两直线的位置关系考点与题型归纳.docx
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两直线的位置关系考点与题型归纳
两直线的位置关系考点与题型归纳
、基础知识
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
1对于两条不重合的直线丨1,12,若其斜率分别为ki,k2,则有11//12?
ki=k2.
2当直线11,12不重合且斜率都不存在时,11/12.
(2)两条直线垂直
1如果两条直线11,|2的斜率存在,
设为k1,k2,则有l1丄I2?
k1k2=—1.
2当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,11丄I2.
2.两条直线的交点的求法
直线11:
A1X+B1y+C1=0,I2:
A2X+B2y+C2=0,贝UI1与l2的交点坐标就是方程组
的解.
A1X+B1y+C1=0,
A2X+B2y+C2=0
3.二种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点
p1(X1,y1),P2(X2,y2)间的距离公式为
|P1P2=.
X2—X12+y2—y12
(2)点到直线的距离公式
占
八、、
P0(X0,y0)到直线I:
Ax+By+C=0的距离d=
|Ax0+By0+C|
.A2+B2
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0
间的距离d=唇.
、常用结论
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2^0)垂直或平行的直线方程可设为:
①垂直:
Bx—Ay+m=0;
②平行:
Ax+By+n=0.
(2)与对称问题相关的四个结论:
1点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a—x,2b-y).
2点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a—x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b—y).
3点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=—x的对称点为(一y,—x).
4点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k—y,k—x),关于直线x—y=k的对称点为(k+y,x—k).
考点一两条直线的位置关系
[典例]已知两直线I仁mx+8y+n=0和12:
2x+my—1=0,试确定m,n的值,使
(1)li与l2相交于点P(m,—1);
(2)li//l2;
(3)|1丄|2,且li在y轴上的截距为一1.
m2—8+n=0,
[解]
(1)由题意得
2m—m—1=0,
m=1,
解得
n=7.
即m=1,n=7时,l1与l2相交于点P(m,—1).
m2—16=0,
(2)•••|1//l2,.・.
—m—2nM0,
m=4,m=—4,
解得或
n工一2n^2.
即m=4,n^—2或m=—4,n^2时,I1//I2.
(3)当且仅当2m+8m=0,
即m=0时,11丄12.
n
又一8=—1,■•n=8.
即m=0,n=8时,11丄12,且l1在y轴上的截距为一1.
[解题技法]
1..由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
I1:
A1X+B1y+C1=0(A2+0)
12:
A2X+B2y+C2=0(A2+b2m0)
I1与I2垂直的充要条件
A1A2+B1B2=0
I1与I2平行的充分条件
A1B1C1
A2=B2*C2(A2b2c2*0)
I1与I2相交的充分条件
A1B1
ATb2(A2b2工0)
I1与I2重合的充分条件
A1B1C1
A2=瓦=&(辭6工0)
[题组训练]
1.已知直线4x+my—6=0与直线5x—2y+n=0垂直,垂足为(t,1),贝Un的值为()
A.7B.9
C.11D.—7
解析:
选A由直线4x+my—6=0与直线5x—2y+n=0垂直得,20—2m=0,m=10.直线4x+10y—6=0过点(t,1),所以4t+10—6=0,t=—1•点(—1,1)又在直线5x—2y+n=0上,所以一5—2+n=0,n=7.
2.(2019保定五校联考)直线11:
mx—2y+1=0,12:
x—(m—1)y—1=0,则"m=2”是“A//I2”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
选C由11/2得一m(m—1)=1x(—2),得m=2或m=—1,经验证,当m=—
1时,直线I1与I2重合,舍去,所以“m=2”是“I1//I2”的充要条件,故选C.
考点二距离问题
[典例]
(1)过点P(2,1)且与原点0距离最远的直线方程为()
A.2x+y—5=0B.2x-y—3=0
C.x+2y—4=0D.x—2y=0
(2)若两平行直线11:
x—2y+m=0(m>0)与12:
2x+ny—6=0之间的距离是,5,则m
+n=()
A.0B.1
C.—2D.—1
[解析]
(1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线为过点P(2,1)且与OP垂直的直线,
1—01
因为直线OP的斜率为不=2,所以所求直线的斜率为-2,故所求直线方程为2x+y-5=0.
(2)因为|1,|2平行,所以1Xn=2X(—2),1X(—6)丰2xm,解得n=—4,m^—3,所
以直线l2:
x—2y—3=0•又11,12之间的距离是一5,所以=.5,解得m=2或m=—
屮1+4
8(舍去),所以m+n=—2,故选C.
[答案]
(1)A
(2)C
[解题技法]
1.点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.
2.两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)利用两平行线间的距离公式.
[题组训练]
1.
m)到直线2x—y+3=0的距离不小于25,则实数m的取值范围是
已知点P(2,
点P到直线的距离为..
\22+12
|2x2—m+3|—
解析:
由题意得,
>2,5,即|m—7|>10,解得m》17
或mW—3,所以实数m的取值范围是(一R,—3]U[17,+).
答案:
(一a,—3]U[17,+^)
2.如果直线li:
ax+(1—b)y+5=0和直线12:
(1+a)x—y—b=0都平行于直线13:
x—
2y+3=0,贝Uli,l2之间的距离为.
1
解析:
因为l1//|3,所以一2a—(1—b)=0,同理一2(1+a)+1=0,解得a=—㊁,b=0,
|—10—0|厂
因此11:
x—2y—10=0,I2:
x—2y=0,d==25.
寸12+—22
答案:
25
考点三对称问题
[典例]已知直线1:
2x—3y+1=0,点A(—1,—2).
(1)求点A关于直线l的对称点A'的坐标;
⑵求直线m:
3x—2y—6=0关于直线I的对称直线m'的方程.
[解]
(1)设A'(x,y),再由已知得
心x2
x+13
33
13
解得
x—1y—2
2X-2~—3X-2~+1=0,
4
334_
13’13.
⑵在直线m上取一点,如M(2,0),贝UM(2,0)关于直线l的对称点M'必在m'上.设
a+2b+0
2x2—3X2+1=0,
对称点为M'(a,b),则
b—0
a—2
630
解得M'后,13.设m与I的交
2x—3y+1=0,
点为N,则由得N(4,3).又因为m‘经过点N(4,3),所以由两点式得直线
3x—2y—6=0,
m'方程为9x—46y+102=0.
[变透练清]
1.变结论在本例条件下,则直线I关于点A(—1,—2)对称的直线I'的方程为
解析:
法一:
在1:
2x—3y+1=0上任取两点,
如M(1,1),N(4,3),
贝UM,N关于点A的对称点M',N'均在直线I'上.
易知M'(—3,—5),N'(-6,-7),
由两点式可得I'的方程为2x—3y—9=0.
法二:
设P(x,y)为I'上任意一点,
则P(x,y)关于点A(—1,—2)的对称点为
P'(—2—x,—4—y),
'•P'在直线I上,2(—2—x)—3(—4—y)+1=0,
即2x—3y—9=0.
答案:
2x—3y—9=0
2.(2019•肥四校联考)已知入射光线经过点M(—3,4),被直线I:
x—y+3=0反射,反
射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.
解析:
设点M(—3,4)关于直线I:
x—y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在
直线过点M',所以
—1
a——3
解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),
b+4
y—0x—1
所以所求直线的方程为二=匚,即6x-y-6=0.
答案:
6x—y—6=0
[解题技法]
1.中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称
x=2a—X1,
若点M(X1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求
y=2b—y1
解.
(2)直线关于点对称
1
再由
在已知直线上取两点,禾U用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,两点式求出直线方程;
2求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程;
3轨迹法,设对称直线上任一点M(x,y),其关于已知点的对称点在已知直线上.
2.轴对称问题的两个类型及求解方法
xi+X2yi+y2
AX—+BX—+C=
由方程组
y2—yiA
X—B=—i,
X2—xiB
⑴点关于直线的对称若两点Pi(xi,yi)与P2(x2,y2)关于直线I:
Ax+By+C=0对称,
0,
可得到点Pi关于|对称的点P2的坐标(X2,
y2)(其中BM0,xiMX2).
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:
一是已知直线与对称轴相交;二是
已知直线与对称轴平行.
[课时跟踪检测]
i.过点(i,0)且与直线x—2y—2=0垂直的直线方程是()
A.x—2y—i=0B.x—2y+i=0
C.2x+y—2=0D.x+2y—i=0
i
解析:
选C因为直线x—2y—2=0的斜率为$,
所以所求直线的斜率k=—2.
所以所求直线的方程为y—0=—2(x—i),
即2x+y—2=0.
2.已知直线li:
2ax+(a+i)y+i=0和I2:
(a+i)x+(a—i)y=0,若li丄l2,贝Ua=()
ii
A.2或B.?
或—i
i
C.iD.—i
解析:
选B因为直线li丄12,所以2a(a+i)+(a+i)(a—i)=0,解得a=f或一i.
3.若点P在直线3x+y—5=0上,且P到直线x—y—1=0的距离为.2,则点P的坐标为(
(1,2)
C.
(1,2)或(2,-1)
D.(2,1)或(—1,2)
B.(2,1)
X—5+3x—1|
解析:
选C设P(x,5—3x),贝Vd=,化简得|4x—6|=2,即4x—6=
斗12+—12
±2解得x=1或x=2,故P(1,2)或(2,—1).
4.(2018揭阳一模)若直线11:
x—3y+2=0与直线12:
mx—y+b=0关于x轴对称,则
m+b=()
1
A.§
C.-3
解析:
选B直线1仁x—3y+2=0关于x轴对称的直线为x+3y+2=0.由题意知m^0.
yb
因为mx—y+b=0,即x—m+m=0,且直线11与l2关于x轴对称,
1
—m=3,
所以有-
b
=2
m,
1
m=—3,解得2
b=—2,
5.
1
m+b=—3+
点A(1,3)关于直线
=—1.
y=kx+b对称的点是B(—2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距
b.5
6
C.—6
解析:
选D
由题意,
3—1
k=—1,
知1+2
解得
5
b=4.
•••直线方程为
355
y=-2x+4,它在x轴上的截距为—4X
3=5•故选D.
36
6.(2019成都五校联考)已知A,B是x轴上的两点,
点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,
若直线PA的方程为x—y+1=0,则直线PB的方程是(
C.2y—x—4=0D.2x—y—1=0
解析:
选B由|FA|=|PB|得点P一定在线段AB的垂直平分线上,根据直线FA的方程
为x—y+1=0,可得A(—1,0),将x=2代入直线x—y+1=0,得y=3,所以P(2,3),所
以B(5,0),所以直线PB的方程是x+y—5=0,选B.
7.若动点A,B分别在直线11:
x+y—7=0和12:
x+y—5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()
A.32B.22
C.33D.4,2
解析:
选A依题意知AB的中点M的集合为与直线I仁x+y—7=0和12:
x+y—5=0
距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线
|m+7||m+5|
的方程为I:
x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得——2—=——2—?
lm+7|=|m+5?
m=
|—6|厂
—6,即I:
x+y—6=0•根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为可扌=W2.
&已知点A(1,3),B(5,—2),在x轴上有一点P,若|AP|—|BP最大,贝UP点坐标为
()
A.(3.4,0)B.(13,0)
C.(5,0)D.(—13,0)
解析:
选B作出A点关于x轴的对称点A'(1,—3),贝UA'B所在直线方程为x—4y
—13=0•令y=0得x=13,所以点P的坐标为(13,0).
9.经过两直线I仁x—2y+4=0和l2:
x+y—2=0的交点P,且与直线l3:
3x—4y+5=0垂直的直线I的方程为.
x—2y+4=0,
解析:
由方程组得x=0,y=2,即P(0,2).因为I丄|3,所以直线I的
x+y—2=0
44
斜率k=—3,所以直线I的方程为y—2=—§x,即4x+3y—6=0.
答案:
4x+3y—6=0
10.已知点P1(2,3),P2(—4,5)和A(—1,2),则过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程为.
解析:
当直线与点Pl,P2的连线所在的直线平行时,由直线P1P2的斜率k==—
2+4
11
3,得所求直线的方程为y—2=—3(x+1),即x+3y—5=0•当直线过线段P1P2的中点时,因为线段P1P2的中点坐标为(—1,4),所以直线方程为x=—1•综上所述,所求直线方程为x+3y—5=0或x=—1.
答案:
x+3y—5=0或x=—1
11.直线x—2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是.
解析:
由题意得直线x—2y+1=0与直线x=1的交点坐标为(1,1).又直线x—2y+1=
y一0x一3
0上的点(—1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式,得=,
1—01—3
即x+2y—3=0.
答案:
x+2y—3=0
12.过点P(0,1)作直线I使它被直线11:
2x+y—8=0和12:
x—3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线I的方程为.
解析:
设I1与I的交点为A(a,8—2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(—a,2a—6)在b上,把B点坐标代入I2的方程得—a—3(2a—6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线I上,
所以由两点式得直线I的方程为x+4y—4=0.
答案:
x+4y—4=0
13.已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(—1,3),C(3,4).
(1)求BC边的高所在直线I1的方程;
⑵若直线I2过C点,且A,B到直线I2的距离相等,求直线I2的方程.
4—311
解:
(1)因为kBc==—,又直线11与BC垂直,所以直线I1的斜率k=—~=—4,
3+14kBC
所以直线I1的方程是y=—4(x—1)+1,即4x+y—5=0.
⑵因为直线I2过C点且A,B到直线I2的距离相等,
所以直线12与AB平行或过AB的中点M,
所以直线
12的方程是y=—(x—3)+4,即卩x+y—7=0.
因为AB的中点M的坐标为(0,2),
4—22
所以kCM==3,所以直线12的方程是
3—03
2
y=^(x—3)+4,即卩2x—3y+6=0.
综上,直线12的方程是x+y—7=0或2x—3y+6=0.
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