高考数学一轮复习专题114数学归纳法练理.docx
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高考数学一轮复习专题114数学归纳法练理
2019-2020年高考数学一轮复习专题11.4数学归纳法练理
1.已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明_______.
【答案】n=k+2时命题成立
【解析】因n是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2
2.用数学归纳法证明1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取_______.
【答案】8
【解析】左边=1+++…+=
=2-,代入验证可知n的最小值是8.
3.用数学归纳法证明“
”,从“到”左边
需增乘的代数式_______.
【答案】
4.若
,则对于,.
【答案】++
【解析】由题知=
,=+++=+++,所以=+++.
5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是____.
【答案】假设n=2k-1(k∈N*)时正确,再推n=2k+1(k∈N*)正确
【解析】因为n为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第k个正奇数也成立,本题先假设n=2k-1(k∈N*)正确,再推第k+1个正奇数,即n=2k+1(k∈N*)正确.
6.已知为正偶数,用数学归纳法证明
时,若已知假设为偶数时,命题成立,则还需要用归纳假设再证_______.
【答案】时等式成立
【解析】由于为正偶数,已知假设为偶数,则下一个偶数为.
7.若f(x)=f1(x)=
,fn(x)=fn-1[f(x)](n≥2,n∈N*),则f
(1)+f
(2)+…+f(n)+f1
(1)+f2
(1)+…+fn
(1)=_______.
【答案】1
8.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于________.
【答案】++…+
【解析】∵f(2k+1)=1++++…+++…++++…+,
f(2k)=1++++…+++…+,
∴f(2k+1)-f(2k)=++…+.
9.【江苏省苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研
(二)数学试题】(本小题满分10分)
设实数满足,且且,令.求证:
.
【答案】详见解析
10.【江苏省苏北三市(徐州市、连云港市、宿迁市)xx届高三最后一次模拟考试】(本小题满分10分)
在集合中,任取个元素构成集合.若的所有元素之和为偶数,则称为的偶子集,其个数记为;的所有元素之和为奇数,则称为的奇子集,其个数记为.令.
(1)当时,求的值;
(2)求.
【答案】
(1),,,
(2)
;…………………8分
另一方面,
,中的系数为,
故.
综上,
……………………………………………10分
11.【盐城市xx届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分10分)
记
.
(1)求的值;
(2)当时,试猜想所有的最大公约数,并证明.
【答案】
(1)
(2).
12.【江苏省扬州中学xx学年第二学期质量检测】设数列()为正实数数列,且满足.
(1)若,写出;
(2)判断是否为等比数列?
若是,请证明;若不是,请说明理由.
【答案】
(1)
(2)是等比数列
【解析】
(1)当时,
13.各项均为正数的数列对一切均满足.证明:
(1);
(2).
【解析】
(1)因为,,与题设矛盾,所以,.若,则,根据上述证明可知存在矛盾.所以,
所以,且.因为
.
所以,所以,即.
(注:
用反证法证明参照给分)
(2)下面用数学归纳法证明:
.
①当时,由题设可知结论成立;
②假设时,,
当时,由
(1)得,
.
由①,②可得,.下面先证明.
假设存在自然数,使得,则一定存在自然数,使得.
14.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(其中a>0且a≠1).记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
【解析】
(1)设数列{bn}的公差为d,
由题意得
∴bn=3n-2.
(2)由bn=3n-2,知Sn=loga(1+1)+loga+…+loga
=loga
而logabn+1=loga,于是,比较Sn与logabn+1的大小比较
(1+1)与的大小.
取n=1,有1+1=>=,
取n=2,有(1+1)>>=.
(Ⅰ)若函数在其定义域上为单调函数,求的取值范围;
(Ⅱ)若函数的图像在处的切线的斜率为0,
,已知求证:
(Ⅲ)在
(2)的条件下,试比较
与的大小,并说明理由.
【解析】(Ⅰ)∵f
(1)=a-b=0∴a=b
∴
∴
要使函数在其定义域上为单调函数,则在定义域(0,+∞)内恒大于等于0或恒小于等于0,
当a=0时,在(0,+∞)内恒成立;
当n=k+1时,
所以当n=k+1时不等式成立,
综上得对所有时,都有10分
(Ⅲ)由
(2)得
于是
所以,
累称得:
则
所以
.
2019-2020年高考数学一轮复习专题2.12函数模型及其应用测
班级__________姓名_____________学号___________得分__________
(满分100分,测试时间50分钟)
一、填空题:
请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题,每小题6分,共计60分).
1.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.
【答案】20
2.如果在今后若干年内,我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平,那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________.
(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg109=2.0374,lg0.09=-2.9543)
【答案】2011年
【解析】 设1995年总值为a,经过x年翻两番,则a·(1+9%)x=4a.∴x=
≈16.
3.给出下列函数模型:
①一次函数模型;②幂函数模型;③指数函数模型;④对数函数模型.下表是函数值
y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是________(填序号).
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
【答案】①
【解析】根据已知数据可知,自变量每增加1函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.
4.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),若经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
【答案】16
【解析】当t=0时,y=a;当t=8时,y=ae-8b=
a,
∴e-8b=
,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
即y=ae-bt=
a.
e-bt=
=(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16min.
5.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式y=(
)t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________________.
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.
【答案】
(1)y=
(2)0.6
6.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:
mg/L)与过滤时间t(单位:
h)之间的函数关系为P=P0e-kt(k,P0均为正的常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么至少还需过滤 才可以排放.
【答案】5h
【解析】设原污染物数量为a,则P0=a.由题意有10%a=ae-5k,所以5k=ln10.设th后污染物的含量不得超过1%,则有1%a≥ae-tk,所以tk≥2ln10,t≥10.因此至少还需过滤10-5=5h才可以排放.
7.某市出租车收费标准如下:
起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km.
【答案】9
【解析】设出租车行驶xkm时,付费y元,
则y=
由y=22.6,解得x=9.
8.某杂志每本原定价2元,可发行5万本,若每本提价0.20元,则发行量减少4000本,为使销售总收入不低于9万元,需要确定杂志的最高定价是
【答案】3元
9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游,其中旅行社的包机费为30000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:
若旅游团中的人数在30或30以下,飞机票每张收费1800元.若旅游团的人数多于30人,则给以优惠,每多1人,机票费每张减少20元,但旅游团的人数最多有75人,那么旅游团的人数为_______人时,旅行社获得的利润最大.
【答案】60
【解析】设旅游团的人数为x人,飞机票为y元,利润为Q元,依题意,
①当1≤x≤30时,y=1800元,此时利润Q=yx-30000=1800x-30000,此时最大值是当x=30时,Qmax=1800×30-30000=24000(元);
②当30<x≤75时,y=1800-20(x-30)=-20x+2400,此时利润Q=yx-30000
=-20x2+2400x-30000=-20(x-60)2+42000,
所以当x=60时,旅行社可获得的最大利润42000元.
综上,当旅游团的人数为60人时,旅行社获得的利润最大.
10.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:
元/100kg)与上市时间t(单位:
天)的数据如下表:
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.
Q=at+b,Q=at2+bc+c,Q=a·bt,Q=a·logbt
利用你选取的函数,求得:
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________.
(2)最低种植成本是________(元/100kg).
【答案】
(1)120
(2)80
二、解答题:
解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。
(共4题,每小题10分,共计40分).
11.【江苏省泰州中学xx届高三摸底考试】某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第个月的利润函数
(单位:
万元).为了获得更多地利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第个月的利润率为
,例如.
(1)求;
(2)求第个月的当月利润率;
(3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.
【答案】
(1)
(2)
(3)40
【解析】
12【无锡市普通高中xx届高三上学期期中基础性检测】(本题满分16分)
某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件,12万件,13万件,为了预测以后每个月的产量,以这3
个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量(单位:
万件)与月份的关系.模拟函数
;模拟函数.
(1)已知4月份的产量为万件,问选用哪个函数作为模拟函数好?
(2)受工厂设备的影响,全年的每月产量都不超过15万件,请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
试题分析:
(1)借助题设条件运用已知建立方程组分析探求;
(2)借助题设运用函数的思想分析探求.
试题解析:
(1)若用模拟函数1:
,则有
,解得,.................3分
即,当时,..............5分
若用模拟函数2:
,则有
13.【苏北三市(连云港、徐州、宿迁)xx届高三年级第三次调研考试】某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(为上切点),与左右两边相交(,为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1,且,设,透光区域的面积为.
(1)求关于的函数关系式,并求出定义域;
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边的长度.
【答案】
(1)关于的函数关系式为,定义域为;
(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,的长度为1.
(2)矩形窗面的面积为
.
则透光区域与矩形窗面的面积比值为
.
设,.
则
,
因为,所以,所以,故,
所以函数在上单调减.
所以当时,有最大值,此时
答:
(1)关于的函数关系式为,定义域为;
(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,的长度为1.
14.【xx学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
(二)】某科研小组研究发现:
一棵水蜜桃树的产量(单位:
百千克)与肥料费用(单位:
百元)满足如下关系:
,且投入的肥料费用不超过5百元.此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为(单位:
百元).
(1)求利润函数的函数关系式,并写出定义域;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该水蜜桃树获得的利润最大?
最大利润是多少?
【答案】
(1)见解析
(2)当投入的肥料费用为300元时,种植该果树获得的最大利润是4300元.
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- 高考 数学 一轮 复习 专题 114 归纳法