973项目申报书XXXXCB302400G数学机械化方法及其在数字化设计制造.docx

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973项目申报书XXXXCB302400G数学机械化方法及其在数字化设计制造

项目名称：

数学机械化方法及其在数字化设计制造中的应用

首席科学家：

高小山中国科学院数学与系统科学研究院

起止年限：

2011.1至2015.8

依托部门：

中国科学院

二、预期目标

（一）．总体目标：

针对数字化设计制造与数控系统核心问题，继续数学机械化理论与方法的研究，在基于混合计算的误差可控算法、微分差分方程求解的符号算法、高级几何不变量算法、有限域理论与算法、构造性代数几何若干前沿问题上取得重大创新性突破，提高计算机符号计算、几何推理与可信计算的能力，保持我们在这一领域的特色与在若干方面的领先地位。

以此为基础，解决数字化设计制造和数控系统的若干关键理论与算法问题，包括复杂曲面造型与分析、几何特征识别、数字化制造中的路径规划与干涉分析、数控系统中的插补、刀补与误差补偿，以此为基础开发性能指标国际先进的数字化设计制造与数控系统核心功能模块，为高速、高精数字化设计制造与数控系统的商业开发提供支撑，为提升我国制造业水平、打破国外封锁做出贡献。

五年预期获得重要奖励5项左右，发表300篇左右高水准SCI论文，申请20项关键技术专利，出版10部左右专著。

在人才培养方面，预期培养200名左右优秀研究生，为数学机械化与数字化设计制造培养后备人才。

参加项目的青年人获得国家杰出青年基金以及其他为青年人设立的奖项5-10项左右。

在基地建设方面，进一步加强承担项目的重点实验室与国家工程中心的学术地位，加强在数学机械化研究、数字化设计制造领域的引领作用。

（二）．五年预期目标:

1.数学机械化理论与算法:

在若干既有理论意义又在数字化设计制造和数控系统中有明显应用前景的理论问题上，包括基于混合计算的误差可控算法、微分差分方程求解的符号数值算法、高级几何不变量算法、有限域理论与算法、构造性代数几何若干前沿问题，争取取得重大突破，在算法的实时性、精确性、完全性、系统性和自动化程度等方面，满足今后一个时期内的实际需求。

具体包括：

●在方程求解的理论与符号算法方面，建立微分差分方程组的Chow形式，微分差分混合型方程组的分解的高效算法，微分差分方程的Galois理论与符号求解的高效算法；在微分维数猜想、Ritt问题、Jacobi界等著名难题研究方面取得重要进展。

建立齐性空间的整系数上同调环计算算法，代数flag流形中结构常数的机器计算方法，由半稳定曲线簇确定的Higgs丛之不稳定性的精确上界以及特征非零代数曲面纤维化理论。

●在误差可控算法方面，针对若干代数基本运算，包括多项式运算、大规模矩阵运算、方程求解、全局优化，发展基于符号数值混合计算的误差可控算法。

特别地，设计更稳定和快速的混合计算与验证方法。

完成包括实代数数、复代数数由数值与近似计算恢复精确解的可信算法，提高精确算法的效率。

研究数字化设计制造中出现的半代数系统，发展和设计高效、稳定和可信的求解算法，应用于代数曲面的拓扑确定、曲面求交、曲面间距离的可信计算。

●在有限域上多变量代数方程的求解、多变量多项式函数分解、多变量多项式同构构造的有效方法与计算复杂度分析方面取得突破，成功应用于若干重要密码的破解，给出用于有限域的并行算法及软件实现。

●在面向高档数控的几何计算与优化计算方面，通过对三维几何推理和多项式系统的研究，提出高级代数和微分不变量理论与算法，设计面向高档数控仿真系统的可信模型和设计优化方法，并应用于解决数控中的有关问题。

五年预期获得重要奖励5项左右，发表150篇左右高水准SCI论文，10部左右专著，预期培养100名左右研究生。

2.数学机械化与数字化设计制造：

围绕提高复杂曲面类零件设计制造精度和效率的“两高”目标，研究基于数学机械化的复杂曲面设计和计算机辅助制造的核心算法，研制开发复杂曲面零件逆向设计及计算机辅助制造集成核心模块，与其他课题组合作完成典型复杂曲面类零件设计和制造的实验验证和应用示范。

包括：

●建立T网格上多项式样条空间的维数计算与基函数的构造方法，完善有理曲线和曲面的mu基理论，并应用于曲面隐式化、曲线和曲面性质分析，给出基于UV系统的复杂曲面群组的正交重构及群组整体频谱分析理论及算法；对曲面的交线计算和拓扑分类进行分析，给出基于“吴方法”参数曲面拼接方法；建立起圆纹样条曲面的构造技术，提出高精度的计算方法；给出三维区域的稳定高质量网格化算法。

●建立更为精确的定位优化模型，提高定位的精度和计算效率；设计模型驱动的复杂曲面加工质量综合评估；提出工艺优化模型和协调的数值求解策略；进行几何仿真与物理仿真的集成技术；建立基于T网格上样条的等几何分析的框架。

●建立海量数据非线性降维与自动特征提取的新方法；给出结合流形学习与多概念学习的识别与检索方法；提出融合多模态特征的混合排序模型的构建方法，并应用于复杂曲面特征识别与产品图像识别与检索。

五年预期发表80篇左右高水准SCI论文，10项关键技术专利，预期培养50名左右研究生。

3.数学机械化与数控系统：

在5轴联动数控机床的运动插补、空间刀补与误差补偿方面取得突破，实现具有自主知识产权、性能指标国际先进的高速高精数控系统核心模块，并与高档数控机床进行配套验证。

●建立基于数学机械化方法的数控系统核心算法，包括：

各种加工路径与各种加速模式下的最优插补算法，新的工件程序前瞻处理方法，支持空间刀补的工件程序描述方法与工艺解释方法，五轴数控系统非线性加工误差模型与补偿方法和基于加速度约束的误差控制方法。

●以本项目的工作为基础，开发支持高速、高精、高效加工，性能指标国际先进的高档数控系统核心模块，包括最优插补、空间刀补与误差补偿功能。

并与高档数控机床进行配套验证，加工航空航天等领域所需的1-2类复杂工件。

●建立针对光刻机动态流场模型，实现微扰动流场下亚纳米精度测量补偿。

建立光刻机工件台多自由度运动之间的测量耦合模型与空间精度修正算法。

完成纳米运动系统的多场耦合动力学建模、复杂流场建模，解决纳米精度的同步运动控制问题，完成基于65纳米光刻机工件台样机系统的实验验证。

五年预期发表80篇左右高水准SCI论文，10项关键技术专利，预期培养50名左右研究生。

三、研究方案

1、学术思路：

本项目的特色是跨学科、交叉性强、应用性广。

本项目是在数字化设计制造、数控系统等方面的研究中抽象出具有共性的数学与算法问题，建立数学模型，利用数学机械化思想和方法给予解决。

具体地讲，复杂曲面特征识别、设计与加工方法、数控系统中的插补等可以归结为大规模方程组求解；数控系统的空间刀补需要用到曲面重构；数控系统的最优插补与动力学研究需要微分方程理论与构造性算法；曲面求交需要用到混合计算与半代数系统求解算法等。

2、技术途径：

本项目目标清晰、分工明确。

数字化设计制造与数控系统课题组提出的理论与算法问题将及时与数学机械化理论与算法课题组交流，双方共同攻关解决问题，在实践中检验实际效果；多次往返，直到问题圆满解决。

具体讲，数字化设计制造与数控系统的很多核心问题可以归结为数学与算法问题。

我们将通过研究方程求解的误差可控算法提高数字化设计的精度与可信度、误差补偿的能力以及数字化制造算法的效率，通过研究几何算法与微分方程构造性方法得到若干情形下的最优插补方法，通过研究曲面拟合新方法提出新的空间刀补方法与插补方法。

承担本项目的中科院数学院、中科院成都计算机所、中国科技大学、北京大学团队在理论与算法研究方面具有优势，中科院沈阳自动化所、中科院沈阳计算所、清华大学团队在数字化设计与制造方面具有技术与设备优势。

双方的紧密配合可以保障项目的顺利实施。

3、创新点与特色：

数学机械化是具有我国特色并获得国际学术界的高度评价的研究方向，是为数不多的中国自己的学派。

我们的研究团队在几何自动推理、方程求解的特征列方法、计算微分代数方面在国际上有明显优势。

本项目将在此基础上开拓新的研究方向，包括：

代数基本运算的误差可控算法、高级几何不变量方法、微分差分方程、有限域与半代数系统的机械化方法，争取通过我们的研究，努力保持我们的特色与优势。

本研究团队在信息领域的应用方面也有自己的特色。

我们关于数字压缩的算法作为重要内容进入JPEG2000国际标准，关于数字隐藏的工作被重要国防部门采用，关于并联数控机床的工作入选“国家十一五重大成就展”。

本项目面向国家重大需求，在数字化设计制造与数控系统方面将进一步扩大数学机械化在信息领域的应用。

4、可行性分析：

本项目所研究的代数基本运算的误差可控算法、高级几何不变量方法、新的方程类型的机械化方法是本领域的前沿课题。

项目承担人员在这些问题的研究中已经做出重要贡献，有一套独特的方法。

特别是在几何计算推理与方程求解的特征列方法方面，我们始终在国际上具有领先地位，在混合计算方面也有雄厚的基础。

通过本项目的执行，有望进一步取得突破。

数学机械化方法是国际上几何建模的主要方法之一。

吴特征列方法被用于曲面计算、机器人、数控系统，几何约束求解方法被用于智能CAD与机器人，共形几何代数被应用于模式识别与计算机图形学。

近年来，我们在数控系统的空间刀补与样条插补方面取得重要进展，显示了数学机械化方法在数控系统关键技术方面的潜力。

本项目将以此为基础，进一步研究数控系统中的关键问题，有望为开发高速、高精的数控系统做出贡献。

在数控系统理论与研制方面，项目参加单位中科院沈阳计算所、清华大学制造工程研究所具有雄厚的实力与多年的技术积累并承担了国家相关领域的重大专项。

通过与数学机械化方法的交叉融合，有望在数控系统的基础理论与算法方面取得突破，为重大专项的实施提供支撑。

本项目承担单位有很好的合作基础，所有参与单位都与项目主持单位共同承担过较大规模的科研项目。

此外，通过上期973项目的支持，产生了一支充满活力的科研队伍，为项目的执行打下了基础。

四、年度计划

研究内容

预期目标

第

一

年

在数学机械化方面，研究微分差分方程组的高效整序算法以及方程组阶数的计算与估计，研究微分方程组的Chow形式及其应用；研究有限域方程求解与函数分解及复杂度分析；研究齐性空间的整系数上同调环的计算。

在误差可控算法方面，研究大规模矩阵特征问题、奇异值分解问题的有效可靠数值求解；研究大规模线性方程组的有效稀疏近似逆预处理技术；研究基于结构矩阵的多项式基本计算混合算法；设计基于结构矩阵的最小二乘法、快速正交分解、奇异值分解问题的混合算法；研究高效代数数准确表示及其在运算和方程求解过程的误差控制问题。

研究三维欧氏几何和射影几何的高级不变量。

在数字化设计与数控系统方面，研究T网格上新型样条基函数，基于T网格的IGA算例；研究海量数据的非线性降维方法、平面特征提取算法；研究圆纹样条曲面构造方法；研究参数曲面拼接方法与基于特征与约束的曲面建模。

研究最优插补与空间刀补方法，建立高档数控系统的开发环境与实验环境；研究面向一般动力学仿真的可信模型化简方法；进行纳米运动系统的多场耦合动力学建模。

在数学机械化理论与算法方面，开展若干基础性研究并取得重要进展。

包括：

给出微分差分方程整序高效方法与阶的估计方法，建立微分Chow形式，给出有限域上的特征列方法、多元多项式分解方法，给出齐性空间整系数上同调环计算方法；在非准确方法收敛性问题上取得实质性突破，给出近似多项式基本运算的快速混合算法，实现通过给定代数数的近似值进行准确运算的方法。

在数字化设计制造与数控系统方面，开展基本理论与算法研究并取得重要进展，为核心模块的开发做好准备。

包括：

给出T网格上新型样条基函数，基于T网格的IGA方法；给出海量数据非线性降维方法；给出圆纹样条曲面构造方法与参数曲面拼接方法，实现基于特征与约束的曲面建模。

解决加加速度控制下微小直线段的最优插补问题，建立多轴数控机床系统的动力学模型。

发表50篇左右高水平论文，申请1项关键技术专利，培养研究生30名。

第

二

年

在数学机械化方面，研究差分Chow形式、微分结式，微分差分方程组分解，微分差分方程符号求解的高效算法;研究代表性多变量公钥密码的等价密钥问题；将上同调环结果应用于示性类理论，研究代数flag流形结构常数计算方法。

在误差可控算法方面，继续研究基于大规模结构稀疏矩阵的误差可控算法，研究代数、微分和差分方程求解的误差可控算法，研究重零点和重特征值的误差可控算法，研究多项式全局最优解的可信计算，研制代数曲线曲面的可信逼近算法与软件。

继续三维欧氏几何和射影几何的高级不变量研究。

在数字化设计与数控系统方面，研究基于IGA分析的实体参数化方法，研究应用T网格样条实现自适应参数曲面造型方法；研究复杂曲面加工定位优化与自动刀具序列生成。

研究复杂曲面加工轨迹规划与干涉；完善已有的U&V系统的正交重构计算平台，研究由若干个互相分离的几何图形组成的对象，给出快速算法计算其数字特征。

研制高档数控系统的硬件平台与软件平台，开发基于数学机械化方法的最优插补与空间刀补模块；研究面向高精度的多轴数控系统误差补偿和控制方法，包括基于加速度约束的误差控制、连续曲线离散化产生误差的控制、伺服控制产生误差的控制等控制理论和算法;研究综合各轴运动的交叉耦合协调同步控制算法。

在数学机械化理论和算法方面取得阶段性结果。

包括：

微分差分Chow形式与微分结式，微分差分方程整序快速算法与阶的估计；有限域方程求解与分解及其在密码上的应用，代表性多变量公钥密码的等价密钥问题；结构稀疏矩阵的误差可控算法与代数曲线曲面的可信逼近方法，重零点和重特征值的误差可控算法;计算齐性空间的整系数上同调环理论,代数flag流形结构常数计算方法。

在数字化设计与数控系统方面取得阶段性成果。

包括：

基于IGA分析的实体参数化方法与自适应参数曲面造型方法，复杂曲面加工定位优化、自动刀具序列生成、轨迹规划与干涉检验，U&V系统的正交重构计算，数控系统最优插补，空间刀补与误差补偿。

初步研制成功高档数控系统的硬件平台与软件平台。

做好项目中期评估，为项目后三年的执行打下基础。

发表70篇左右高水平论文，申请4项关键技术专利，培养研究生40名。

第

三

年

在数学机械化方面，研究偏差分方程整序原理，维数猜想，Galois理论;研究有限域多项式同构和可证明安全性，多变量密码等价系统；多项式同构和可证明安全性；研究代数flag流形结构常数计算，Higgs丛之不稳定性精确上界;研究大规模矩阵的计算的误差可控方法，研究多项式全局优化的相关问题。

在数字化设计与数控系统方面，研究流形学习、曲面特征提取和相关检索模型；研究IGA算法协调性和稳定性，研究基理论在曲面隐式化、曲线和曲面方面的应用；研究三维区域的六面体网格剖分方法；研究数控加工自动工艺规划技术；实现最优插补模块和空间刀补模块与数控系统的集成，开发高档数控系统的样机;研究亚纳米的精度补偿

对于课题的核心理论与算法问题开展攻关并在若干方向取得突破。

包括：

偏差分方程的整序原理，微分差分方程Galois理论，非平凡保持映射的计算，代数flag流形结构常数的计算，Higgs丛之不稳定性的精确上界。

设计新的误差可控算法，解决传统方法不能解决的优化问题。

建立三维欧氏几何和射影几何的高级不变量理论与算法。

流形学习、曲面特征提取；IGA算法框架的协调性和稳定性分析；三维区域网格剖分方法。

数控加工自动工艺规划技术。

研究支持最优插补与空间刀补功能的高档数控系统样机。

发表60篇左右高水平论文，申请5项专利。

第

四

年

在数学机械化方面，研究Ritt问题，微分差分方程混合算法与软件；研究多项式同构和多变量密码体制分类，方程求解算法的复杂度估计；研究特征非零代数曲面纤维化，代数流形切丛的半稳定性。

在误差可控算法方面，研制程序模块，进行性能测试，结合应用问题考察其实际应用效果。

在数字化设计与数控系统方面，研究几何造型中非典型曲线和曲面表示形式所对应的IGA框架；实现U&V系统的正交重构计算平台处理复杂曲面能力；研究曲面交线的计算与拓扑分类方法。

针对叶轮、叶片与飞机机身等复杂工件，开展最优插补与空间刀补的工程化实验，实现高档数控系统的定型。

研究光刻机的纳米精度系统设计优化、纳米精度的同步运动控制。

在课题的核心理论与算法问题取得突破与进展，解决应用问题中提出的问题。

包括：

微分差分方程的混合算法，Ritt问题，多项式同构与多变量密码体制的分类，代数流形切丛的半稳定性。

误差可控软件系统。

非典型曲面IGA框架；实现U&V系统平台，在普通微机上达到100万个三角片；曲面交线拓扑分类。

完成支持最优插补与空间刀补功能的高档数控系统。

完成同步运动控制的模型建立，为最终实验奠定基础。

发表60篇左右高水平论文，申请5项专利。

第

五

年

总结前几年工作。

根据情况确定几个遗留的关键问题，组织人力进行攻关。

在理论方面取得重大突破，形成新的研究方向。

在应用方面争取有基于本项目研究成果的新技术问世，核心模块在若干重要问题上取得成功应用。

研究光刻机的纳米精度制造系统的安装优化问题。

进行纳米精度的同步运动控制的测量系统设计和实验。

完成本项目总体目标:

在数学机械化理论与算法方面做出原创性重大成果；以此为基础解决数字化设计制造、数控系统中的若干核心问题，发展新技术，开发数字计划设计制造与数控系统两个核心模块，并进行验证与应用示范。

发表60篇左右高水平论文，申请5项专利。

一、研究内容

本项目通过发展数学机械化新的理论与高效算法，以及与数字化设计制造、数控系统的交叉融合，为数字化设计制造与数控系统中若干关键理论与算法问题的发展提供支撑，并开发数字化设计制造与数控系统核心模块。

项目主要研究内容如下。

1、数学机械化理论与高效算法

主要研究新的方程类型的符号求解理论与算法、基于符号与数值混合计算的误差可控算法、基于高级不变量的几何计算与自动推理算法。

分别介绍如下。

新的方程类型求解理论与高效符号算法。

方程求解的吴特征列方法是数学机械化理论的核心内容，也是借助计算机的有限资源对抽象的数学对象进行计算与自动推理的重要工具。

代数与微分情形的方程求解方法已经比较成熟。

我们将针对既有理论意义又在信息领域有重要应用的微分差分方程、半代数系统、有限域等新的方程类型，形成完整的方程求解理论，发展高效算法。

具体内容包括：

微分差分方程符号求解理论与高效算法：

数控机床的动力学和运动学描述需要微分方程组，在具体计算中，我们需要对微分方程组离散化，这样就导致了差分或微分差分混合型方程组的出现。

因此，求解微分差分方程组的算法和软件对数控系统的研究有潜在的应用价值。

我们将研究微分差分方程组整序的高效算法、混合算法、复杂度估计、偏差分情形的整序理论与不可缩分解的Ritt问题，研究微分差分方程组解空间的阶数的计算与估计，包括偏微分差分方程的阶向量、微分维数猜想、Jacobi界，研究微分差分方程组的Chow形式、微分结式；研究无限维与非线性微分差分方程的Galois理论以及微分差分方程的形式解的求解算法；研究微分差分混合型方程组的分解。

面向高档数控仿真系统的可信模型的设计优化研究：

数控系统仿真技术本质上是基于对描述动力学和运动学的微分方程组的有效求解。

应用微分差分方程于复杂工程模型的最大障碍之一就是繁琐的不规则区域的处理问题。

采用模型化简技术有望解决此问题。

我们拟设计保持动力学仿真精度的可信模型化简方法，以指导高档数控系统的算法设计。

研究面向动力学仿真的模型化简误差的表示与计算。

基于模型化简前后动力学方程组边值条件的变化，分析并定量描述这种变化对目标物理量的影响；据此，推导可计算的误差表达，给出严格上下界控制并设计有效计算方法；进一步，研究在不同物理边值条件、特征几何变换下误差计算的有效性及鲁棒性。

研究面向微分差分法对求解区域的特殊要求，设计多尺度模型生成算法，增强其处理复杂工程模型能力。

有限域理论、算法及应用：

有限域理论与计算是符号计算的重要研究内容。

我们将研究有限域上多变量代数方程求解与函数分解的高效算法及其复杂度分析，研究特征列方法、Groebner基方法在有限域这种特殊情形的特点与变形；研究有限域上方程求解的新型算法，包括近似算法、随机算法、量子算法；针对代数攻击的特点，研究多变量密码算法和一些特定分组密码算法、流密码算法的代数攻击方法；研究多变量公钥密码及其核心的多项式同构问题的分类与计数问题，从整体上研究多变量公钥密码学的规模与发展潜力；研究有限域上方程求解的并行算法及其GPU实现。

构造性代数几何若干核心问题：

代数几何是研究方程求解理论的核心数学分支，构造性代数几何理论的发展将有助于方程求解的机械化。

将研究计算齐性空间的整系数上同调环的系统方案和理论并将结果应用于示性类理论、计数几何学，实现代数flag流形中结构常数的机器计算，研究由半稳定曲线簇确定的Higgs丛之不稳定性的精确上界，并以此为基础研究特征非零情形代数曲面的纤维化。

基于符号数值混合计算的误差可控算法。

将针对代数基本运算、方程求解、全局优化等重要问题，设计和实现高效、稳定、可靠的符号和数值混合计算算法及软件，并将其用于各种理论与实际问题。

具体内容包括：

矩阵与多项式基本运算的误差可控算法:

研究高精度矩阵向量基本运算、大规模矩阵特征问题、奇异值分解问题的有效可靠数值求解，大规模线性方程组的有效稀疏近似逆预处理技术，病态稀疏矩阵的高效、高精度预处理技术。

研究基于结构矩阵的多项式基本运算的误差可控算法，利用Sylvester矩阵、Ruppert矩阵、Vandermonde矩阵等结构矩阵的特殊结构，设计基于结构矩阵最小二乘法、快速正交分解、奇异值分解等符号数值混合算法，以便更快、更精确地处理近似多项式问题，从而解决更大范围的实际问题。

方程求解的误差可控算法：

方程求解的特征列方法中的误差控制，利用系数矩阵的结构，结合符号延拓和数值消元有效地控制计算过程误差的累积;研究奇异多项式方程组的精度可控求解,利用符号延拓和数值消元法计算重根的指标、重数和微分条件，提高近似重根的精度;我们希望将SMALE的ą-理论推广到有重根的多项式系统求解，得到在近似重根处继续保持二次收敛性的牛顿迭代方法。

研究计算多项式系统Groebner基的F4/F5算法、参数多项式系统的Groebner基算法。

半代数系统求解及全局最优问题:

研究多项式方程的实根求解与全局最优问题的可验证算法，将实多项式平方和方法、符号延拓和数值消元法相结合，求解多项式方程组的全部实解,包括流形解与近似流形解。

运用有理多项式平方和方法，准确验证多项式全局最优问题的下确界，精确地计算多项式全局最优问题的全局最优解。

研究如何将广义临界值和多项式平方和理论结合，给出新的求解多项式全局最优值的方法。

研究代数数的高效准确表示及其运算，包括通过代数数的近似值计算出准确代数数的极小多项式问题，高效率的代数数的准确运算，从而提高无误差计算的速度。

混合计算在数字化设计制造中的应用：

研究代数曲面的拓扑确定与曲面相交的可信算法，研究如何在给定精度下，给出曲面的逼近曲面，保证逼近结果是可信的，在误差可控的情况下，提高可逼近代数曲面的全次数。

研究混合计算在几何构型中的应用，以距离几何为基础，研究高效的自动产生几何约束方程组，同时采用混合计算方法，研究高效求解几何约束方程的算法，最终研发出求解几何约束方程组自动化算法程序；研究带参数的半代数系统的求解问题，将混合计算方法引进到我们已有的Discovery软件包中提高其半代数系统的求解效率，并利用Discovery求解带参数的几何约束问题。

基于几何不变量的高效几何计算与自动推理。

数控加工中的轨道运动控制离不开几何计算。

符号几何计算经常遇到所谓“中间过程爆炸”问题，需要处理非常大的数据，降低了处理速度。

我们的工作表明，用高级不变量可以简化很多符号与几何计算问题。

研究三维欧氏几何和射影几何的高级不变量。

在基于二维欧氏几