高中数学人教A版必修四模块综合测评含答案解析.docx
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高中数学人教A版必修四模块综合测评含答案解析
人教A版必修四模块综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=( )
A.2 B.3
C.4D.6
2.如果一扇形的弧长为2πcm,半径等于2cm,则扇形所对圆心角为( )
A.2πB.π
C.D.
3.设α是第二象限的角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=,则tanα=( )
A.B.
C.-D.-
4.已知=2+,则tan等于( )
A.2+B.1
C.2-D.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )
A.5B.4
C.3D.2
6已知cos=m,则cosx+cos=( )
A.2mB.±2m
C.mD.±m
7.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
A.B.
C.D.π
8.将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
9.若α∈,且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于( )
A.B.
C.D.
10.已知A、B均为钝角,且sinA=,sinB=,则A+B=( )
A.πB.
C.D.-
11.曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间上截直线y=2及y=-1所得的弦长相等且不为0,则下列对A,a的描述正确的是( )
A.a=,A>B.a=,A≤
C.a=1,A≥1D.a=1,A≤1
12.已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )
A.13B.15
C.19D.21
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=________.
14.已知向量a=(1,2),b=(x,-1),若向量a与b夹角为钝角,则x的取值范围为________.
15.函数y=sin+sin2x的最小正周期是________.
16.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如果向量=i-2j,=i+mj,其中,i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量,试分别确定实数m的值使,
(1)A、B、C三点共线;
(2)⊥.
【解】
(1)利用=λ可得i-2j=λ(i+mj),
于是
得m=-2.
(2)由⊥得·=0,
∴(i-2j)·(i+mj)=i2+mi·j-2i·j-2mj2=0,
∴1-2m=0,解得m=.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值.
【解】
(1)由cosx≠0,得x≠kπ+,k∈Z.
故f(x)的定义域为.
(2)tanα=-,且α是第四象限的角,
所以sinα=-,cosα=.
故f(α)=
=
=
=
=2(cosα-sinα)=.
19.(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知函数f(x)=sincos-sin2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
【解】
(1)由题意得f(x)=sinx-(1-cosx)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.
当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.
20.(本小题满分12分)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.
(1)若m⊥n,求tanx的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
【解】
(1)若m⊥n,则m·n=0.
由向量数量积的坐标公式得sinx-cosx=0,
∴tanx=1.
(2)∵m与n的夹角为,
∴m·n=|m|·|n|cos,
即sinx-cosx=,∴sin=.
又∵x∈,∴x-∈,
∴x-=,即x=.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
【解】
(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….
因-≤φ<得k=0,
所以φ=-=-.
(2)由
(1)得f
=sin=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos
=
=
=.
因此cos=sinα
=sin
=sincos+cossin
=×+×
=.
22.(本小题满分12分)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调增区间.
【解】
(1)已知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x,
因为f(x)过点,,
所以f=msin+ncos=,
f=msin+ncos=-2,
所以
解得
(2)f(x)=sin2x+cos2x
=2sin,
f(x)左移φ个单位后得到
g(x)=2sin,
设g(x)的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(x0,2),
因为d==1,解得x0=0,
所以g(0)=2,解得φ=,
所以g(x)=2sin
=2sin=2cos2x,
令-π+2kπ≤2x≤2kπ,k∈Z,
-+kπ≤x≤kπ,k∈Z,
所以g(x)的单调增区间为,k∈Z.
人教A版必修四模块综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=( )
A.2 B.3
C.4D.6
【解析】 ∵a∥b,∴2×6-4x=0,解得x=3.
【答案】 B
2.如果一扇形的弧长为2πcm,半径等于2cm,则扇形所对圆心角为( )
A.2πB.π
C.D.
【解析】 θ===π.
【答案】 B
3.设α是第二象限的角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=,则tanα=( )
A.B.
C.-D.-
【解析】 ∵点P(x,4)在角α终边上,则有
cosα==.
又x≠0,∴=5,
∴x=3或-3.
又α是第二象限角,∴x=-3,
∴tanα===-.
【答案】 D
4.已知=2+,则tan等于( )
A.2+B.1
C.2-D.
【解析】 ∵=2+,
∴tan==
=2-.
【答案】 C
5.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )
A.5B.4
C.3D.2
【解析】 由四边形ABCD为平行四边形,
知=+=(3,-1),
故·=(2,1)·(3,-1)=5.
【答案】 A
6已知cos=m,则cosx+cos=( )
A.2mB.±2m
C.mD.±m
【解析】 ∵cos=m,
∴cosx+cos
=cosx+cosx+sinx
=sin
=cos
=cos=m.
【答案】 C
8.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
A.B.
C.D.π
【解析】 由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又∵|a|=|b|,设〈a,b〉=θ,即3|a|2-|a|·|b|·cosθ-2|b|2=0,∴|b|2-|b|2·cosθ-2|b|2=0.∴cosθ=.又∵0≤θ≤π,∴θ=.
【答案】 A
8.将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
【解析】 由题意得y=f(x)=sin=cosx,
显然A,B,C均错误,只有D正确.
【答案】 D
9.若α∈,且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于( )
A.B.
C.D.
【解析】 因为sin2α+cos2α=,
所以sin2α+cos2α-sin2α=cos2α=,
又0<α<,
所以cosα=,则有α=,
所以tanα=tan=.
【答案】 D
10.已知A、B均为钝角,且sinA=,sinB=,则A+B=( )
A.πB.
C.D.-
【解析】 ∵A、B均为钝角,且sinA=,sinB=.
∴cosA=-,cosB=-,
tanA=-,tanB=-.
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