特殊四边形的证明与计算.docx
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特殊四边形的证明与计算
特殊四边形的证明与计算
1.如图,△ABC是等边三角形,点E在线段AC上,连接BE,以BE为边作等边三角形BEF,将线段CE绕点C顺时针旋转60°,得到线段CD,连接AF、AD、ED.
(1)求证:
△BCE≌△ACD;
(2)求证:
四边形ADEF是平行四边形.
第1题图
证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠BCE=60°,
由题意得CE=CD,∠ECD=60°.
在△BCE和△ACD中,
,
∴△BCE≌△ACD(SAS);
(2)∵△BCE≌△ACD,
∴AD=BE,∠DAE=∠CBE,
∵△BEF是等边三角形,
∴BE=EF=BF,∠EBF=60°,
∴AD=EF,
∵△ABC与△BEF均是等边三角形,
∴∠BCE=∠BEF=60°,
∵∠BCE+∠CBE=∠BEF+∠AEF,
∴∠CBE=∠AEF,
∴∠DAE=∠AEF,∴AD∥EF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
2.如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.
(1)求证:
四边形BDEF是平行四边形;
(2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系?
证明你所得到的结论.
第2题图
(1)证明:
如解图,延长CE交AB于点G,
第2题解图
∵AE⊥CE,
∴∠AEG=∠AEC=90°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠GAE=∠CAE,
在△AGE和△ACE中,
,
∴△AGE≌△ACE(ASA),
∴GE=EC.
∵点D是边BC的中点,
∴BD=CD,DE为△CGB的中位线,
∴DE∥BF.
又∵EF∥BC,
∴四边形BDEF是平行四边形;
(2)解:
BF=
(AB-AC).
理由如下:
由
(1)可知,△AGE≌△ACE,四边形BDEF是平行四边形,
∴AG=AC,BF=DE=
BG,
∴BF=
BG=
(AB-AG)=
(AB-AC).
3.如图,已知边长为2
的正方形ABCD中,点E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交线段BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:
矩形DEFG是正方形;
(2)设AE=x,四边形DEFG的面积为S,当x为何值时,S的值最小,求出最小值.
第3题图
(1)证明:
如解图①,过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,
第3题解图①
∴∠MEN=90°,
∴∠MEF+∠FEN=90°,
∵点E是正方形ABCD对角线上的点,
∴EM=EN,
∵∠DEF=90°,
∴∠DEN+∠FEN=90°,
∴∠DEN=∠MEF,
在△DEN和△FEM中,
,
∴△DEN≌△FEM(ASA),
∴DE=EF,
∵四边形DEFG是矩形,
∴矩形DEFG是正方形;
(2)解:
∵在正方形ABCD中,AB=2
,
∴AC=4,∠DAE=45°,
如解图②,过点E作EH⊥AD于点H,
第3题解图②
∵AE=x(0 ∴AH=EH= x, 在Rt△DHE中, DH=AD-AH=2 - x,EH= x, 根据勾股定理得, DE2=DH2+EH2=(2 - x)2+( x)2=x2-4x+8, ∵四边形DEFG为正方形, ∴S=DE2=x2-4x+8=(x-2)2+4, ∴当x=2时,S有最小值,即为4. 4.如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC,连接AD、AF、DF、EF.延长DB交EF于点N. (1)求证: AD=AF; (2)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由. 第4题图 (1)证明: ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠ABF=180°-∠ABC=135°, ∵∠BCD=90°, ∴∠ACD=90°+∠ACB=135°, ∴∠ABF=∠ACD, ∵CB=CD,CB=BF, ∴BF=CD, 在△ABF和△ACD中, , ∴△ABF≌△ACD(SAS), ∴AD=AF; (2)解: 四边形ABNE是正方形. 理由如下: ∵CD=CB,∠BCD=90°, ∴∠CBD=45°, ∵∠ABC=45°, ∴∠ABD=90°, ∴∠ABN=90°, 由 (1)知△ABF≌△ACD, ∴∠FAB=∠CAD, ∴∠FAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°, ∵∠EAF+∠FAB=90°, ∴∠EAF=∠BAD, ∵AB=AC=AE,AF=AD, ∴△AEF≌△ABD(SAS). ∴∠AEF=∠ABD=90°, ∵∠EAB=90°, ∴四边形ABNE是矩形, 又∵AE=AB, ∴四边形ABNE是正方形. 5.如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上的一点. (1)若ED⊥EF,求证: ED=EF; (2)在 (1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判断四边形ACPE是否为平行四边形? 并证明你的结论.(请先补全图形,再解答) 第5题图 (1)证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC. ∴AC=BC,AC⊥BC, 如解图,连接CE, 第5题解图 ∵E为AB的中点, ∴AE=EC,CE⊥AB, ∴∠ACE=∠CAE=45°, ∴∠DAE=∠ECF=135°, 又∵∠AED+∠CED=∠CEF+∠CED=90°, ∴∠AED=∠CEF, ∴△AED≌△CEF(ASA), ∴ED=EF; (2)解: 补全图形如解图, 四边形ACPE是平行四边形; 证明: ∵由 (1)得△AED≌△CEF, ∴AD=CF, ∴AC=CF, 又∵CP∥AE, ∴CP为△FAB的中位线, ∴CP= AB=AE, ∵CP∥AE, ∴四边形ACPE是平行四边形. 6.如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE,再把△ABC沿射线AB平移至△FEG,DE、FG相交于点H. (1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由; (2)连接CG,求证: 四边形CBEG是正方形. 第6题图 (1)解: FG⊥DE.理由如下: ∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE, ∴∠DEB=∠ACB, ∵把△ABC沿射线AB平移至△FEG, ∴∠GFE=∠A, ∵∠ABC=90°, ∴∠A+∠ACB=90°, ∴∠GFE+∠DEB=90°, ∴∠FHE=90°, ∴FG⊥DE; (2)证明: 根据旋转和平移可得∠GEF=90°,∠CBE=90°,CG∥EB,CB=BE, ∵CG∥EB, ∴∠BCG+∠CBE=180°, ∴∠BCG=90°, ∴四边形BCGE是矩形, ∵CB=BE, ∴四边形CBEG是正方形. 7.如图①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置,使B′为BD中点,连接AB′,C′D,AD′,BC′.如图②. (1)求证: 四边形AB′C′D是菱形; (2)四边形ABC′D′的周长为________. 第7题图 (1)证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,AD=BC. 由平移性质可知AD∥B′C′,AD=B′C′, ∴四边形AB′C′D为平行四边形, ∵∠DAB=90°,∠ABD=30°, ∴AD= BD. ∵B′为BD中点, ∴AB′= BD, ∴AD=AB′, ∴四边形AB′C′D是菱形; (2)解: 4 . 【解法提示】如解图,连接AC′交B′D于点O, 第7题解图 ∵四边形AB′C′D是菱形, ∴AC′⊥BD′,OA=OC′,OD=OB′, 又∵BD=B′D′, ∴BB′=DD′, ∴OB=OD′, ∴四边形ABC′D′是菱形, ∴tan∠ABD=tan30°= = = ,得AB= , ∴四边形ABC′D′的周长是4 . 8.边长为2 的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合).连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连接QP,QP与BC交于点E,QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F. (1)连接CQ,证明: CQ=AP; (2)设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式,并求当x为何值时,CE= BC; (3)猜想PF与EQ的数量关系,并证明你的结论. 第8题图 (1)证明: 由题意知BP=BQ,∠PBQ=90°, 在正方形ABCD中,AB=CB,∠ABC=90°, ∴∠ABC=∠PBQ, ∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,即∠ABP=∠CBQ, 在△ABP和△CBQ中, , ∴△ABP≌△CBQ(SAS), ∴CQ=AP; (2)解: 在正方形ABCD中,AC为对角线, ∴∠BAP=∠PCE=45°, 由旋转可知△PBQ为等腰直角三角形, ∴∠BPQ=∠PQB=45°, 在△ABP中,∠BPC=∠BAP+∠ABP=45°+∠ABP, 又∵∠BPC=∠BPQ+∠CPE=45°+∠CPE, ∴∠ABP=∠CPE, 又∵∠BAP=∠PCE, ∴△BAP∽△PCE, ∴ = , 在等腰直角△ABC中,AB=2 , ∴AC=4, 又∵AP=x,CE=y,∴CP=4-x, ∴ = ,即y=- x2+ x,(0 当CE= BC时,即CE=y= ×2 = , ∴ =- x2+ x, 解得x1=1,x2=3, ∴y=- x2+ x(0 BC; (3)解: 猜想: PF=EQ. 证明: ①当点F在线段AD上时,如解图①,在CE上取一点H,使HQ=EQ,则∠QEH=∠QHE, 第8题解图① 在正方形ABCD中,∵AD∥BC, ∴∠DFE=∠QEH, ∴∠DFE=∠QHE, ∴∠AFP=∠CHQ, 由 (1)知△ABP≌△CBQ,AP=CQ,∠BAP=∠BCQ=45°, ∴∠FAP=∠BAP=∠BCQ=45°, 在△AFP和△CHQ中, , ∴△AFP≌△CHQ(AAS), ∴PF=HQ, 又∵HQ=EQ, ∴PF=EQ; ②当点F在线段AD延长线上时,如解图②,在BE上取一点H,使HQ=EQ, 第8题解图② 同理可证△AFP≌△CHQ(AAS),得FP=HQ=EQ. 9.如图,在△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C. (1)求证: 四边形ABCD是正方形; (2)连接BD分别交AE、AF于点M、N,将△ABM绕点A逆时针旋转,使AB与AD重合,得到△ADH,试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系,并说明理由. 第9题图 (1)证明: ∵△AEB由△AEG翻折得到, ∴∠ABE=∠AGE=90°,∠BAE=∠EAG,AB=AG, ∵△AFD由△AFG翻折得到, ∴∠ADF=∠AGF=90°,∠DAF=∠FAG,AD=AG, ∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是矩形, 又∵AB=AG=AD, ∴四边形ABCD是正方形; (2)解: MN2=ND2+DH2, 理由: 如解图,连接NH, 第9
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