩形公式,将f(x)在a处展开,得 f(x)二f(a)f()(x—a),(a,x) 两边在[a,b]上积分,得 bbb f(x)dxf(a)dx亠If()(x-a)dx a'-a'-a b =(b-a)f(a)f()(x-a)dx La 由于x-a在[a,b]上不变号,故由积分第二中值定理,有•(a,b) bb f(x)dx=(b-a)f(a)f()(x-a)dx a-a 从而有 b12 [f(x)dx=(b—a)f(a)气fr)(b-a)2"(a,b) (2)右矩形公式,同 (1),将f(x)在b点处展开并积分,得 b12 Jf(x)dx=(b-a)f(a)-二fU)(b-a)H(a,b) (3)中矩形分式,将f(x)在…处展开,得 2 abababab f(x^f (2)f (2)(x厂)f()(x厂),(a,b) 勺亠b f(x)=f(牙)(b-a)f( x-jdx 2 两边积分并用积分中值定理,得 2)b(xd)dx』bf()( £2a22'a a亠bba亠b -f()(b-a)f()(x)dx 2它2 a13 I二皿,问区间〔0,1】 二f(W)(b-a)刃f()(b-a)3,(a,b)6、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分 应分多少等份才能使截断误差不超过『仿解: 由于f(x)=ex=f(x)=f⑷(x),b-a=1 Rjf丄 詈hg) e』10’ 2 12n 由复合梯形公式的余项有: 解得n一212.85可取n=213 由辛普森公公式的余项有: *h4 2880 ⑷徉)< 288o(n) 415 10_2 解得n_3.707可取n=4 (1) (2) (3) 2二 oxsinxdx; ox.1x2dx。 8、用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过10, h- 解: (1)Tk(k) T^-f(x°)f(Xn)2'f(Xi),k=0 2-i二」 4kT(k」)_T(k」) 2n,二n,k=123,111 4 k Tn(k) T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) 0 h_n」] 人⑼=了f(X°)+f(Xn)+2^f(xj 2-T」 0.7717433 1 4T(°)T(°)n- (1)4>2n—In Tn= 4—1 0.7280699 0.7135121 2 42t (1)T (1)T (2)4T2n-1n In_/2” 4—1 0.7169828 0.7132870 0.7132720 3 43t⑵T (2)T(3)4T2n-1n In_启彳 4T 0.7142002 0.7132726 0.7132717 0.7132717 辺 k T°(k) T1(k) 0 -6 3.4513132*106 1 -7 8.6282830*107 -21 -4.4469230*1021 18、用三点公式求心占在-1.0,1.1,1-2处的导数值,并估计误差。 的 值由下表给出: X 1.0 1.1 1.2 f(x) 0.2500 0.2268 0.2066 解: 三点求导公式为 1h f(X0)标3(X0)4f(Xi)-f(X2)=fC0) 1h 5)莎〔"0)")1一'(G 1h2 fmg)】「2) ;i(Xo,X2),i=0,1,2 由于|fS) 三max 1.0空]2 f(x)rmax.2 4! (1+x) 二卑=0.75 25 取表中x=1.0,1.1,1.2,分别将有关数值代入上面三式,即可得导数近似值。 从而可求得误差上限与导数值如下: X 1.0 1.1 1.2 三点公式 -0.247 -0.217 -0.187 误差 0.0025 0.00125 0.0025 理论解 -0.25 -0.2159594 -0.1878287 数值积分法,令(xHf(x),由 f(xkQ=f(Xk)+「+®(x)dx xk 对积分采用梯形公式,得 f(Xk1)=f(Xk)^^M'(Xk)k),1(Xk,Xk1) 212 令k=0,1,得 2 (Xo): 任)f(Xj-f(Xo)l h 2 O,(X2)二〔f(X2)-f(X1)l h 同样对 有 Xk丄 f(Xk』=f(Xk」)+L®(x)dx xk1 f(Xk1^f(Xkj)- (xk1~'XkJ) 12 「(k),一(Xkj,Xk,i) 从而有 1 讥): (X2): 匚If(x2^f(Xo)] h 代入数值,解方程,即得“Xk),k=0,1,2如下 X 1.0 1.1 1.2 三点公式 -0.247 -0.217 -0.187 误差 -0.25 -0.2159594 -0.1878287 理论解 -0.25 -0.2159594 -0.1878287 7、用列主元消去法解线性方程组 12^-3x23x3=15 -18x13x2-X3--15 X1+X2+X3=6 1 X1+X2+X3=6 并求出系数矩阵A的行列式的值。 - - '12 -33151 -18 Ia b】= -18 3-1-15 C: 0 1 116 0 • A =一18汉 7x22=-66 6 7 3 -1 1 -15 —18 3 _1 1 -15 7 1 7 17 31 -1 5 J 0 3 6 18 6 7 17 31 0 0 22 66 6 18 6 - 7 7一 7、用列主元消去法解线性方程组 12^-3x23x3=15 -18x13x2-X3--15 第5章解线性方程的直接方法 X3=3,X2=2,为=1 8、用直接三角分解求线性方程组的解。 ^X1」X2」X3=8 345 x-! x22x3=8 解: 由公式U1iPi(i=1,2,Mn),S二不/51」=2,3,|||,n r-1 片na”一、hUki,i=r,r1,11(,n; k4rJ lir=(a『-、TikUkr)/Urr,i=r1,|山n;r=n知 10 4 A=LU=—1 13 2-36 10 4b=LY=—1 3 2-36 -91 Y=—4 [—154一 一1 1 11 01 4 5 6 1 1 0 0- 6045 1 13 0 0 1 - 15一 0_ I 91 0 Y= 8 1 L 8一 k4 1 1 1 4 5 6 3 1 1 — — 4 60 45 2 -36 13 — 15 (2) 由范数定义,有 a2 x,=-227.08,x2=476.92,X3二-177.69 ■max(ATA)=0.6853407 13、求证: (1)X 证明: (1)由定义知 a2 max(ATA)「(ATA)「(AY)IIIn(ATA) nnnnn a2吃a: 2+川吃ai2=送送a;TAF i=1idi=1jTi# 21__12A2=,max(ATA)"1ATAj亠;.2ATA川,NAtAAf Af"2"f 第6章解线性方程的迭代法 1、设线性方程组 5x12x2x^-12 «_为+4x2+2X3=20 2捲—3x2+10x3=6 (1)考察用雅
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- 数值 分析 作业 答案