六年级奥数周周练 第27周 表面积与体积一 教师版.docx
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六年级奥数周周练第27周表面积与体积一教师版
第27周表面积与体积
(一)
一、知识要点
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高水平的空间想象能力。
因此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法,能将公式作适当的变形,养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点:
(1)充分利用正方体六个面的面积都相等,每个面都是正方形的特点。
(2)把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面积的两倍。
(3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体,应把它们最大的面拼合起来。
二、精讲精练
【例题1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?
【思路导航】这是一道开放题,方法有多种:
①图27-1所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为592平方厘米。
10×10×6-2×2×2=592(平方厘米)
②图27-2所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为632平方厘米。
10×10×6+10×2×2-2×2×2=632(平方厘米)
③图27-3所示,挖通某两个对面,剩下部分的表面积为672平方厘米。
10×10×6+10×2×4-2×2×2=672(平方厘米)
练习1:
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体,剩下部分的表面积是多少?
原来长方体的表面积:
(10×6+10×5+6×5)×2=280(平方厘米)
(1)在顶点上挖,剩下部分的表面积不变:
280(平方厘米)
(2)在棱上挖,剩下部分的表面积:
280+2×2×2=288(平方厘米)
(3)在面上挖,剩下部分的表面积:
280+2×2×4=296(平方厘米)
2、把一个长为12分米,宽为6分米,高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块,这两个小长方体的表面积之和,比原来长方体的表面积增加了多少平方分米?
(1)12×6×2=144(平方厘米)
(2)12×9×2=216(平方厘米)
(3)6×9×2=108(平方厘米)
3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后,表面积会发生怎样的变化?
(1)在顶点上挖,剩下部分的表面积不变与原正方体相同;
(2)在棱上挖,剩下部分的表面积比原正方体增加:
1×1×2=2(平方厘米);
(3)在面上挖,剩下部分的表面积比原正方体增加:
1×1×4=4(平方厘米)。
【例题2】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来,如图27-4所示,拼成一个立体图形,求这个立体图形的表面积。
【思路导航】要求这个复杂形体的表面积,必须从整体入手,从上、左、前三个方向观察,每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图27-5所示)。
而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。
整个立体图形的表面积可采用(S上+S左+S前)×2来计算。
(3×3×9+3×3×8+3×3×10)×2
=(81+72+90)×2
=243×2
=486(平方厘米)
答:
这个立体图形的表面积是486平方厘米。
练习2:
1.用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
(1×1×12+1×1×7+1×1×8)×2=54(平方厘米)
答:
这个立体图形的表面积是54平方厘米。
2.一堆积木(如图27-7所示),是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。
它们的表面积是多少平方厘米?
[2×2×9+2×2×7+2×2×(8+1)]×2=200(平方厘米)
答:
它们的表面积是486平方厘米。
3.一个正方体的表面积是384平方厘米,把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。
每个小正方体的表面积是多少平方厘米?
解法一:
大正方体一个面的面积:
384÷6=64(平方厘米)
大正方体平均分成64个小正方体,每层4×4=16个,4层,每一个小正方体一个面的面积:
64÷16=4(平方厘米)
每个小正方体的表面积:
4×6=24(平方厘米)
解法二:
因为64=4×4×4,所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4倍,那么大正方体的表面积是小正方体的4×4=16倍,小正方体的表面积是:
384÷16=24(平方厘米)
答:
每个小正方体的表面积是24平方厘米。
【例题3】把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体,拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?
【思路导航】把两个相同的长方体拼成一个大长方体,需要把两个相同面拼合,所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。
要使大长方体的表面积最小,就必须使两个拼合面的面积最大,即减少两个9×7的面。
(9×7+9×4+7×4)×2×2—9×7×2
=(63+36+28)×4—126
=508—126
=382(平方厘米)
答:
这个大长方体的表面积最少是382平方厘米。
练习3:
1.把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?
20×6×2—20×2=200(平方厘米)
答:
长方体的表面积是200平方厘米。
2.将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体,再将这两个长方体拼成一个大长方体。
求大长方体的表面积是多少。
将正方体分为两个长方体,表面积就增加了2个30÷6=5平方厘米,再将这两个长方体拼成一个大长方体,表面积将减少两个拼合面的面积,正好是1个30÷6=5平方厘米,所以大长方体的表面积是30+30+6=35平方厘米。
30÷6=5(平方厘米)
30+5×2-5=35(平方厘米)
答:
大长方体的表面积是35平方厘米。
3.用6块(如图27-8所示)长方体木块拼成一个大长方体,有许多种做法,其中表面积最小的是多少平方厘米?
要是表面积最小,就要尽可能地把大的面拼合在一起。
拼成的大长方体是3厘米×3厘米×4厘米,表面积最小。
(3×3+3×4×2)×2=66(平方厘米)
答:
其中表面积最小的是66平方厘米。
【例题4】一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加40立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方里,求原长方体的表面积。
【思路导航】我们知道:
体积=长×宽×高;由长增加2厘米,体积增加40立方厘米,可知宽×高=40÷2=20(平方厘米);由宽增加3厘米,体积增加90立方厘米,可知长×高=90÷3=30(平方厘米);由高增加4厘米,体积增加96立方厘米,可知长×宽=96÷4=24(平方厘米)。
而长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2=(20+30+24)×2=148(平方厘米)。
即
40÷2=20(平方厘米)
90÷3=30(平方厘米)
96÷4=24(平方厘米)
(30+20+24)×2=148(平方厘米)
答:
原长方体的表面积是148平方厘米。
练习4:
1.一个长方体,如果长减少2厘米,则体积减少48立方厘米;如果宽增加5厘米,则体积增加65立方厘米;如果高增加4厘米,则体积增加96立方厘米。
原来长方体的表面积是多少平方厘米?
(48÷2+65÷5+96÷4)×2=122(平方厘米)
答:
原来长方体的表面积是122平方厘米。
2.一个长方体木块,从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后,便成为一个正方体,其表面积减少了120平方厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米?
减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。
把两个合并起来,用120÷(3+2)=24厘米,求到正方体底面的周长,正方体的棱长就是24÷4=6厘米。
圆长方体的体积是:
6×6×(6+3+2)=396立方厘米。
120÷(3+2)÷4=6(厘米)
6×6×(6+3+2)=396(立方厘米)
答:
原来长方体的体积是396立方厘米。
3.有一个长方体(如图27-9所示),它的正面和上面的面积之和是209。
如果它的长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少?
(单位:
厘米)
由题意可知,正面和上面的面积之和是209,所以长×宽+长×高=长×(宽+高)=209,把209分解因数为:
209=11×19,又因为长、宽、高都是质数,
(1)若长=19,宽+高=11,11是奇数,只能分解成一个奇数+一个偶数,而偶数中只有2是质数,11只能分成2+9,而9又不是质数,所以此情况不成立;
(2)若长=11,宽+高=19,同样19只能分成2+17,所以这个长方体的三个棱长分别为2,11,17。
体积:
2×11×17=374(立方厘米)
答:
这个长方体的体积是374立方厘米。
【例题5】如图27-10所示,将高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
【思路导航】如果分别求出三个圆柱的表面积,再减去重叠部分的面积,这样计算比较麻烦。
实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。
这样,这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×1.52×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1
=3.14×(4.5+3+2+1)
=3.14×10.5
=32.97(平方米)
答:
这个物体的表面积是3297平方米。
练习5:
1.一个棱长为40厘米的正方体零件(如图27-11所示)的上、下两个面上,各有一个直径为4厘米的圆孔,孔深为10厘米。
求这个零件的表面积。
40×40×6+3.14×4×10×2=9851.2(平方厘米)
答:
这个零件的表面积是9851.2平方厘米。
2.用铁皮做一个如图27-12所示的工件(两头无盖,单位:
厘米),需用铁皮多少平方厘米?
解法一:
圆柱的平均长度:
(54+46)÷2=50(厘米)
需用铁皮:
3.14×15×50=2355(平方厘米)
解法二:
下部圆柱面积:
3.14×15×46=2166.6(平方厘米)
上部三角形面积:
3.14×15×(54-46)÷2=188.4(平方厘米)
需用铁皮:
2166.6+188.4=2355(平方厘米)
答:
需用铁皮2355平方厘米。
3.如图27-13所示,在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。
已知立方体棱长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆,求该立体图形的表面积和体积。
(1)如图所示:
外部表面积为:
10×10×6-4×4×4-3.14×(4÷2)2×2=510.88(平方厘米)
内部表面积为:
3.14×4×(10-4)+4×(10-4)×4×2+4×4×2-3.14×(4÷2)2×2=274.24(平方厘米)
总表面积为:
510.88+274.24=785.12(平方厘米)
(2)如图所示:
挖出部分的几何体体积为:
4×4×(10-4)×2+4×4×4+3.14×(4÷2)2×(10-4)=331.36(立方厘米)
所求几何体体积为:
10×10×10-331.36=668.64(立方厘米)
答:
该立体图形的表面积是785.12平方厘米,体积为668.64立方厘米。
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