华师大版八年级数学上册单元测试 第14章 勾股定理含答案解析.docx
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华师大版八年级数学上册单元测试第14章勾股定理含答案解析
华师版八年级数学上册单元测试卷
第14章勾股定理
班级姓名
第Ⅰ卷 (选择题 共30分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在Rt△ABC中,已知其两条直角边长a=1,b=3,那么斜边c的长为( D )
A.2B.4C.
D.
2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( A )
A.30,40,50B.7,12,13
C.5,9,12D.3,4,6
3.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且(a+b)(a-b)=c2,则( A )
A.∠A为直角B.∠C为直角
C.∠B为直角D.不是直角三角形
4.“已知:
在△ABC中,AB=AC,求证:
∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
①∴∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾;
②∴∠B<90°;
③假设∠B≥90°;
④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( C )
A.①②③④B.③④②①
C.③④①②D.④③②①
5.放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40m/min,小红用15min到家,小颖用20min到家,小红和小颖家的直线距离为( C )
A.600mB.800m
C.1000mD.不能确定
6.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=40,CB=9,点M、N在AB上且AM=AC,BN=BC,则MN的长为( C )
A.6B.7C.8D.9
7.如图是两个大小、形状相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A与A′重合,点C落在边AB上,连结B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为( A )
A.3
B.6C.3
D.
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若BD=4,CD=2,则AC的长是( C )
A.4B.3C.2
D.
9.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为( B )
A.20dmB.25dmC.30dmD.35dm
10.如图,将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b>a)拼接在一起,则四边形ABCD的面积为( A )
A.b2+(b-a)2B.b2+a2
C.(b+a)2D.a2+2ab
第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC于点D,则AD=__8__cm.
12.如图,长方体长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,则BD′=__13__cm__.
13.如图,在笔直的铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA=10km,CB=15km,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个中转站E,使得C、D两村到E站的距离相等.则E应建在距A__15__km.
14.如图,某消防队员进行消防演练,在模拟现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现最多只能靠近建筑物12m,即AD=BC=12m,此时建筑物中距离地面11.8m高的P处有一被困人员需要救援,已知消防云梯底部A距离地面2.8m,即AB=2.8m,则消防车的云梯至少要伸长__15__m.
15.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(图1),后人称其为“赵爽弦图”,由弦图变化得到图2,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=12,则S2的值为__4__.
图1)
图2)
16.在如图所示的圆柱体中,底面圆的半径是
,高为4,BC是上底面的直径,若一只小虫从点A出发,沿圆柱体侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短路程是__5__.
三、解答题(共52分)
17.(6分)已知在△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.
(1)如果a=6,b=8,求c;
(2)如果a=12,c=13,求b;
(3)如果b=40,c=41,求a.
解:
(1)∵c2=a2+b2=62+82=100,
∴c=10.
(2)∵b2=c2-a2=132-122=25,
∴b=5.
(3)∵a2=c2-b2=412-402=81,
∴a=9.
18.(6分)如图,在四边形ABCD中,已知AB=5,BC=3,CD=6,AD=2
,若AC⊥BC,求证:
AD∥BC.
证明:
∵AC⊥BC,
∴AC2=AB2-BC2=52-32=16.
∵在△ACD中,
AC2+AD2=16+20=36,CD2=36,
∴AC2+AD2=CD2,
∴△ACD为直角三角形,
∴AC⊥AD,
∴AD∥BC.
19.(7分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC、AB于点D、E.
(1)求证:
△ABC为直角三角形.
(2)求AE的长.
答图
(1)证明:
∵△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,
又∵42+32=52,
即AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)解:
连结CE,如答图.
∵DE是BC的垂直平分线,
∴EC=EB.
设AE=x,则EC=BE=4-x.
∴x2+32=(4-x)2.
解得x=
,即AE的长是
.
20.(7分)甲、乙两只轮船同时从港口出发,甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行,乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行,计算它们出发1.5小时后两船的距离.
解:
如答图所示,∵∠1=75°,∠2=15°,
答图
∴∠AOB=90°,即△AOB是直角三角形.
∵OA=16×1.5=24(海里),
OB=12×1.5=18(海里),
∴由勾股定理得,
AB=
=
=30(海里).
答:
它们出发1.5小时后两船的距离为30海里.
21.(8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E、F分别是BG、AC的中点.
(1)求证:
DE=DF,DE⊥DF;
(2)连结EF,若AC=10,求EF的长.
解:
(1)∵AD⊥BC于D,
∴∠BDG=∠ADC=90°.
∵BD=AD,DG=DC,
∴△BDG≌△ADC(S.A.S.),∴BG=AC.
∵AD⊥BC于D,E、F分别是BG、AC的中点,
∴DE=
BG,DF=
AC,
∴DE=DF.
∵DE=DF,BD=AD,BE=AF,
∴△BDE≌△ADF(S.S.S.),∴∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90°,
∴DE⊥DF.
(2)∵AC=10,
∴DE=DF=
AC=
×10=5.
∵∠EDF=90°,
∴EF=
=
=5
.
22.(8分)如图,在△ABC中,D是AB的中点,若AC=12,BC=5,CD=6.5.求证:
△ABC是直角三角形.
答图
证明:
如答图,延长CD到E,使DE=CD,连结BE.
∵AD=BD,CD=ED,∠ADC=∠BDE,
∴△ADC≌△BDE(S.A.S.),
∴BE=AC=12,∴∠CAD=∠DBE,
∴AC∥BE.
在△BCE中,∵BC2+BE2=52+122=169,CE2=4CD2=169,
∴BC2+BE2=CE2,
∴∠EBC=90°.
又∵AC∥BE,
∴∠ACB=180°-∠EBC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
23.(10分)我们运用图1中大正方形的面积可表示为(a+b)2,也可表示为c2+4
,即(a+b)2=c2+4
,由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2,这个重要的结论就是著名的“勾股定理”.这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.
图1
图2
图3
(1)请你用图2(2002年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c).
(2)请你用图3中的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证:
(x+2y)2=x2+4xy+4y2.
解:
(1)S阴影=4×
ab,S阴影=c2-(a-b)2,
∴4×
ab=c2-(a-b)2,
即2ab=c2-a2+2ab-b2,
则a2+b2=c2.
(2)如答图所示,
答图
大正方形的面积为x2+4y2+4xy,也可以为(x+2y)2,
则(x+2y)2=x2+4xy+4y.
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