中考数学圆知识点精讲doc.docx
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中考数学圆知识点精讲doc
圆
知识点一、圆的定义及有关概念
1、圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
2、有关概念:
弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做
直径,直径是最长的弦。
在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧。
例P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;?
最长弦长为
_______.解题思路:
圆内最长的弦是直径,最短的弦是和OP垂直的弦,.
知识点二、平面内点和圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种:
点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时,
d>r;反过来,当
d>r时,点在圆外。
当点在圆上时,
d=r;反过来,当
d=r时,点在圆上。
当点在圆内时,
d<r;反过来,当
d<r时,点在圆内。
例如图,在Rt△ABC中,直角边AB3,BC4,点E,F分别是BC,AC的中点,以点A
为圆心,AB的长为半径画圆,则点E在圆A的_________,点F在圆A的_________.
解题思路:
利用点与圆的位置关系
练习:
在直角坐标平面内,圆O的半径为5,圆心O的坐标为(1,4).试判断点P(3,1)与圆O的
位置关系.
知识点三、圆的基本性质
1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性,特别的圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
圆心角定理:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对
应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论1:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论2:
直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
例1如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长
是()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm
例2、如图,A、B、C、D是⊙O上的三点,∠BAC=30°,则∠BOC的大小是()
A、60°B、45°C、30°D、15°
例3、如图1和图2,MN是⊙O的直径,弦AB、CD?
相交于MN?
上的一点P,
(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由.
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.
M
AC
P
FEA
E
OBN
DBM
P
NDFC
(1)
(2)
解题思路:
(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等.
解:
(1)AB=CD
理由:
(2)作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F
例4.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系为什么
解题思路:
BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,?
只要连结AD
证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.
A
解:
BD=CD
理由是:
知识点四、圆与三角形的关系
O
C
D
B
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆:
经过三角形三个顶点的圆。
3、三角形的外心:
三角形三边垂直平分线的交点,即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆:
与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心:
三角形三条角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心。
例1如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉
地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图24-49所示,A、B、C?
为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,?
要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址.
A
C
B
解题思路:
连结AB、BC,作线段AB、BC的中垂线,两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置.例2如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,
则∠BOC=(
)
A.130°B
.100°
C.50°D
.65°
例3如图,Rt△ABC,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点
C的距离为(
).
A.5cmB
.2.5cm
C.3cmD
.4cm
A
解题思路:
直角三角形外心的位置是斜边的中点
BC
知识点五、直线和圆的位置关系:
相交、相切、相离
当直线和圆相交时,d<r;反过来,当d<r时,直线和圆相交。
当直线和圆相切时,d=r;反过来,当d=r时,直线和圆相切。
当直线和圆相离时,d>r;反过来,当d>r时,直线和圆相离。
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理:
经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长:
在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和圆外这点的连线平分两条切
线的夹角。
例1、在中,BC=6cm,∠B=30°,∠C=45°,以A为圆心,当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切相交相离
解题思路:
例2.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.
(1)CD与⊙O相切吗如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.
(2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.
解题思路:
(1)要说明CD是否是⊙O的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,?
因为C点
已在圆上.
由已知易得:
∠A=30°,又由∠DCB=∠A=30°得:
BC=BD=10解:
知识点六、圆与圆的位置关系
重点:
两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用.
难点:
探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题.
外离:
两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离:
内含:
两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相切:
外切:
两圆只有一个公共点,除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
内切:
两圆只有一个公共点,除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相交:
两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r1、r2,圆心距(两圆圆心的距离)为d,则有两圆的位置关系,d与r1和r2之间的关系.
外离
d>r1
+r2
外切
d=r1
+r2
相交
│r1
-r2│ 内切 d=│r-r│ 1 2 内含 0≤d<│r-r │(其中d=0,两圆同心) 1 2 例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的 肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小. (1) (2) 解题思路: 要求∠TPN,其实就是求∠OPO′的角度,很明显,∠POO′是正三角形,如图2所示. 解: 例2.如图1所示,⊙O的半径为7cm,点A为⊙O外一点,OA=15cm,求: (1)作⊙A与⊙O外切,并求⊙A的半径是多少 OA (1) (2) (2)作⊙A与⊙O相内切,并求出此时⊙A的半径. 解题思路: (1)作⊙A和⊙O外切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距 d=rO+rA;(? 2 )? 作 OA 与⊙O相内切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO. 例3.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上. (1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系; (2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标. y A Ox 知识点七、正多边形和圆 重点: 讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、? 边长之间的关系. 难点: 使学生理解四者: 正多边形半径、中心角、? 弦心距、边长之间的关系. 正多边形的中心: 所有对称轴的交点; 正多边形的半径: 正多边形外接圆的半径。 正多边形的边心距: 正多边形内切圆的半径。 正多边形的中心角: 正多边形每一条边所对的圆心角。 正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 例1.如图,已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是a,? 求正六边形的周长和面积. 解题思路: 要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应 与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于M,在Rt△AOM? 中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的. 解: ED O FC AMB 例2.在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为 AB,顶点C在半 圆圆周上,其它两边分别为 6和8,现要建造一个内接于△ABC? 的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上, 如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6. (1)求△ABC的边AB上的高h. (2)设DN=x,且h DNNF,当x取何值时,水池DEFN的面积最大 hAB (3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问: 这棵大树是否位于最大矩形 水池的边上如果在,为了保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩 形水池能避开大树. C NF h ADGEB 解题思路: 要求矩形的面积最大,先要列出面积表达式,再考虑最值的求法,初中阶段,尤其现学的知识,应用配方法求最值.(3)的设计要有新意,? 应用圆的对称性就能圆满解决此题. 解: 知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积 重点: n°的圆心角所对的弧长 L=nR,扇形面积S扇=n R2 、圆锥侧面积面积及其它们的应用. 180 360 难点: 公式的应用. 1.n°的圆心角所对的弧长L=nR 180 2.圆心角为n°的扇形面积是 S扇形=nR2 360 3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的,所以全面积 = rL+r2. 例1.操作与证明: 如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证: 正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长 度为定值a. 解题思路: 如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD? 分别交于点M、N,连结OA、OD.∵ 四边形ABCD是正方形 ∴OA=OD,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO, 又∠MON=90°,∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地,当点M与点A(点B)重合时,点N必与点D(点A)重合,此时AM+AN仍为定值a.故总有 正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a. 例2.已知扇形的圆心角为120°,面积为300cm2. (1)求扇形的弧长; (2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少 解题思路: (1)由S扇形=nR2 求出R,再代入 L=nR求得. (2)若将此扇形卷成一个圆锥,? 360 180 扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长,就可求圆的半径,其截面是一个以底是直径, ? 圆锥母线为腰的等 腰三角形. 解: 考查目标一、主要是指圆的基础知识,包括圆的对称性,圆心角与弧、弦之间的相等关系,圆周角与圆心角之间的关系,直径所对的圆周角是直角,以及垂径定理等内容。 这部分内容是圆的基础知识,学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算 例1、如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交BC于D. (1)请写出五个不同类型的正确结论; (2)若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.解题思路: 运用圆的垂径定理等内容 解: 例2.已知: 如图等边△ABC内接于⊙O,点P是劣弧PC上的一点(端点除外),延长BP至D,使 BDAP,连结CD. (1)若AP过圆心O,如图①,请你判断△PDC是什么三角形并说明理由. (2)若AP不过圆心O,如图②,△PDC又是什么三角形为什么 解题思路: (1)△PDC为等边三角形. A A 理由: O O B C B C P P D D 图① 图② 例3. (1)如图OA、OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点: 过点C作CD切 ⊙O于点D,连结AD交DC于点E.求证: CD=CE (2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交⊙O于B’,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗为什么 (3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗为什么 解题思路: 本题主要考查圆的有关知识,考查图形运动变化中的探究能力及推理能力. 解答: (1)证明: 连结OD则OD⊥CD,∴∠CDE+∠ODA=90° (2)CE=CD仍然成立. (3)CE=CD仍然成立. 考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。 学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。 例1、AB是⊙O的直径,PA切⊙O于A,OP交⊙O于C,连BC.若P30o,求B的度数. A 解题思路: 运用切线的性质. P OC B QPA切⊙O于A,AB是⊙O的直径,∴ PAO 90o. QP 30o,∴ AOP 60o.∴ B 1 AOP 30o 2 例2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE CD,垂足为E,DA平分BDE. (1)求证: AE是⊙O的切线; (2)若 DBC 30o,DE1cm,求BD的长. A E 解题思路: 运用切线的判定 D (1)证明: 连接OA,QDA平分 BDE, BDA EDA. O QOA OD, ODA OAD. OAD EDA. B C OA∥CE. QAE DE, AED 90o,OAE DEA 90o. AE OA. AE是⊙O的切线. A E (2)QBD是直径, BCD BAD 90o. D O B QDBC 30o, BDC 60o, BDE 120o . C QDA平分 BDE, BDA EDA 60o. ABD EAD 30o. 在Rt△AED中, AED 90o,EAD 30o,AD 2DE. 在Rt△ABD中, BAD 90o,ABD 30o,BD 2AD 4DE. QDE的长是1cm,BD的长是4cm. 考查目标三、主要是指圆中的计算问题,包括弧长、扇形面积,以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算,这部分内容也是历年中考的必考内容之一。 学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。 例1、如图,已知在⊙O中,AB=43,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积; (2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面 圆的半径. 解题思路: (1)法一: 过O作OE⊥AB于E,则AE=1AB=23。 2 在Rt△AEO中,∠BAC=30°,cos30°=AE. A OA E O B F D C ∴OA=AE=23=4. cos303 2 又∵OA=OB,∴∠ABO=30°.∴∠BOC=60°. ∵AC⊥BD,∴ ? ? BC CD.∴∠COD=∠BOC=60°.∴∠BOD=120°. ∴S阴影=nπOA2 =120g2 16. A 360 π4 π 360 3 法二: 连结AD. O B D ∵AC⊥BD,AC是直径,∴AC垂直平分 BD。 F C ? ? ∴AB=AD,BF=FD,BC CD。 ∴∠BAD=2∠BAC=60°,∴∠BOD=120°. ∵BF=1AB=2 3,sin60°=AF,AF=AB·sin60°=43× 3=6。 2 AB 2 ∴OB=BF+OF.即(23)2 (6OB)2 OB2.∴OB=4.∴S阴影=1S圆=16π。 2 2 2 3 3 法三: 连结BC. ∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90°。 ∵AB=4 3,∴AC AB 4 3 8 A 3 cos30 2 O ∵∠A=30°, AC⊥BD,∴∠BOC=60°,∴∠BOD=120°. B F D = 120 2 1 2 16 C ∴S 阴影 π。 360 π·OA= 3 ×4·π= 3 以下同法一。 (2)设圆锥的底面圆的半径为 r,则周长为2πr,∴2πr 120πg4∴r 4。 180 3 A 例2.如图,从一个直径是 2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 90o的扇形. ① ② (1)求这个扇形的面积(结果保留 ). B O C (2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与 ③ 此扇形围成一个圆锥请说明理由. (3)当⊙O的半径R(R 0)为任意值时, (2)中的结论是否仍然成立请说明理由. 解题思路: (1)连接BC,由勾股定理求得: AB AC 2 S nR2 1 A 360 2 ① ② AO BC eO E F (2)连接 并延长,与弧 和 交于 , O , B C E ③ nR
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