初中数学中考专题四统计与概率.docx
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初中数学中考专题四统计与概率
专题四:
统计与概率
一、考点综述
考点内容:
1、数据的收集、整理、描述与分析等统计的意义
2、总体、个体、样本,全面调查及抽样抽查,频数、频率等概念
3、利用扇形图、条形图、直方图及折线图进行数据整理
4、理解概率的意义,会用列举法及频率求概率
5、能利用统计与概率知识解决实际生活中的有关问题
考纲要求:
要求学生掌握数据的收集方式和用统计表格整理数据,会用学过的条形统计图、扇形统
计图和折线统计图以及直方图描述数据,结合统计图、平均数、众数、中位数、方差等对数
据进行分析,从而得出相应的结论;要掌握概率的基本概念和简单的随机事件的概率计算。
考查方式及分值:
统计与概率知识在中考中选择、填空、解答题都经常出现,利用画树状图及列表的方法
计算一些简单事件发生的概率常以解答题形式出现,在试题中占有一定的比例,一般在10
分左右,因此概率已成为近两年及今后中考命题的亮点和热点.
备考策略:
1.提高运算技能,平均数、中位数、极差、方差、频率等数值都要定的数学运算得到,而运算的结果将会影响到统计的预测.
2.提高阅读理解和识别图表的能力,统计问题的试题中,许多问题都是以社会热点为背景,形式灵活多样,综合性较强,强调课内知识和课外活动相结合,调查分析和收集整理相结合;
3.注重在具体情境中体会概率的意义,理解概率对生活指导的现实作用;
4.加强统计与概率之间的关系,同时要避免将概率内容的学习变成数字运算的练习;
5.加强训练,能用规范的语言表述自己的观点.
二、例题精析
例1、“长三角”16个城市中浙江省有7个城市.图1、图2分别表示2008年这7个城市GDP(国民生产总值)的总量和增长速度.则下列对嘉兴经济的评价,错误的是
A.GDP总量列第五位B.GDP总量超过平均值
C.经济增长速度列第二位D.经济增长速度超过平均值
图2
【解题思路】由条形图1可知,嘉兴GDP总量在杭州、宁波、绍兴、台州之后,位列第5,而由条形图2可知GDP增长速度位于舟山之后,列第2;由图1,可算得GDP总量平均值为1301.6亿元,由条形图2可算得增长速度平均值为15.5%.
【答案】选B.
【规律总结】本题以计算为主.突破方法:
要做出正确选择,必须求出两个条形图中提供信息的平均值.
例2、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏,游戏的规则如下:
同时抛出两个正面,乙得1分;抛出其他结果,甲得1分.谁先累积到10分,谁就获胜.你认为“甲”或“乙”谁获胜的可能性更大.
【解题思路】两枚硬币抛掷的所有可能结果是:
正正、正反、反正、反反,其中两个正面的概率是P(两个正面)=
,所以甲的积分为:
×1=
,乙的积分为:
×1=
.因此甲获胜可能性更大.
【答案】甲.
【规律总结】两个正面之外的其他结果包括一正一反、反反.用列举法把各种结果全部表示出来.
例3、我市部分学生参加了2008年全国初中数学竞赛决赛,并取得优异成绩.已知竞赛成绩分数都是整数,试题满分为140分,参赛学生的成绩分数分布情况如下:
分数段
0-19
20-39
40-59
60-79
80-99
100-119
120-140
人数
0
37
68
95
56
32
12
请根据以上信息解答下列问题:
(1)全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛?
最低分和最高分在什么分数范围?
(2)经竞赛组委会评定,竞赛成绩在60分以上(含60分)的考生均可获得不同等级的奖励,求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例;
(3)决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内?
(4)上表还提供了其他信息,例如:
“没获奖的人数为105人”等等.请你再写出两条此表提供的信息.
【解题思路】
(1)全市共有300名学生参加本次竞赛决赛,最低分在20-39之间,最高分在120-140之间
(2)本次决赛共有195人获奖,获奖率为65%.
(3)决赛成绩的中位数落在60—79分数段内.
(4)如“120分以上有12人;60至79分数段的人数最多;……”等.
【答案】
(1)最低分在20-39之间,最高分在120-140之间;
(2)获奖率为65%;
(3)60至79分;
(4)120分以上有12人;60至79分数段的人数最多.
【规律总结】从问题出发,对表格中的数据进行分析,找出对解题有用的信息.
例4、如图所示,A、B两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示.根据图中所示解答以下问题:
(1)B旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年?
(2)求A、B两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价;
(3)A旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A旅游点的最佳接待人数为4万人,为控制游客数量,A旅游点决定提高门票价格.已知门票价格x(元)与游客人数y(万人)满足函数关系
.若要使A旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少?
【解题思路】本题考查从折线图中获取信息,并结合信息加以评价,解决相关问题.
(1)B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年.
(2)
=
=3(万元),
=
=3(万元)
=
[(-2)
+(-1)
+0
+1
+2
]=2,
=
[0
+0
+(-1)
+1
+0
]=
从2002至2006年,A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大.
(3)由题意,得 5-
≤4解得x≥100100-80=20
【答案】
(1)2005年;
(2)从2002至2006年,A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动大;
(3)至少要提高20元.
例5-1
【规律总结】完成第(3)问时要先确定票价与游客人数的函数关系,然后根据题目要求列出不等式,求出相应的票价,再计算出票价提高多少.
例5、小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画了半径分别2m和3m的同心圆,蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,否则小明胜,未掷入圈内不算,你来当裁判.
(1)你认为游戏公平吗?
为什么?
(2)游戏结束后,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算非规则图形的面积呢?
”.请你设计方案,解决这一问题.(要求画出图形,说明设计步骤、原理,写出公式)
【解题思路】
(1)不公平
∵P(阴)=
,即小红胜率为
,小明胜率为
∴游戏对双方不公平
(2)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积.
设计方案:
①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来(如正方形,其面积为S).如图5-2所示;
②往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子,掷在图外不作记录).
③当掷点数充分大(如1万次),记录并统计结果,设掷入正方形内m次,其中n次掷图形内.
④设非规则图形的面积为S',用频率估计概率,即频率P'(掷入非规则图形内)=
概率P(掷入非规则图形内)=
,
故
【答案】
(1)不公平;
(2)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积.
【规律总结】本题第
(2)问的解决是在第
(1)问的逆向思维基础上进行,只有正确解决了第
(1)问并能正逆理解才能有第
(2)问的方案设计思路,设计用频率估计概率的方法,来估算非规则图形的面积的方案,即用概率知识进行方案设计.
综合训练
一、选择题
1.在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人,其中有85人上学之前吃早餐,在这所学校里随便问1人,上学之前吃过早餐的概率是()
A.0.85B.0.085C.0.1D.850
2.一布袋中有红球8个,白球5个和黑球12个,它们除颜色外没有其他区别,随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为()
A.B.C.D.
3.某商店举办有奖销售活动,购物满100元者发兑奖券一张,在10000张奖券中,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖100个,若某人购物满100元,那么他中一等奖的概率是()
AB
A.B.C.D.
4.如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形,每个扇形上都标有数字,同时自由转动两个转盘,转盘停止后,指针都落在奇数上的概率是()
A.B.C.D.
5.军军的文具盒中有两支蜡笔,一支红色的、一支绿色的;三支水彩笔,分别是黄色、黑色、红色,任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔,正好都是红色的概率为()
A.B.C.D.
6.甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏,游戏规定:
甲学生抛出两个正面得1分;乙学生抛出一正一反得1分.那么各抛掷100次后他们的得分情况大约应为()
A.甲→25分,乙→25分B.甲→25分,乙→50分
C.甲→50分,乙→25分D.甲→50分,乙→50分
二、填空题
1.口袋中放有3只红球和11只黄球,这两种球除颜色外没有任何区别,随机从口袋中任取一只球,取到黄球的概率是____.
2.一个口袋中有4个白球,1个红球,7个黄球.搅匀后随机从袋中摸出1个是白球的概率是_________.
3.2006年5月份,某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是:
31、35、31、34、30、32、31,这组数据的中位数是__________.
4.为了缓解旱情,我市发射增雨火箭,实施增雨作业.在一场降雨中,某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表:
区域
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
降雨量(mm)
10
12
13
13
20
15
14
15
14
14
则该县这10个区域降雨量的众数为_______(mm);平均降雨量为___________(mm).
5.一个骰子,六个面上的数字分别为1、2、3、3、4、5,投掷一次,向上的面出现数字3的概率是_____.
第6题图
6.某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查,并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比.学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计,绘制了统计图如下,请根据该图回答下列问题:
(1)学生会共抽取了______份调查报告;
(2)若等第A为优秀,则优秀率为_____________;
(3)学生会共收到调查报告1000份,请估计该校有多少份调查报告的等第为E?
7.有100张已编号的卡片(从1号到100号)从中任取1张,计算卡片是奇数的概率是_______,卡片号是7的倍数的概率是________.
8.掷一枚正六面体的骰子,掷出的点数不大于3的概率是_________.
三、解答题
1.小谢家买了一辆小轿车,小谢连续记录了七天每天行驶的路程.
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程(千米)
46
39
36
50
54
91
34
请你用统计初步的知识,解答下列问题:
(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)要行驶多少千米?
(2)若每行驶100千米需汽油8升,汽油每升3.45元.请你求出小谢家一年(一年按12个月计算)的汽油费是多少元?
2.今年“五一黄金周”期间,花果山风景区共接待游客约22.5万人.为了了解该景区的服务水平,有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查,请他们对景区的服务质量进行评分,评分结果的统计数据如下表:
档次
第一档
第二档
第三档
第四档
第五档
分值a(分)
a≥90
80≤a<90
70≤a<80
60≤a<70
a<60
人数
73
147
122
86
22
根据表中提供的信息,回答下列问题:
(1)所有评分数据的中位数应在第几档内?
(2)若评分不低于70分为“满意”,试估计今年“五一黄金周”期间对花果山景区服务“满意”的游客人数.
3.在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中,参加崂山景区登山活动的市民约有12000人,为统计参加活动人员的年龄情况,我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本,进行数据处理,制成扇形统计图和条形统计图(部分)如下:
(1)根据图①提供的信息补全图②;
(2)参加崂山景区登山活动的12000余名市民中,哪个年龄段的人数最多?
(3)根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想.(不超过30字)
4.袋中装有编号为1、2、3的三个形状大小相同的小球,从袋中随意摸出1球.并且随意抛掷一个面上标有1,2,3,4,5,6各一数字的正方体均匀骰子.
(1)如果摸出1号球和骰子朝上的数字为1则甲胜;如果摸出2号球和骰子朝上的数字为2,则乙胜.这个游戏对双方公平吗?
(2)如果摸出的球编号为奇数和骰子朝上的数字为奇数则甲胜;如果摸出的球编号为偶数和木块朝上的数字为偶数,则乙胜.这个游戏对双方公平吗?
说明理由.
答案
一、选择题
1.A(提示:
100人中吃早餐的概率85÷100=0.85,可以代表1000名学生吃早餐的概率)
2.D(提示:
P(摸出的是黑球)=
,所以P(摸出的不是黑球)=1-
=
)
3.C(提示:
共有10000张奖券,其中一等奖10个,购物100元,可得一张奖券,故P(中一等奖)=
4.B(提示:
P(A指奇数)=
,P(B指奇数)=
,所以P(A、B同时指奇数)=
×
=
)
5.D(提示:
P(两支红色水笔)
)
6.B(提示:
抛掷两枚硬币的所有可能是正正、正反、反正、反反.所以P(甲抛出两个正面)=
,P(乙抛出一正一反)=
,各抛100次后,甲得分100×
=25(分),乙得分100×
=50(分))
二、填空题
1.(提示:
实验中,我们关注的结果的次数是11,所有等可能出现的结果的次数是14,故取到黄球的概率)
2.(提示:
P(白球)=
)
3.31(提示:
将这组数据按从小到大排列为30、31、31、31、32、34、35,则位于中间位置的一个数为31,即这组数据的中位数是31)
4.14,14(提示:
14出现次数最多,平均降雨量是把各区域降雨量相加再除以10)
5.
(提示:
P(向上数字为3)=
)
6.50,0.16,40(提示:
共抽查8+20+15+5+2=50;优秀率为8÷50=0.16;等第为E的报告有
)
7.
,
(提示:
1到100中奇数有50个,P(卡片是奇数)=
;7的倍数有100÷714,所以P(卡片号是7的倍数)=
)
8.
(提示:
点数不大于3的数字有1、2、3,所以P(点数不大于3)=
)
三、解答题
1.解:
(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为50(千米).
∴每月行驶的路程为30×50=l500(千米).
答:
小谢家小轿车每月要行驶1500千米.
(2)小谢一家一年的汽油费用是4968元.
2.解:
(1)所有评分数据的中位数应在第三档内.
(2)根据题意,样本中不小于70的数据个数为73+147+122=342,
所以,22.5万游客中对花果山景区服务“满意”的游客人数约为
(万).
3.解:
(1)略
(2)60-69岁
(3)根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想合理即可.
4.解:
①公平因为获胜概率相同都等于
;
②不公平;因为甲获胜概率为
,乙获胜概率为
.
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