高中数学 集合与常用逻辑用语 测试题精选.docx
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高中数学集合与常用逻辑用语测试题精选
集合与常用逻辑用语测试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.(2018· 辽宁阜新实验中学月考)已知命题 p:
x2+2x-3>0,命题 q:
x>a,若綈 q 的一
个充分不必要条件是綈 p,则实数 a 的取值范围是()
A. [1,+∞)B. (-∞,1]
C. [-1,+∞)D. (-∞,-3]
2.若 x 2 - x - 2 < 0 是 -2 < x < a 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是()
A. 0 < a < 2B. a > 2C. 0 < a ≤ 2D. a ≥ 2
3.已知集合 A = x|y = 9 - x2, B = {x|x ≥ a },若 A ⋂ B = A ,则实数a 的取值
范围是()
A. (-∞, -3]
B. (-∞, -3)
D.
C. (-∞,0 ] [3,+∞)
4.已知 a ∈ R ,则“ a = 0 ”是“ f (x ) = x2 + ax 是偶函数”的(
)
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
{}
部分所表示的集合为()
A. {-1,0,1}
B. {-1,0}
C. {-1,1}
D. {0}
6.命题“ ∃x ∈ R , x3 - x 2 + 1 > 0 ”的否定是()
A. ∃x ∈ R , x3 - x 2 + 1 < 0B. ∀x ∈ R , x3 - x 2 + 1 ≤ 0
C. ∃x ∈ R , x3 - x 2 + 1 ≤ 0D. 不存在 x ∈ R , x3 - x 2 + 1 > 0
7.已知命题 p :
若 αβ , aα ,则 aβ ;命题 q :
若 aα , a
word.
β , α ⋂ β = b ,则 ab ,下列是真命题的是()
A. p ∧ qB. p ∨ (⌝q )
C. p ∧ (⌝q )
D. (⌝p )∧ q
8.已知集合 A = {0,1,2,3 } B = {x| -1 ≤ x < 3},则 A ⋂ B =(
)
A. {1,2}
B. {0,1,2}
C. {0,1,2,3 }D. ∅
9.下列选项中,说法正确的是()
A. 若 a>b>0,则 ln a<ln b
B. 向量 a=(1,m)与 b=(m,2m-1)(m∈R)垂直的充要条件是 m=1
C. 命题“∀n∈N*,3n>(n+2)·2n-1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n+2)·2n-1”
D. 已知函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,则命题“若 f(a)·f(b)<0,
则 f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题
10.祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”,它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,
意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设 A,B 为
两个同高的几何体,p:
A,B 的体积不相等,q:
A,B 在等高处的截面积不恒相等,根
据祖暅原理可知,p 是 q 的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
11.已知集合 A= ⎨ x |
⎩
1 ⎫
2 ⎭
个充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________.
12.已知非空集合 A,B 满足下列四个条件:
①A∪B={1,2,3,4,5,6,7};
②A∩B= ;
③A 中的元素个数不是 A 中的元素;
④B 中的元素个数不是 B 中的元素.
(1)如果集合 A 中只有 1 个元素,那么 A=________;
(2)有序集合对(A,B)的个数是________.
word.
13.下列说法中不正确的是________.(填序号)
①若 a∈R,则“ <1”是“a>1”的必要不充分条件;
②“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件;
③若命题 p:
“∀x∈R,sin x+cos x≤”,则 p 是真命题;
④命题“∃x0∈R, +2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3>0”.
14.命题:
“∃x∈R,cos2x≤cos2x”的否定是________.
15.给出下列四个命题:
①命题“∀x∈R,cosx>0”的否定是“∃x0∈R,cosx0≤0”;
②若 0 ⎡ π π ⎤ ⎣ 4 4 ⎦ ④若 lga+lgb=lg(a+b),则 a+b 的最小值为 4. 其中真命题的序号是________. B 16.已知集合 A={x|x≤2},={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是________. 17.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________. 18.若 a, b 为非零实数,则下列四个命题都成立: ① a + 1 a ≠ 0 ② (a + b )2 = a 2 + 2ab + b2 ③若 a = b ,则 a = ±b ④若 a 2 = ab ,则 a = b 则对于任意非零复数 a, b ,上述命题仍然成立的序号是 _____ 。 19.设 p ,q 均为实数,则“ q<0 ”是“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根” 的________条件. (选填: 充要、必要不充分、充分不必要、既不充分也不必要) 20.以下说法正确的是________(填序号). ①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角 形,但不能用余弦定理去解; ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应 于任何三角形; ③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题; ④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. word. 三、解答题 21.若集合 P 满足 P∩{4,6}={4},P∩{8,10}={10},且 P⊆{4,6,8,10},求集 合 P. 22.已知集合 A={x|x+3≤0},B={x|x-a<0}. (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=B,求 a 的取值范围. 23.(2016·广东揭阳三中高一段考)已知全集为 R,集合 A={x|2≤x≤6},B={x|3x 7≥8 2x}. (1)求 A∪B; (2)求∁R(A∩B); (3)若 C={x|a 4≤x≤a+4},且 A⊆∁RC,求 a 的取值范围. 24.已知集合 A={x| 4≤x≤ 2},集合 B={x|xa ≥0}. (1)若 A∩B=A,求 a 的取值范围; (2)若全集 U=R,且 A⊆∁UB,求 a 的取值范围. 25.已知全集 U=R,集合 A={x|1≤x≤2},若 B∪(∁RA)=R,B∩(∁RA)={x|0 word. 参考答案 1.A 【解析】将 x2+2x-3>0 化为(x-1)(x+3)>0,所以命题 p: x>1 或 x<-3.因为非 q 的一个充 分 不 必 要 条 件 是 非 p , 所 以 p 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 q , 所 以 (a,+∞) 是 (-∞,-3)∪(1,+∞)的真子集,所以 a≥1.故选 A. 2.D 【解析】求解不等式 x 2 - x - 2 < 0 可得: -1 < x < 2 , 即 -1 < x < 2 是 -2 < x < a 的充分不必要条件, 据此可知: a 的取值范围是 a ≥ 2 . 本题选择 D 选项. 3.A 【解析】由已知得 A = [-3,3],由 A ⋂ B = A ,则 A ⊆ B ,又 B = [a, +∞),所以 a ≤ -3 . 故选 A. 4.C 【解析】因为 f (x ) = x2 + ax 是 偶 函 数 , 所 以 f (-x ) = x2 - ax = f (x ) = x2 + ax ∴ 2ax = 0 所以 a = 0 .所以“ a = 0 ”是“ f (x ) = x2 + ax 是偶函数”的充要条件.故选 C. 5.D 【解析】集合 B = {} = {x | x = ±1},阴影部分所表示的集合为 C (A ⋃ B ) u A ⋃ B = {x | ±1, ±2}, C (A ⋃ B ) = {x | x = 0} u 故答案为: D. 6.B . 【解析】分析: 根据全称命题与存在性命题关系,可得到命题的否定 “ 详解: 根据命题的否定知: ∃x ∈ R , x3 - x 2 + 1 > 0 ”的否定为“ ∃x ∈ R , x3 - x 2 + 1 ≤ 0 ”, 故选 B. . 点睛: 本题考查了含有量词的否定,其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键 7.D word. 【解析】分析: 先判断命题 p 与命题 q 的真假,再得到 ⌝p 与 ⌝q 的真假,结合选项即可得 结果. 详解: 若 αβ , aα ,则 aβ 或 α ⊂ β ,故 p 假, ⌝p 真; aα , aβ , α ⋂ β = b ,则 a b ,正确,故 q 为真, ⌝q 为假, ∴(⌝p )∧ q 为真命题,故选 D. 点睛: 本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及的判定,非、且、或的定义, 属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用画图(尤其是 画长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等) 排除筛选法等;另外,若原命题不太容易 . 判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题真假,原命题与逆否命题等价 8.B 【解析】分析: 直接根据交集的定义求解即可. 详解: 因为 A = {0,1,2,3 } B = {x| -1 ≤ x < 3}, 所以,根据交集的定义可得 A ⋂ B = {0,1,2},故选 B. . 点睛: 本题主要考查集合的交集的基本概念,意在考查基础知识掌握的熟练程度 9.D 【解析】A 中,因为函数 y=ln x(x>0)是增函数,所以若 a>b>0,则 ln a>ln b,故 A 错; B 中,若 a⊥b,则 m+m(2m-1)=0,解得 m=0,故 B 错; 1 C 中,命题“∀n∈N*,3n>(n+2)·2n-”的否定是“∃n0∈N*,3n0≤(n0+2)·2n0-1”,故 C 错; D 中,原命题的逆命题是“若 f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则 f(a)· f(b)<0”,是假命 题,如函数 f(x)=x2-2x-3 在区间[-2,4]上的图象是连续不断的,且在区间(-2,4)内有两个 零点,但 f(-2)· f(4)>0,故 D 正确. 故答案为;D . 点睛: 本题考查命题的否定,充要条件及四种命题,解题的关键是掌握并理解命题否定的书 写方法规则,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的 变化.在判断命题的充要条件时,可以先找命题的逆否命题,判断逆否命题的充要条件即可. 10.B 【解析】的体积相等,在同高处的截面积相等,由于 A、B 体积相等,A、B 在 同高处的截面积不恒相等,譬如一个为柱体另一个为椎体,所以条件不充分;反之成立,条 word. 件是必要的,因此 是 11.(2,+∞) 的必要不充分条件.选 B. ⎧ ⎩ 1 ⎫ 2 ⎭ ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴AB,∴m+1>3,即 m>2. 故答案: (2,+∞) 12.{6}32 【解析】 (1)若集合 A 中只有 1 个元素,则集合 B 中有 6 个元素,6∉B,故 A={6}. (2)当集合 A 中有 1 个元素时,A={6},B={1,2,3,4,5,7},此时有序集合对(A,B)有 1 个; 当集合 A 中有 2 个元素时,5∉B,2∉A,此时有序集合对(A,B)有 5 个; 当集合 A 中有 3 个元素时,4∉B,3∉A,此时有序集合对(A,B)有 10 个; 当集合 A 中有 4 个元素时,3∉B,4∉A,此时有序集合对(A,B)有 10 个; 当集合 A 中有 5 个元素时,2∉B,5∉A,此时有序集合对(A,B)有 5 个; 当集合 A 中有 6 个元素时,A={1,2,3,4,5,7},B={6},此时有序集合对(A,B)有 1 个. 综上可知,有序集合对(A,B)的个数是 1+5+10+10+5+1=32. 答案: (1){6} (2)32 13.②④ 【解析】由 <1,得 a<0 或 a>1,反之,由 a>1,得 <1,∴“ <1”是“a>1”的必要不充 分条件,故①正确; 由 p∧q 为真命题,知 p,q 均为真命题,所以 p∨q 为真命题,反之,由 p∨q 为真命题,得 p,q 至少有一个为真命题,所以 p∧q 不一定为真命题,所以“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真 命题”的充分不必要条件,故②不正确; ∵sin x+cos x=,∴命题 p 为真命题,③正确; 命题“∃x0∈R, +2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”,故④不正确. 故答案: ②④ 点睛: 本题考查命题的否定,充要条件及四种命题,解题的关键是掌握并理解命题否定的书 写方法规则,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,书写时注意量词的 word. 变化. 14.∀x∈R,cos2x>cos2x 【 解 析 】 特 称 命 题 的 否 定 为 全 称 命 题 , 则 命 题 : “∃x∈R,cos2x≤cos2x” 的 否 定 是 ∀x∈R,cos2x>cos2x. 15.①④ 【解析】由全称命题的否定是特称命题知①为真命题. 在同一直角坐标系内作出 y=3-x2,y=ax(0 个交点,则函数 f(x)=x2+ax-3 有两个零点,故②为假命题. 由 y=2 2 sinxcosx= 2 sin2x, ⎡ π π ⎤ ⎣4 4 ⎦⎣2 2 ⎥ , ⎡ π π ⎤ ⎣ 4 4 ⎦ ④中由 lga+lgb=lg(a+b)知, ab=a+b 且 a>0,b>0. ⎛ a + b ⎫2 ⎝2 ⎭ 所以令 a+b=t(t>0), 则 4t≤t2,即 t≥4,因此④为真命题. 故答案为: ①④. 点睛: 确定函数的零点,可以画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有 几个不同的零点.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正 ——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件, 就会出现错误. 16.(-∞,2] word. 【解析】要使 A∪B=R,则 a ∈ A ,即实数 a 满足 a≤2. 实数 a 的取值范围是(-∞,2]. 17.无解或至少两解 【解析】否命题是对原命题的条件和结论都否定,“方程 ax = b (a ≠ 0)的解是唯一的”的 结论的否定是“无解或至少两解” 故答案为无解或至少两解. 18.②④ 【解析】①不一定成立,如 a = i, a + 1 = i - i = 0 ;③不一定成立,如 a = 1 + i, b = 1 - i, a 所以对于任意非零复数 a, b ,上述命题仍然成立的序号是②④ 19.充要 【解析】∵q<0,∴Δ=p2-4q>0. ∴“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”成立. ∵“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”成立,∴q<0 所以“ q<0 ”是“方程 x2+px+q=0 有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 20.②③④ 【解析】①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边及一边的对角,既可以 用正弦定理,也可以用余弦定理求解. ②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. ③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确. ④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广. 故答案为: ②③④ 21.P={4,10}. 【解析】试题分析: 由 P∩{4,6}={4}可得 4∈P,6∉P,由 P∩{8,10}={10}可得 10∈P, 8∉P,又 P⊆{4,6,8,10},则 P={4,10}. 试题解析: 由条件知 4∈P,6∉P,10∈P,8∉P,∴P={4,10}. 22. (1) a>-3; (2) a≤-3. 【解析】试题分析: (1)分别化简集合 A,B, A∪B=B 即 A⊆B,可求出 a 的取值范围; (2) A∩B =B 即 B⊆A,比较端点值得出 a 的范围. 试题解析: word. (1)∵A∪B=B,∴A⊆B,∴a>-3. (2)∵ A∩B=B,∴ B⊆A,∴ a≤-3. 点睛: 本题考查集合的交并补运算以及集合间的基本关系 ,考查了转化思想,属于基础题.当集 合是无限集时 ,经常把已知集合表示在数轴上 ,然后根据交并补的定义求解 ,画数轴或者韦恩 图的方法 ,比较形象直观 ,但解答时注意端点值是否取到的问题 ,也就是需要检验等号是否成 立. 23. (1) A ⋃ B = {x | x ≥ 2} ; (2) R (A ⋂ B ) = {x | x 3,或x 6} ; 3) a -2或a 10 ∴ ∁ (A∩B)={x|x<3,或 x>6}. ∵ A={x|2≤x≤6},A⊆∁ C, 【解析】解: (1)∵ B={x|3x 7≥8 2x}={x|x≥3}, ∴ A∪B={x|x≥2}. (2)∵ A∩B={x|3≤x≤6}, R (3)由题意知 C≠⌀, 则∁RC={x|xa+4}. R ∴ a 4>6 或 a+4<2,解得 a>10 或 a< 2. 故 a 的取值范围为 a< 2 或 a>10. 24. (1) a ≤ -4 ; (2) a > -2. 【解析】试题分析: 根据已知及集合间的关系在数轴上表示个集合 A, B, U A, U B ,就能直 . 观的显示出元素间的数量关系,再将显示的结果用数学式表示出来即可 试题解析: 解: (1)∵ B={x|x≥a}, 又 A∩B=A, ∴ A⊆B. 如图所示. ∴ a≤ 4.
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