中考数学 一轮专题训练全等三角形含答案.docx
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中考数学一轮专题训练全等三角形含答案
2021中考数学一轮专题训练:
全等三角形
一、选择题(本大题共10道小题)
1.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加一个条件是( )
A.∠A=∠CB.∠D=∠B
C.AD∥BCD.DF∥BE
2.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
3.如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DC
C.BC=DC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
4.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有( )
A.2对B.3对C.4对D.5对
5.如图,若△ABE≌△ACF,且AB=5,AE=2,则EC的长为( )
图12-1-10
A.2B.3C.5D.2.5
6.如图所示,△ABD≌△CDB,下列四个结论中,不正确的是( )
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D.AD∥BC,AD=BC
7.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )
A.a+cB.b+c
C.a-b+cD.a+b-c
8.如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是( )
9.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3等于( )
A.90°B.120C.135°D.150°
10.如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有( )
A.1个B.2个C.3个D.3个以上
二、填空题(本大题共10道小题)
11.如图,△ABC≌△A′B′C′,其中∠A=36°,∠C′=24°,则∠B=________.
12.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接BD.请添加一个适当的条件:
______________,使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)
13.如图,已知在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).
14.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件:
________,使△AEH≌△CEB.
15.如图,已知AC=EC,∠ACB=∠ECD,要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC,应添加的条件是__________.
16.如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件:
________,使得△ABO≌△CDO.
17.△ABC的周长为8,面积为10,若其内部一点O到三边的距离相等,则点O到AB的距离为________.
18.如图,PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB.若∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA的大小为________.
19.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点,且AB=PQ,当AP=________时,△ABC与△APQ全等.
20.如图,P是△ABC外的一点,PD⊥AB交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的延长线于点F,连接PB,PC.若PD=PE=PF,∠BAC=64°,则∠BPC的度数为________.
三、解答题(本大题共6道小题)
21.如图,∠A=∠D=90°,AB=DE,BF=EC.求证:
Rt△ABC≌Rt△DEF.
22.如图,已知△ACF≌△DBE,且点A,B,C,D在同一条直线上.若AD=16,BC=10,求AB的长.
23.观察与类比
(1)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:
DF=BC+CF;
(2)如图②,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
24.如图所示,已知在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A以acm/s的速度运动,设运动的时间为ts(t>0).
(1)求CP的长(用含t的式子表示);
(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角,求a的值.
25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:
△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,
①求证:
△BPE∽△CEQ;
②当BP=2,CQ=9时,求BC的长.
26.已知:
在等边△ABC中,D、E分别是AC、BC上的点,且∠BAE=∠CBD<60°,DH⊥AB,垂足为点H.
(1)如图①,当点D、E分别在边AC、BC上时,求证:
△ABE≌△BCD;
(2)如图②,当点D、E分别在AC、CB延长线上时,探究线段AC、AH、BE的数量关系;
(3)在
(2)的条件下,如图③,作EK∥BD交射线AC于点K,连接HK,交BC于点G,交BD于点P,当AC=6,BE=2时,求线段BP的长.
2021中考数学一轮专题训练:
全等三角形-答案
一、选择题(本大题共10道小题)
1.【答案】B [解析]在△ADF和△CBE中,由AD=BC,∠D=∠B,DF=BE,根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,可以得到△ADF≌△CBE.故选B.
2.【答案】D [解析]由条件可知∠ADB=∠EDB=∠EDC=60°,且∠DEB=∠DEC=90°,∴∠C=30°.
3.【答案】C
4.【答案】C 【解析】由题意可知,△ABD≌△CBD,△MON≌△M′ON′,△DON≌△BON′,△DOM≌△BOM′共4对.
5.【答案】B [解析]∵△ABE≌△ACF,AB=5,
∴AC=AB=5.
∵AE=2,∴EC=AC-AE=5-2=3.
6.【答案】C [解析]A.∵△ABD≌△CDB,
∴△ABD和△CDB的面积相等,故本选项不符合题意;
B.∵△ABD≌△CDB,
∴△ABD和△CDB的周长相等,故本选项不符合题意;
C.∵△ABD≌△CDB,
∴∠A=∠C,∠ABD=∠CDB.
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD,故本选项符合题意;
D.∵△ABD≌△CDB,
∴AD=BC,∠ADB=∠CBD.
∴AD∥BC,故本选项不符合题意.故选C.
7.【答案】D [解析]∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠CED=∠AFB=90°,∠A=∠C.又∵AB=CD,∴△CED≌△AFB.∴AF=CE=a,DE=BF=b,DF=DE-EF=b-c.∴AD=AF+DF=a+b-c.故选D.
8.【答案】C [解析]选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项C中,如图①,∵∠DEC=∠B+∠BDE,
∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
这两个角所对的边是BE和CF,而已知条件给的是BD=CF=3,故不能判定两个小三角形全等.
选项D中,如图②,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
又∵BD=CE=2,∠B=∠C,
∴△BDE≌△CEF.
故能判定两个小三角形全等.
9.【答案】C [解析]在图中容易发现全等三角形,将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余.故∠1+∠3=90°.易得∠2=45°,故∠1+∠2+∠3=135°.
10.【答案】D 【解析】如解图,①当OM1=2时,点N1与点O重合,△PMN是等边三角形;②当ON2=2时,点M2与点O重合,△PMN是等边三角形;③当点M3,N3分别是OM1,ON2的中点时,△PMN是等边三角形;④当取∠M1PM4=∠OPN4时,易证△M1PM4≌△OPN4(SAS),∴PM4=PN4,又∵∠M4PN4=60°,∴△PMN是等边三角形,此时点M,N有无数个,综上所述,故选D.
二、填空题(本大题共10道小题)
11.【答案】120° 【解析】由于△ABC≌△A′B′C′,∴∠C=∠C′=24°,在△ABC中,∠B=180°-24°-36°=120°.
12.【答案】答案不唯一,如AB=CD [解析]由已知AB∥CD可以得到一对角相等,还有BD=DB,根据全等三角形的判定,可添加夹这个角的另一边相等,或添加另一个角相等均可.
13.【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF [解析]已知条件已经具有一边一角对应相等,需要添加的条件要么是夹已知角的边,构造SAS全等,要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS,或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.
14.【答案】AH=CB(符合要求即可) 【解析】∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D、E,∴∠BEC=∠AEC=90°,在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,在Rt△HDC中,∠ECB=90°-∠DHC,∵∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠ECB,∴根据AAS添加AH=CB或EH=EB;根据ASA添加AE=CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为:
AH=CB或EH=EB或AE=CE均可.
15.【答案】∠B=∠D
16.【答案】∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD(答案不唯一)
[解析]由题意可知∠AOB=∠COD,AB=CD.
∵AB是∠AOB的对边,CD是∠COD的对边,∴只能添加角相等,故可添加∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD.
17.【答案】2.5 [解析]设点O到AB,BC,AC的距离均为h,∴S△ABC=
×8·h=10,解得h=2.5,即点O到AB的距离为2.5.
18.【答案】55° [解析]∵PA⊥ON,PB⊥OM,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴∠AOP=∠BOP=
∠MON=25°.
∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=25°+30°=55°.
19.【答案】5或10 [解析]∵AX⊥AC,∴∠PAQ=90°.∴∠C=∠PAQ=90°.
分两种情况:
①当AP=BC=5时,
在Rt△ABC和Rt△QPA中,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);
②当AP=CA=10时,
在Rt△ABC和Rt△PQA中,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综上所述,当AP=5或10时,△ABC与△APQ全等.
20.【答案】32° [解析]∵PD=PE=PF,PD⊥AB交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的延长线于点F,
∴CP平分∠ACF,BP平分∠ABC.
∴∠PCF=
∠ACF,∠PBF=
∠ABC.
∴∠BPC=∠PCF-∠PBF=
(∠ACF-∠ABC)=
∠BAC=32°.
三、解答题(本大题共6道小题)
21.【答案】
证明:
∵BF=EC,∴BF+FC=FC+EC,
即BC=EF.
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABC和△DEF都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
22.【答案】
解:
∵△ACF≌△DBE,∴AC=DB.
∴AC-BC=DB-BC,即AB=CD.
∵AD=16,BC=10,
∴AB=CD=
(AD-BC)=3.
23.【答案】
解:
(1)证明:
∵DE⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠AED=∠AEF=∠ACB=90°.
在Rt△ACF和Rt△AEF中,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL).∴CF=EF.
在Rt△ADE和Rt△ABC中,
∴Rt△ADE≌Rt△ABC(HL).
∴DE=BC.
∵DF=DE+EF,
∴DF=BC+CF.
(2)BC=CF+DF.
证明:
如图,连接AF.
在Rt△ABC和Rt△ADE中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL).
∴BC=DE.
∵∠ACB=90°,∴∠ACF=90°=∠AED.
在Rt△ACF和Rt△AEF中,
∴Rt△ACF≌△AEF(HL).
∴CF=EF.
∵DE=EF+DF,∴BC=CF+DF.
24.【答案】
解:
(1)依题意得BP=3tcm,BC=8cm,
∴CP=(8-3t)cm.
(2)∵∠B和∠C是对应角,∴分两种情况讨论:
①若△BDP≌△CPQ,则BD=CP,BP=CQ.
∵AB=10cm,D为AB的中点,∴BD=5cm.
∴5=8-3t,解得t=1.
∴CQ=BP=3cm.
∴a=
=3.
②若△BDP≌△CQP,则BD=CQ,BP=CP.∵BP=3tcm,CP=(8-3t)cm,
∴3t=8-3t,解得t=
.
∵BD=CQ,∴5=
a,
解得a=
.
综上所述,a的值为3或
.
25.【答案】
(1)证明:
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC,∠B=∠C=45°,
又∵AP=AQ,
∴BP=CQ,
∵E是BC的中点,
∴BE=EC.
∴在△BPE与△CQE中,
,
∴△BPE≌△CQE(SAS);
(2)①证明:
∵∠BEF=∠C+∠CQE,∠BEF=∠BEP+∠DEF,
∠C=∠DEF=45°,
∴∠CQE=∠BEP,
∵∠B=∠C,
∴△BPE∽△CEQ;
②解:
由①知△BPE∽△CEQ,
∴
,
∴BE·CE=BP·CQ,
又∵BE=EC,
∴BE2=BP·CQ,
∵BP=2,CQ=9,
∴BE2=2×9=18,
∴BE=3
,
∴BC=2BE=6
.
26.【答案】
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠C=∠CAB=60°,AB=BC,
在△ABE和△BCD中,
,
∴△ABE≌△BCD(ASA);
(2)解:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠CAB=60°,AB=BC,
∴∠ABE=∠BCD=180°-60°=120°.
∴在△ABE和△BCD中,
,
∴△ABE≌△BCD(ASA),
∴BE=CD.
∵DH⊥AB,
∴∠DHA=90°,
∵∠CAB=60°,
∴∠ADH=30°,
∴AD=2AH,
∴AC=AD-CD=2AH-BE;
(3)解:
如解图,作DS⊥BC延长线于点S,作HM∥AC交BC于点M,
解图
∵AC=6,BE=2,
∴由
(2)得AH=4,BH=2,
与
(1)同理可得BE=CD=2,CE=8,
∵∠SCD=∠ACB=60°,
∴∠CDS=30°,
∴CS=1,SD=
,BS=7,
∵BD2=BS2+SD2=72+(
)2,
∴BD=2
,
∵EK∥BD,
∴△CBD∽△CEK,
∴
=
=
,
∴CK=
=
=
,EK=
=
=
.
∵HM∥AC,
∴∠HMB=∠ACB=60°,
∴△HMB为等边三角形,BM=BH=HM=2,
CM=CB-BM=4,
又∵HM∥AC,
∴△HMG∽△KCG,
∴
=
,
即
=
,∴MG=
,BG=
,EG=
,
∵EK∥BD,
∴△GBP∽△GEK,
∴
=
,
∴BP=
.
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