向量组的秩与极大无关组.docx
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向量组的秩与极大无关组
§3二3向量组的秩
本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由、此引岀向量组的极大无关组与向量组的秩的概鼻念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.
例:
向量组(A):
Q]=(1,2,3)耳=(2,4,6),§
巾=(3,6,9),其中线性无关的向量只有1个,电例如久我们称e为向量纽⑷的•个极人司无关组,并称向量组(A)的秩为1.J
如果向量组(A)有-个部分组即勺,…,a,满足:
⑴^,勺,…,匕线性无关;
(2)Pag(A),均有知如…,“q线性相关,或a均可由少耳,…,%线性表示,则称%色,…0为(A)的-个极大(最大)无关组
•(A)的极大无关组必与(A)等价:
最本质的fl|•
(1)
向量组的极大无关组不是唯一的.
(2)同一向最组的两个极大无关组间是尊价的
问匹:
如果(\)的极人无关组不唯二,问其任意
I两个极大无关组所含向量个数是否唯一?
定理5设有两个向量组:
(4):
4],冬,…&川
(B):
久%…仇;
且(B)可由(A)线性表示,则
(1)当尸>$时,(3)线性相关;
(2)当CB)线性无关时今必有r5s.(证明从略)
推论2「两个等价的线性无关组所含向量个数相同.程][向量组的两个极天无关组所會向量的F—数相同
性质11
向量纽⑷,务…,a,”线性无关ogS,…,%”)二向纟I[终,a“…,a,”线半匸相关o心,a?
aM)<
性质目向量纟ILd],Qy…%可由向量勿0代,…,0_线性衣小,则「(0J"(A・02・0J
性质3若厂(a〕s,…心“)匚则该I诃看纠•屮任意厂勺©性无关向任就是它的•个极人线性无关组
例设a〕©线性无关,试求向量组%=內+函,
02=%_。
2的秩.
例9设有两个向量纽:
(I):
Q〔二
■»■1
2
a=
■
■■
3
0
—
"9~
6
一3
1
一:
1
0
a
b
(11):
0=
1
“2=
2
>03=
1
■
-1
1
0
解:
由已矩久伙可由es线性农示,乂因Qi弓01+扌02'02=#1-扌02故两向量组等价,=>厂(件,0J=r(es)=2.
(1)求⑴的秩;
(2)
如果⑴、(II)有相同的秩,且03可由⑴线性表示,试求常数Q、删值.
解:
⑴由Jttj与他线性无关》=3«!
+2a2,nq与么2为⑴的极大无关纽
n(I)的秩为2.
或llla/Ja.线性无兀而偽,函心线性相关*
由行列式*|叫=
139
10030
206
=
206
-31-7
-31-7
=0
0ab
0
ab
n|0iPiA|=
121
=
0
31
-110
-1
I°
即MH/)=2
(2)由条件矢Ilr(〃)=八/)=2n(〃)线性相关
=一(“-3b)=0
又由岛可由⑴线性表示
=>“冋宙
(1)的极大无关刃肉线性表示异、线性相关
I
9
=>彳亍列式&|%|
-3
=0
=>/?
=5=>a=i5
F面讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.
矩阵A的行例)向量组的秩称为?
啲彳亍例)秩.
定理6厂⑷=A的行秩=人的列秩,
具有相同的线性相关性.
(证明从略)
命题⑴若矩阵A经有限次初等行变换化为他阵B,贝山的任,歆个列向量铀中相应的点个列向量
(2)若矩阵A经有限次初等列变换化为範阵E则A的任意*个行向量与〃中相应的{个行向量具有相同的线性相关性
「123(f
1230_
2371
0-111
34-12
0-2-1()2
4800
00-120
-»
_1230_
0-111
00-120
00-120
->
I23O'
0-I11
()01()
0000
=
n所求秩为3.
例10求下列向最组的秩:
血=(1,2,3,4)'a2=(2,3.4”)丁,a产(3,7,—L0)7a4=(0J,10)r.解:
所求秩等丁•下列矩阵A的秩:
4=&a2a4]
1021
"1021'
1201
02-20
2130
—>
01-1-2
T
25-14
05-52
1-13-1
■
0-11-2
•■
-1
-5
■
1
0
2
■
1
■
1
0
2
■
1
■j
0
2
■0
0
1
-1
0
0
1
-1
0
0
1
-1
0
0
0
0
—2
—►
Q
0
0
q
V
—►
0
0
0
I
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
0
0
□
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
]
0
0
0
0
0
1
0
0
()
0
2-I
0
0
0
因为01a2a」]->
5
例3.11:
求F列向量组的-个极大无关组及向量组的秩
a,=(IJ,2,2,l)r,a:
=(O,2J,5.-l)\a3=(2,O,X-L3)7,a4=(Kt(),4,-l)r.
解:
4=[ 可见r(aParrcrva4)=3,crrcrrar4可作为•个极人无关flL 1 0 0 0 IL? fcxy=2at-az 这是因为叫aAc/Jt 0 例12将0二(1,0,⑷T丿IJ二(0丄1)T, a.=(l,(),l)T,a3=(UX))T线性表出. 所以,P=--a( 例13设人〃分别为mXr.rXnW.阵,证明R(Afl) 证设磁… "11u\n (5・yJ=(a°・・,aJ bu…b“ \vrlF/ ck=b讣a、+/>,Aa,+*»+AfAar,(k=l,・・j)(AB)的列向量组可由4的列向量组线性表出,故R(AB) 又,R(C)= 所以R(Afi) 例M设矩阵心、满足AB讥其中人为打阶单位矩阵,山证明: 酗列向量组线性无关. 证法1: 设〃按列分块为〃珂〃民…””] 设冇一组数X]9心…9兀9使得 兀謁4勺0丄+…亠兀仇" 即[件伙…A] =() X 亦即&=o」冲*=(X]宀,£r,两端人乘人,得 AEr二0因为AB-7.? jx-0,即 兀]=勺=・・・斗=0,=>外禹,…,0“线性无关. 证法2: 耍证氏的列向量纽线性无关J: 耍证 r(B)=n.由己知的4B=/,二> n=r(/n)=r(4B)<r( r(fi)=n.
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- 向量 极大 无关