中考数学专题复习之旋转相似.docx
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中考数学专题复习之旋转相似
中考数学专题复习之旋转相似
一、阅读提示
图形变换,包括图形的平移、翻折、旋转等全等变换,也包括图形的位似等相似变换,它在初中数学几何教学及解题中的作用毋庸置疑,其重要性不言而喻.本文拟以一道经典几何最值题为例,一题多解、一题多变,从“捆绑变换”以及“旋转六法”的视角阐释其精彩.关于所谓“捆绑旋转”,主要涉及“点”动及“形”动之间局部与整体的关联性,而所谓“旋转六法”,则深刻地体现了旋转法在一类几何问题中的重要应用,本文会详细阐释何时旋转,如何旋转等关键性问题.
二、试题呈现
例题:
如图1,已知P是正方形ABCD外的一点,PA=3,PB=4,求PC的最大值.
三、捆绑变换
为解决此题,先解释下何谓捆绑变换:
初中阶段,图形的常见变换有四种,即平移、翻折、旋转及位似.前三大变换,不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置,可称为全等变换;而位似变换不改变图形的形状,只改变图形的位置与大小,即位似变换前后的图形是相似的,且相似比等于位似比,可称为相似变换.
一般情况下,在某些多动点问题中,动点之间往往存在着某种关联性,这就导致了其运动路径之间必然也存在着某种关联性,即为运动路径的“遗传性”.下面我们举几个简单案例来说明这里所谓的“关联性”或者“遗传性”.
如图2,已知A为定点,B为动点,M为线段AB的中点.中点M随着动点B的运动而运动、确定而确定,这里B不妨称之为主动点,而M可称之为从动点.
如图3,当主动点B的路径为线段时,易知从动点M的路径也为线段;如图4,当主动点B的路径为圆时,易知从动点M的路径也为圆;
甚至于当主动点B的路径为任意曲线时,从动点M的路径必然与其相似,且相似比为1/2,如图5所示.
前面案例的本质就是位似变换,两段路径关于定点A成位似图形,且位似比等于相似比.从这个角度看,中点可以改成线段上任意确定的点,譬如满足AM/AB=k,k为常数等.
下面将案例升级如下:
如图6,已知A是定点,P是定线段BC上一动点,以A为直角顶点作等腰Rt△APQ(A、P、Q按逆时针排序),则Q也是一个动点,可称为从动点,而P为主动点;
在图7中,主动点P的路径由线段变成了⊙O,其他条件不变,你能确定从动点Q的运动路径吗?
对于这两个例子,我们依然可以从图形变换的角度去分析两个动点之间的关联性:
从动点Q随着主动点P的运动而运动、确定而确定.这里定点A可视为旋转中心,由∠A=90°及AP=AQ可以将点Q看成是由主动点P以定点A为旋转中心,按逆时针方向旋转90°而来.每一个点Q都是相应的点P如是而来,自然地,点Q的运动路径当然就是由点P的运动路径如是而来,如图8及图9所示;
这里“红实线”表示主动点P的运动路径,“蓝虚线”表示从动点Q的运动路径.
“线段生线段”、“圆生圆”,可谓“种瓜得瓜,种豆得豆”,直观形象,不言而喻.
需要特别强调的是,这里的旋转中心A一定要是定点,否则这里的“瓜豆”之说自然就不成立了!
这两个案例的本质就是旋转变换,由于旋转不改变图形的形状与大小,因此从动点Q的运动路径与主动点P的运动路径是全等的,它们的路径长也是相等的.
最后我们再举两个案例,将难度再升级:
如图10,已知A是定点,P是定线段BC上一动点,以P为直角顶点作等腰Rt△APQ(A、P、Q按逆时针排序),则Q也是一个动点,可称为从动点,而P为主动点;
在图11中,主动点P的路径由线段变成了⊙O,其他条件不变,请确定从动点Q的运动路径.
“种瓜得瓜,种豆得豆”,“瓜豆”之说,屡屡显灵.
需要注意的是,“两点确定一条直线”,对于图12,从动点Q的运动路径只需要确定两个端点即可.而要想确定一个圆,首先应该找其圆心,再确定半径.
对于图13,从动点Q的运动路径圆,其圆心也是由原来的圆心O同理而来,而其半径即为⊙O半径的根号2倍.
再次强调,这里的旋转中心或位似中心A一定要是定点,否则“瓜豆”之说必然不成立.这两个案例的本质是旋转变换与位似变换的合成,不妨称之为“旋似变换”,而定点A可称为“旋似中心”.由于旋转变换及位似变换都不改变图形的形状,且“旋似变换”前后的两段路径成相似关系,且相似比等于位似比,因此从动点Q的路径长与主动点P的路径长之比一定等于位似比,这个结论可以直接秒杀相关的路径长问题.
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