相似三角形模型分析典型例题讲解汇总.docx
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相似三角形模型分析典型例题讲解汇总
第一部分相似三角形模型分析大全
、相似三角形判定的基本模型认识
一)A字型、反A字型(斜A字型)
二)8字型、反8字型
蝴蝶型)
平行)
不平行)
三)母子型
四)一线三等角型:
五)一线三直角型:
六)双垂型:
、相似三角形判定的变化模型
旋转型:
由A字型旋转得到
8字型拓展
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第二部分
相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1:
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,BE∥CD交CA延长线于E.求证:
OC2OAOE.
例2:
已知:
如图,△ABC中,点E在中线AD上,DEBABC.
求证:
(1)DB2DEDA;
(2)DCEDAC.
求证:
BE2EFEG.
相关练习:
2
1、如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:
FD2FBFC.
2、已知:
AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90°,交于一点N。
求证:
(1)△AME∽△NMD;
(2)ND2=NC·NB
3、已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。
求证:
EB·DF=AE·DB
4.
在ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EFBC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。
求证:
GBM90
5.(本题满分14分,第
(1)小题满分4分,第
(2)、(3)小题满分各5分)
PD⊥AB,交边AC
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,
于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.
1)求证:
AE=2PE;
2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.
双垂型
1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高求证:
(1)△ABD∽△ACE;
(2)△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED
2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=62,求:
点B到直线AC的距离。
共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.
2、已知:
如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°.
点B重合),且保持APQABC.
①若点P在线段CB上(如图),且BP6,求线段CQ的长;
②若BPx,CQy,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
合),且保持APQ90.当CQ1时,求出线段BP的长.
AD∥BC,AD (1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A. ①求证;△ABP∽△DPC ②求AP的长. 2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于 点E,同时交直线DC于点Q,那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; ②当CE=1时,写出AP的长. 例4: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,ABCDBC6,AD3.点M为边BC的中点,以M为顶点作EMFB,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF. (1)求证: △MEF∽△BEM; (2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长; (3)若EFCD,求BE的长. 相关练习: 1、如图,在△ABC中,ABAC8,BC10,D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,且ADEC. (1)求证: △ABD∽△DCE; 2、如图,已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,联结DE, 并作DEFB,射线EF交线段AC于F. 1)求证: △DBE∽△ECF; 2)当F是线段AC中点时,求线段BE的长; 3)联结DF,如果△DEF与△DBE相似,求FC的长. BEC 3、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD 1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证: △BEP∽△CPD; 2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么 ①当点F在线段CD的延长线上时,设BP=x,DF=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; ②当S 4、如图,已知边长为3的等边ABC,点F在边BC上,CF1,点E是射线BA上一动点,以线段EF为边向右侧作等边EFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N, 1)写出图中与BEF相似的三角形;2)证明其中一对三角形相似; 3)设BEx,MNy,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量 x的取值范围; 备用图 4)若AE1,试求GMN的面积. 一线三直角型相似三角形 例1、已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作PECP, 交边AB于点E,设PDx,AEy,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。 例2、在ABC中,C90o,AC4,BC3,O是AB上的一点,且AO2,点P是AC上的一个AB5 动点,PQOP交线段BC于点Q,(不与点B,C重合),设APx,CQy,试求y关于x的函数关系,并写出定义域。 【练习2】 在直角三角形ABC中,C90o,ABBC,D是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,(与A,C 不重合),DFDE,DF与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时,求证: DEDFADDE (2)、当m,求的值 DBDF AD1 (3)、当ACBC6,,设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式,并写出定义域DB2 3 【练习4】]如图,在ABC中,C90,AC6,tanB,D是BC边的中点,E为AB边上 4的一个动点,作DEF90,EF交射线BC于点F.设BEx,BED的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似,求BED的面积. 练习5】、(2009年黄浦一模25) 一个动点(不含点B、C),作PQAP交CD于点Q.(图1) (1)求BC的长与梯形ABCD的面积; (2)当PQDQ时,求BP的长;(图2) (3)设BPx,CQy,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域 图1)(图2)单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善
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