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题型五实际应用题
题型五 实际应用题
类型一 一次方程与不等式的实际应用
针对演练
1.(2015北海8分)某市居民用电的电价实行阶梯收费,收费标准如下表:
一户居民每月用电
量x(单位:
度)
电费价格(单位:
元/度)
0 a 200 b x>400 0.92 (1)已知李叔家四月份用电286度,缴纳电费178.76元;五月份用电316度,缴纳电费198.56元,请你根据以上数据,求出表格中a,b的值; (2)六月份是用电高峰期,李叔计划六月份电费支出不超过300元,那么李叔家六月份最多可用电多少度? 2.某机械厂甲、乙两个生产车间承担生产同一种零件的任务.甲、乙两车间共有50人,甲车间平均每人每天生产零件30个,乙车间平均每人每天生产零件20个,甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和为1300个. (1)求甲、乙两车间各有多少人? (2)该机械厂改进了生产技术,在甲、乙两车间总人数不变的情况下,从甲车间调出一部分人到乙车间,调整后甲车间平均每人每天生产零件35个,乙车间平均每人每天生产零件25个,若甲车间每天生产零件总数与乙车间每天生产零件总数之和不少于1480个,求从甲车间最多调出多少人到乙车间? 3.(2015郑州模拟)我市正大力倡导“垃圾分类”,2015年第一季度某企业按A类垃圾处理费25元/吨,B类垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付垃圾处理费520元.从2015年4月起,收费标准上调为: A类垃圾处理费100元/吨,B类垃圾处理费30元/吨.若该企业2015年第二季度需要处理的A类、B类垃圾的数量与第一季度相同,就要多支付垃圾处理费880元. (1)该企业第一季度处理的两类垃圾各多少吨? (2)该企业计划第二季度将上述两种垃圾处理总量减少到24吨,且B类垃圾处理量不超过A类垃圾处理量的3倍,该企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元? 4.某校科技夏令营的学生在3位老师的带领下,准备赴北京大学参观并体验大学生活.现有两家旅行社前来洽谈,报价均为每人2000元,且各有优惠,希望旅行社表示: 带队老师免费,学生按8折收费;青春旅行社表示师生一律按7折收费,经核算发现,参加两家旅行社的实际费用正好相等. (1)该校参加科技夏令营的学生共有多少人? (2)如果又增加了部分学生,学校应选择哪家旅行社? 为什么? 5.某中学九年级去该镇牡丹基地参加社会实践活动,该基地有桃树和牡丹两种经济作物.已知该基地有甲、乙两家种植户,种植面积与销售总收入如下表.(假设不同种植户种植的同种作物每亩平均收入相等) 种植户 桃树种植 面积(亩) 牡丹种植 面积(亩) 销售总 收入(元) 甲 5 3 33500 乙 3 7 43500 (1)试求桃树、牡丹每亩的平均销售收入各是多少? (2)甲、乙两家种植户计划合租30亩地用来种植桃树和牡丹,根据市场调查,要求桃树的种植面积大于牡丹的种植面积(两种作物的种植面积均为整数亩),基地对种植桃树给予补贴,种植桃树的面积不超过15亩的部分,每亩补贴100元;超过15亩但不超过20亩的部分,每亩补贴200元;超过20亩的部分每亩补贴300元.为了使总收入不低于127500元,则他们有几种种植方案? 6.某公司为了更好的节约能源,决定购买10台节约能源的新机器.现有甲、乙两种型号的设备,其中每台的价格、工作量如下表.经调查: 购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元. (1)求a,b的值; (2)经预算: 该公司购买的节能设备的资金不超过110万元,请列式解答有几种购买方案可供选择; (3)在 (2)的条件下,若每月要求产量不低于2040吨,为了节约资金,请你为该公司设计一种最省钱的购买方案. 甲型 乙型 价格(万元/台) a b 产量(吨/月) 240 180 【答案】 针对演练 1.解: (1)根据题意得: ,(2分) 解得: .(4分) (2)设李叔家六月份最多可用电x度, 根据题意得: 200×0.61+200×0.66+0.92(x-400)≤300, 解得: x≤450.(7分) 答: 李叔家六月份最多可用电450度.(8分) 2.解: (1)设甲车间有x人,乙车间有y人, 由题意得: , 解得: . 答: 甲车间有30人,乙车间有20人. (2)设从甲车间调出a人到乙车间,则甲车间有(30-a)人,乙车间有(20+a)人, 由题意得: 35(30-a)+25(20+a)≥1480. 解得: a≤7. 答: 从甲车间最多调出7人到乙车间. 3.解: (1)该企业第一季度处理的A类垃圾x吨,B类垃圾y吨,由题意得: , 解得: . 答: 该企业第一季度处理的A类垃圾8吨,B类垃圾20吨. (2)设该企业2015年处理的A类垃圾a吨, 由题意得: 24-a≤3a, 解得: a≥6, 则总费用为: 100a+30(24-a)=720+70a, 当a为6时,有最小值1140元. 答: 企业第二季度最少需要支付这两种垃圾处理费共1140元. 4.解: (1)设该校参加科技夏令营的学生共有x人,由题意得: 2000x×80%=2000(x+3)×70%, 解得: x=21. 答: 该校参加科技夏令营的学生共有21人. (2)设学生总数为a人,由题意得: 如果选择希望旅行社合算,则2000a×80%<2000(a+3)×70%, 解得: a<21, 如果选择青春旅行社合算,则2000a×80%>2000(a+3)×70%, 解得: a>21, 所以如果又增加了部分学生,学校应选择青春旅行社. 5.解: (1)设桃树每亩平均收入为x元,牡丹每亩平均收入为y元, 依题意得: , 解得: . 答: 桃树每亩的平均收入为4000元,牡丹每亩的平均收入是4500元. (2)设种植桃树m亩,则种植牡丹为(30-m)亩, 依题意得: m>30-m, 解得: m>15, 当15<m≤20时,总收入w=4000m+4500(30-m)+15×100+(m-15)×200≥127500, 解得: 15<m≤20, 当m>20时,总收入w=4000m+4500(30-m)+15×100+5×200+(m-20)×300≥127500, 解得: m≤20(不合题意), 综上所述,种植方案如下: 种植类型 种植面积(亩) 方案一 方案二 方案三 方案四 方案五 桃树 16 17 18 19 20 牡丹 14 13 12 11 10 6.解: (1)由题意得: ,解得 . (2)设购买甲型设备x台,则乙型设备(10-x)台, 根据题意得: 12x+10(10-x)≤110, ∴x≤5, ∵x取非负整数,∴x=0,1,2,3,4,5, 答: 有6种购买方案. (3)由题意: 240x+180(10-x)≥2040, ∴x≥4,∴x为4或5. 当x=4时,购买资金为: 12×4+10×6=108(万元), 当x=5时,购买资金为: 12×5+10×5=110(万元), ∵108<110, ∴最省钱的购买方案为: 选购甲型设备4台,乙型设备6台. 题型五 实际应用题 类型二 一次函数的实际应用 针对演练 1.(2015吉林7分)一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始4min内只进水不出水,在随后的8min内既进水又出水,每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位: L)与时间x(单位: min)之间的关系如图所示. (1)当4≤x≤12时,求y关于x的函数解析式; (2)直接写出每分进水,出水各多少升. 第1题图 2.(2015常州8分)已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示.小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆,付费9元;中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院,付费12.6元.若该市出租车的收费标准是: 不超过3公里计费为m元,3公里后按n元/公里计费. 第2题图 (1)求m,n的值,并直接写出车费y(元)与路程x(公里)(x>3)之间的函数关系式; (2)如果小张这天外出的消费还包括: 中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元.问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学? 为什么? 3.为了学生的身体健康,学校的课桌、凳的高度是按一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行研究,发现它们可以根据人的身高调节高度,于是,他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度,得到如下数据: 第一档 第二档 第三档 第四档 凳高x(cm) 37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm) 70.0 74.8 78.0 82.8 (1)小明经过对数据研究,发现桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式;(不要求写出x的取值范围) (2)小明回家后,测量了家里自己写字台和凳子,测得写字台高度为77cm,凳子的高度为43.5cm,请你判断它们是否配套? 说明理由. 4.(2015绍兴8分)小敏上午8: 00从家里出发,骑车去一家超市购物,然后从这家超市返回家中,小敏离家的路程y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数图象如图所示.请根据图象回答下列问题: (1)小敏去超市途中的速度是多少? 在超市逗留了多少时间? (2)小敏几点几分返回到家? 第4题图 5.(2015新疆建设兵团9分)某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件,已知两种T恤的进价如下表所示,设购进A种T恤x件,且所购进的两种T恤能全部卖出,获得的总利润为W元. 品牌 进价/(元/件) 售价/(元/件) A 50 80 B 40 65 (1)求W关于x的函数关系式. (2)如果购进两种T恤的总费用不超过9500元,那么超市如何进货才能获得最大利润? 并求出最大利润.(提示: 利润=售价-进价) 6.(2015临沂9分)新农村社区改造中,有一部分楼盘要对外销售.某楼盘共23层,销售价格如下: 第八层楼房售价为4000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元;反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元.已知该楼盘每套楼房面积均为120米2. 若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案: 方案一: 降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金; 方案二: 降价10%,没有其他赠送. (1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23,x取整数)之间的函数关系式; (2)老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算. 7.(2015牡丹江8分)甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地,甲车先出发匀速驶向B地,40分钟后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时,由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了50千米/时,结果与甲车同时到达B地,甲乙两车距A地的路程y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示. (1)直接写出a的值,并求甲车的速度; (2)求图中线段EF所表示的y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围; (3)乙车出发多少小时与甲车相距15千米? 直接写出答案. 第7题图 8.(2015广元8分)经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就造成交通堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米,车流速度为80千米/小时.研究表明: 当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度; (2)在某一交通时段,为使大桥上的车流速度大于60千米/小时且小于80千米/小时,应把大桥上的车流密度控制在什么范围内? 【答案】 针对演练 1.解: (1)设当4≤x≤12时,y与x的函数关系式为y=kx+b, ∵函数图象经过点(4,20)、(12,30),∴ , 解得: ,(3分) ∴当4≤x≤12时,y= x+15;(4分) (2)每分钟进水5升,每分钟出水 升.(7分) 【解法提示】每分钟的进水量为: 20÷4=5(升),每分钟的出水量为: (5×12-30)÷8= (升). 2.解: (1)由题意得m=9,9+(5-3)n=12.6, 解得n=1.8, ∴y=9+1.8(x-3),即y=1.8x+3.6(x>3).(4分) (2)不够;(5分) 理由如下: 剩余费用: 75-9-12.6-15-25=13.4元, 当x=2+5=7时,y=1.8×7+3.6=16.2>13.4, ∴小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学.(8分) 3.解: (1)设桌高y与凳高x的关系为y=kx+b(k≠0),依题意得: , 解得 , ∴桌高y与凳高x的关系式为y=1.6x+10.8. (2)不配套, 理由如下: 当x=43.5时,y=1.6×43.5+10.8=80.4, ∵80.4≠77, ∴该写字台与凳子不配套. 4.解: (1)小敏去超市途中的速度是: 3000÷10=300(米/分); 在超市逗留的时间: 40-10=30(分). 答: 小敏去超市途中的速度是300米/分;在超市逗留了30分钟.(3分) (2)设小敏返家过程中的函数解析式为: y=kx+b(k≠0), 把点(40,3000、45,2000)代入上式,得 ,∴ , ∴y=-200x+11000,(6分) 当y=0时,-200x+11000=0,解得x=55. 答: 小敏8: 55返回到家.(8分) 5.解: (1)设购进A种T恤x件,则购进B种T恤(200-x)件,则所购进的两种T恤全部卖出时,获得的总利润为 W=(80-50)x+(65-40)(200-x)=5x+5000.(4分) (2)∵购进两种T恤的总费用不超过9500元, ∴50x+40(200-x)≤9500, ∴x≤150.(6分) ∵W=5x+5000, ∴k=5>0, ∴W随x的增大而增大, ∴当x=150时,W取最大值,且最大值为5×150+5000=5750.(8分) 故超市进A种T恤150件,B种T恤50件时,超市获取最大利润,且最大利润为5750元.(9分) 6.解: (1)当1≤x≤8时,y=4000-30(8-x)=30x+3760;(2分) 当8 ∴所以函数关系式为y= .(4分) 【易错警示】注意楼层是按照8楼区分的,所以所列分段函数,不可只列其中一段而忘记另一段函数. (2)当x=16时, 方案一此套楼房总费用: W1=120(50×16+3600)×92%-a=485760-a;(5分) 方案二此套楼房总费用: W2=120(50×16+3600)×90%=475200.(6分) ∴当W1 当W1=W2时,即485760-a=475200时,a=10560; 当W1>W2时,即485760-a>475200时,a<10560. 因此,当此套楼居赠送装修基金多于10560元时,选择方案一合算; 当此套楼居赠送装修基金等于10560元时,两种方案一样; 当此套楼居赠送装修基金少于10560元时,选择方案二合算.(9分) 7.解: (1)a=4+0.5=4.5;(1分) 甲车的速度为: =60(千米/时).(2分) (2)设乙车前4小时行驶m千米. - =50,解得m=360, ∴E(4.5,360);(3分) 设yEF=kx+b, ∵yEF=kx+b经过E(4.5,360)、F(7,460)两点, ∴ , ∴ , ∴yEF=40x+180(4.5≤x≤7).(5分) (3)设甲车距离A地的路程y与乙车行驶时间x之间的函数解析式为: y=kx+b,由图可得,将C(0,40)、F(7,460)代入,求得k=60,b=40,所以甲车y与x的关系式为y=60x+40;由 (2)得E点的坐标是(4.5,360),则乙车在OD段的解析式为y=90x. ①第一次相遇前,两车距离为y=60x+40-90x,令y=15,则x= ; ②第一次相遇后,两车距离为y=90x-(60x+40)=30x-40,令y=15,则x= ; ③第二次相遇前,两车的距离为y=40x+180-(60x+40)=-20x+140,令y=15,则x= .(8分) 8.解: (1)由题意得: 当20≤x≤220时,v是x的一次函数,则可设v=kx+b(k≠0), 由题意得: 当x=20时,v=80;当x=220时,v=0. ∴ ,解得 ,(2分) ∴当20≤x≤220时,v=- x+88,(3分) 把x=100代入v=- x+88,得v=- ×100+88=48, 即当大桥上车流密度为100辆/千米时,车流速度为48千米/小时.(5分) (2)当20≤x≤220时,v=- x+88, 当v>60,即- x+88>60,解得x<70.(6分) 当v<80,即- x+88<80,解得x>20, ∴20<x<70.(7分) 答: 应控制车流密度的范围是大于20辆/千米且小于70辆/千米.(8分 题型五 实际应用题 类型三 一次方程、不等式、一次函数的实际应用 针对演练 1.(2015孝感9分)某服装公司招工广告承诺: 熟练工人每月工资至少3000元,每天工作8小时,一个月工作25天,月工资底薪800元,另加计件工资.加工1件A型服装计酬16元,加工1件B型服装计酬12元,在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时,加工3件A型服装和1件B型服装需7小时.(工人月工资=底薪+计件工资) (1)一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时? (2)一段时间后,公司规定: “每名工人每月必须加工A、B两种型号的服装,且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A型服装a件,工资总额为W元,请你运用所学知识判断该公司执行规定后是否违背了广告承诺? 2.(2015泸州7分)某小区为了绿化环境,计划分两次购进A、B两种花草,第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵,共花费675元;第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵.两次共花费940元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同). (1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元? (2)若购买A、B两种花草共31棵,且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用. 3.(2015咸宁10分)在“绿满鄂南”行动中,某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化,经投标,由甲、乙两个工程队来完成,已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲工程队比乙工程队少用4天. (1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积; (2)设甲工程队施工x天,乙工程队施工y天,刚好完成绿化任务.求y与x的函数解析式; (3)若甲队每天绿化费用是0.6万元,乙队每天绿化费用为0.25万元.且甲乙两队施工的总天数不超过26天,则如何安排甲乙两队施工的天数,使施工总费用最低? 并求出最低费用. 4.(2015梧州10分)梧州市特产批发市场有龟苓膏粉批发,其中A品牌的批发价是每包20元,B品牌的批发价是每包25元,小王需要购买A、B两种品牌的龟苓膏粉共1000包. (1)若小王按需购买A、B两种品牌龟苓膏粉共用22000元,则各购买多少包? (2)凭会员卡在该批发市场购买商品可以获得八折优惠,会员卡费用为500元,若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000包龟苓膏粉,共用了y元,设A品牌买了x包,请求出y与x之间的函数关系式. (3)在 (2)中,小王共用了20000元,他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉,每包龟苓膏粉小王需支付邮费8元.若每包销售价格A品牌比B品牌少5元,请你帮他计算,A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本(运算结果取整数)? 5.现要把192吨物资从我市运往甲、乙两地,用大、小两种货车共18辆,恰好能一次性运完这批物资,已知这两种货车的载重分别为14吨/辆和8吨/辆,运往甲、乙两地的运费如下表: 运往地车型 甲地(元/辆) 乙地(元/辆) 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆? (2)如果安排10辆货车前往甲地,其余货车前往乙地,其中前往甲地的大货车为a辆,前往甲、乙两地的总运费为w元,求w关于a的函数关系式(要求写出自变量的取值范围); (3)在 (2)的条件下,若运往甲地的物资不少于96吨,请你设计出使总运费最少的货车调配方案,并求出最少总运费. 6.某超市计划购进一批甲、乙两种玩具,已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元. (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元? (2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是: 购进甲种玩具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若购进x(x>0)件甲种玩具需要花费y元,请你求出y与x的函数关系式; (3)在 (2)的条件下,超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种,且数量超过20件,请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱. 【答案】 针对演练 1.解: (1)设一名熟练工加工1件A型服装需要x小时,加工1件B型服装需要y小时, 由题意得: ,(2分) 解得: .(3分) 答: 一名熟练工加工1件A型服装需要2小时,加工1件B型服装需要1小时.(4分) (2)当一名熟练工一个月加工A型服装a件时,则还可以加工B型服装(25×8-2a)件. ∴W=16a+12(25×8-2a)+800, ∴W=-8a+3200. 又∵a≥ (200-2a),解得: a≥50.(7分) ∵-8<0,∴W随着a的增大则减小, ∴当a=50时,W取最大值,即W最大值=-400+3200=2800<3000,所以该公司执行规定后违背了广告承诺.(9分) 2.解: (1)设A、B两种花草每棵的价格分别是x元、y元,由题意得 ,(2分) 解得: , 答: A、B两种花草每棵的价格分别是20元、5元.(3分) (2)设购买A种花草m棵,则购买B种花草(31-m)棵,由题意得: 0<31-m<2m, 解得: 10 设所需费用为w元,由题意得: w=20m+5×(31-m) =15m+155.(5分) ∵10 又∵k=15>0,w随m的增大而增大, ∴当m=11时,w取最小值,即w最小值=15×11+155=320(元).(6分) 答: 费用最省的方案是购买A种花草11棵,B种花草20棵,该方案所需费用为320元.(7分) 3.解: (1)设乙队每天绿化am2,则甲队每天绿化2am2. 依题意,得: - =4,(1分) 解得: a=50,2a=100,(2分)
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