导数中双变量的函数构造2.docx
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导数中双变量的函数构造2
导数中双变量的函数构造
21.(12分)已知函数f(x)Inxex(R)
(1)若函数f(x)是单调函数,求的取值范围;
(2)求证:
当0%x2时,都有e1X2e1X11竺.
xi
x
xe
•••函数f(x)是单调函数,•/f(x)<0或f(x)>0在(0,)上恒成立,
•-f(x)<0,
xe
x
<0,即
xe
x<0,
x x x e 令 (x): 则(x) x1,当0 x 1时, (x)0; 当 x1 时, (x)0. e e 则 (x)在(0,1) 上递减, (1,)上递增, (x)min (1) 1 1 xe x e x x e •f(x)>0, >0,即 xe x>0, >xe x x e 由 ••得(x) x -x在(0,1 )上递减,(1, )上递增, 又(0) 0, x 时 (x)0, e 综上••…•可知, 1 <或>0;6分 e 11 (2)由 (1)可知,当=时,f(x)Inxex在(0,)上递减,v0x1x2, ee •f(xj 1x f(x2),即Inx1e为 e 1x2 Inx2e2, e 1X21X. •e2eInx1 Inx2 要证e1x2 e为1—,只需证Inx1 X2 InX21 ,即证In—1 X2 x X1 X2 X1 入xi 1 1 t1 令tc, t(0,1),则证Int1, 令h(t)Int 1,则h(t) .2 0, X2 t t t [典例]已知函数f(x)=ax2+xlnx(a€R)的图象在点(1,f (1))处的切线与直线x +3y=0垂直. (1) 求实数a的值; [解] (1)因为f(x)=ax2+xInx, 所以f'(x)=2ax+Inx+1, 因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3, 所以f' (1)=3,即2a+1=3,故a=1. (2)证明: 要证Inn—Inm>m——, nm' nmnnmn小 即证lnm>——m,只需证lnm—齐+m>°. n1 令用=x,构造函数g(x)=Inx—x+x(x>1), 11 则g'(x)=x+采+1. 11 因为x€[1,+x),所以g'(x)=x+壬+1>0, 故g(x)在(1,+x)上单调递增. 由已知n>m>0,得m>1, n 所以gm>g (1)=0, 即证得inm—m+m>0成立,所以命题得证. 1.(2017石家庄质检)已知函数f(x)=ax—|x(x>0),其中e为自然对数的底 数. (1)当a=0时,判断函数y=f(x)极值点的个数; X2、.一—__ ⑵若函数有两个零点X1,X2(X1VX2),设t=二,证明: X1+x2随着t的增大而 I 增大. x2 解: (1)当a=0时,f(x)=—-x(x>0), ex2 —2x・xe——x2・xexx—2f(x)=x2=—, 令f'(x)=0,得x=2, 当x€(0,2)时,f'(x)v0,y=f(x)单调递减, 当x€(2,+x)时,f'(x)>0,y=f(x)单调递增, 所以x=2是函数的一个极小值点,无极大值点, 即函数y=f(x)有一个极值点. x22 ⑵证明: 令f(x)=ax—石=0,得x2=aex, 因为函数有两个零点xi,X2(X1VX2), 333 所以xii2=aexi,x孑=aex2,可得qlnxi=Ina+xi, 所以Xi+X2=! •+i"\① 2t—i x+ilnx 令h(X)=T,X€(i,+^), i—2lnx+x—-入则h,(x)=仁— x—i2 当x€(i,+x)时,u'(x)>0. 因此,u(x)在(i,+^)上单调递增, 故对于任意的x€(i,+^),u(x)>u(i)=0, 由此可得h,(x)>0,故h(x)在(i,+^)上单调递增. 因此,由①可得Xi+X2随着t的增大而增大. 2.(2016全国乙卷)已知函数f(x)=(x—2)ex+a(x—1)2有两个零点. ⑴求a的取值范围; (2)设XI,X2是f(x)的两个零点,证明: Xl+X2<2. 解: (1)f‘(x)=(x—1)ex+2a(x—1)=(x—1)(ex+2a). 1设a=0,则f(x)=(x—2)ex,f(x)只有一个零点. 2设a>0,则当x€(—^,1)时,f'(x)<0; 当x€(1,+x)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(—^,1)内单调递减,在(1,+^)内单调递增. a 又f (1)=—e,f (2)=a,取b满足b<0且b 则f(b)>2(b—2)+a(b—1)2=ab2—qb>0, 故f(x)存在两个零点. 3设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(—2a). e 右a》一2,则ln(—2a)w1, 故当x€(1,+x)时, f'(x)>0,因此f(x)在(1,+x)内单调递增. 又当xw1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. e 若a<—2,则ln(—2a)>1, 故当x€(1,ln(—2a))时,f'(x)<0; 当x€(ln(—2a),+^)时,f'(x)>0. 因此f(x)在(1,ln(—2a))内单调递减,在(ln(—2a),+^)内单调递增. 又当xw1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+^). (2)证明: 不妨设X1VX2,由 (1)知,X1€(—X,1),X2€(1,+X),2-X2€(—%,1),又f(x)在(—x,1)内单调递减, 所以X1+X2<2等价于f(X1)>f(2—X2),即f(2—X2)<0. 由于f(2—X2)=—X2e2—X2+a(X2—1)2, 而f(X2)=(X2—2)eX2+a(X2—1)2=0, 所以f(2—X2)=—X2e2—X2—(X2—2)eX2. 设g(x)=—xe2—X—(x—2)eX, 则g'(x)=(x—1)(e2—x—ex). 所以当x>1时,g'(x)<0,而g (1)=0, 故当X>1时,g(X)<0. 从而g(x2)=f(2—X2)<0,故X1+X2<2. 3.已知函数f(x)=ex—ax—1(a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为—1. (1)求a的值及函数y=f(x)的单调区间; (3)若X1VIn2,X2>In2,且f(x1)=f(x2),试证明: X1+X2<2ln2. 解: (1)由f(x)=ex—ax—1, 得f'(x)=ex—a. 又f'(0)=1—a=—1, 所以a=2, 所以f(x)=ex—2x—1,f'(x)=eX—2. 由f'(x)=ex—2>0,得x>In2. 所以函数y=f(x)在区间(一x,in2)上单调递减,在(In2,+x)上单调递增. (2)证明: 设X>In2, 所以2In2—x f(2In2—x)=e(2In2—x)—2(2ln2—x)—1 4 —&+2x—4ln2—1. D 令g(x)—f(x)—f(2ln2-x) x4 —e—ex—4x+4ln2(x>In2), 所以g'(x)—ex+4e_x—4>0, 当且仅当x—In2时,等号成立, 所以g(x)—f(x)—f(2In2—x)在(In2,+^)上单调递增. 又g(ln2)—0, 所以当x>ln2时, g(x)—f(x)—f(2ln2—x)>g(ln2)—0, 即f(x)>f(2ln2—x), 所以f(x2)>f(2ln2—X2), 又因为f(xi)—f(X2), 所以f(xi)>f(2ln2—X2), 由于X2>ln2, 所以2ln2—X2VIn2,
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- 导数 变量 函数 构造