数学物理方法知识点归纳.docx
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数学物理方法知识点归纳
第一章复述和复变函数
1.5连续
若函数f(x)f(x)在z0z0的领域内(包
括z0z0本身)已经单值确定,并且
limzz
f(z)
f(z0)limzz
f(z)f(z0)
0
0
,则称f(z)在z0z0点连续。
1.6导数
若函数在一点的导数存在,则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件
u
u
u
u
v
v
v
v
(i)x
x、
y
y、x
x、y
y
在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R
条件在该点
成立。
C-R
条件为
u(x,y)
v(x,y)
x
y
v(x,y)
u(x,y)
x
y
u(x,y)
v(x,y)
x
y
v(x,y)
u(x,y)
x
y
1.7解析
若函数不仅在一点是可导的,而且在该点
的领域内点点是可导的,则称该点是解析
的。
解析的必要条件:
函数
f(z)=u+iv
在点z
u
u
u
u
的领域内(i)
x
x、
y
y
、
vvvv
xx、yy存在。
(ii)C-R条件在该点成立。
解析的充分条件:
函数f(z)=u+iv在领域
u
u
u
u
v
v
内(i)x
x
、
y
y、
x
x
、
vv
yy不仅存在而且连续。
(ii)C-R条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系
拉普拉斯方程的解都是调和函数:
2u
2u
2u
2u
x2
x2
+
y2
y2
=0
①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数,因为它们不一定满足C—R条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)
时,如何求v(x,y)?
通过C—R条件列微分方程
第二章复变函数的积分
2.2解析函数的积分
柯西定理:
若函数f(z)在单连区域D内是解析的,则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A与B的那些曲线来讲,
BB
f(z)dzf(z)dz
积分AA的值均相等。
柯西定理推论:
若函数f(z)在单连区域D内解析,则它沿D内任一围线的积分都
f(z)dz
0
f(z)dz0
等于零。
C
C
二连区域的柯西定理
:
若f(z)在二连区域
D解析,边界连续,则
f(z)沿外境界线(逆
时针方向)的积分等于
f(z)沿内境界线(逆
时针方向)的积分。
n+1连区域柯西定理:
f(z)dz
f(z)dz
f(z)dz....
e
i1
i2
f(z)dz
f(z)dz
f(z)dz....
e
i1
i2
推论:
在f(z)的解析区域中,围线连续变形时,积分值不变。
2.3柯西公式
若f(z)在单连有界区域D内解析,在闭区域D的边界连续,则对于区域D的任何一个内点a,有
f(z)dz
in
f(z)dz
in
f(a)
1
f(z)dz
2i
za
f(a)
1
f
(z)dz
2i
z
a
其中
是境界
线。
2.5柯西导数公式
f(n)(z)
n!
C(
f(
)
d
2
i
z)n
1
f
(n)
(z)
n!
f(
)
1d
2
i
C(
z)
n
第三章级数
3.2复变函数项级数
外尔斯特拉斯定理:
如果级数
uk(z)uk(z)
k0k0在境界上一致收
敛,那么
(i)这个级数在区域内部也收敛,其值为
F(z)
(ii)由它们的m阶导数组成的级数
uk(m)(z)
uk(m)(z)
k0
k0
在区域内也收敛,
而且它们的和等于F(m)(z)。
3.3幂级数
阿贝尔(Abel)定理:
如果幂级数
ck(za)k
ck(za)k
k0
k0
在点z0处收
敛,则在任一圆|z-a|<=p|z0-a|,0
达朗贝尔(D’Alembert)判别法:
对于幂级数,计算下列极限
|ck1(z
a)
k
1
|lim|ck1(z
a)
k
1
|
lim
k
k
k
|ck(z
a)
|
k
|ck
(z
a)
|
(i)当极限值小于1时,幂级数在点z处绝
对收敛(ii)当极限值大于1时,幂级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时,敛散性不能判断。
柯西判别法:
计算极限
limk|ck(za)k|limk|ck(za)k|
kk
当极限值小于1时,幂级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时,幂级数在点z处发散;极限值等于1时,不能判断
3.4解析函数与幂级数
定理:
幂级数的和是收敛圆内的解析函数。
Taylor级数:
f(z)
f(n)(a)(z
a)n
n
0
n!
f(z)
f(n)(a)
a)
n
(z
n
0
n!
ez
1
z
z2
...
zn
...
2!
n!
e
z
1
z
z2
...
zn
...
2!
n!
sinz
z
z3
z5
...
(-1)n
z2n
1
...
3!
5!
(2n
1)!
sinz
z
z3
z5
...
(-1)n
z2n
1
...
3!
5!
(2n
1)!
cosz
1
z2
z4
...
z2n
...
2!
4!
(2n)!
cosz
1
z2
z4
...
z2n
...
2!
4!
(2n)!
ln(1
z)
z
z2
z3
...
(-1)
n
zn
1
2
3
n
...
1
ln(1
z)
z
z2
z3
...
(-1)
n
zn
1
2
3
n
...
1
3.5解析函数与双边幂级数
定理:
双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。
环形区域内的解析函数可展成双边幂级数
f(z)ck(za)k
k
f(z)ck(za)k
k
ck
1
i
(
f()
d
2
a)
ck
1
i
(
f()
d
2
a)
称为Laurant系数
3.8孤立奇点
非孤立奇点:
若函数f(z)在z=a点的无论
多么小的领域内,总有除z=a以外的奇
点,则z=a是f(z)的非孤立奇点。
孤立奇点:
若函数在
z=a不可导(或无定
义),而在去心领域
0<|z-a|<ε解析,则
z=a是f(z)的一个孤立奇点。
3.9奇点分类
有限远奇点
极限性质
洛朗级数
可去奇点
limf(z)=有限
不含负幂项
值
极点
limf(z)=∞
含有限个负
幂项
本性奇点
limf(z)=无定
含无限个负
值
幂项
无穷远点
极限性质
洛朗级数
可去奇点
limf(z)=有限值
不含正幂项
极点
limf(z)=∞
含有限个正幂
项
本性奇点
limf(z)=无定值
含无限个正幂
项
第四章留数
4.1柯西公式的另一种形式
一阶极点留数:
若g(z)在单连区域D内解析,a在D内,在D内作一环绕点a的围线C。
令f(z)=g(z)/(z-a)则有:
f(z)dz
2
iResf(a)
C
f(z)dz
2
iResf(a)
Resf(a)lim(za)f(z)
za
Resf(a)
lim(z
a)f(z)
za
一阶极点留数的一种算法:
f(z)
(z)
f(z)
(z)
如果
(z)
(z)那么
Resf(a)
(a)
Resf(a)
(a)
(a)
(a)
m阶极点的留数公式
1
dm1
m
f(z)]|za
Resf(a)
(m
1)!
dzm1[(z
a)
1
dm1
m
f(z)]|za
Resf(a)
(m
1)!
dzm1[(z
a)
4.2用级数分析来分析留数定理
f(z)
k
ck(z
a)k
f(z)
k
ck(z
a)k
则有Resf(a)
c1
f(a)c1
多连区域的柯西定理
:
如果在围线C的内
部包含n个孤立奇点,利用多连区域的柯
西定理就有
n
f(z)dz
2
i
Resf(ak)
C
k
1
n
f(z)dz
2
i
Resf(ak)
C
k
1
4.3无限远点的留数
Resf(
)
1
f(z)dz
c1
2
i
Resf(
)
1
f(z)dz
c1
2
i
定理1:
如果当z→∞时,若zf(z)→0,则
C
Resf(∞)=0
定理2:
n
Resf(ak)Resf()0
k1
n
Resf(ak)Resf()0
k1
4.4留数定理计算型积分
第一种类型:
2
R(cos,sin)d
0
2
R(cos,sin)d
0型积分
令zeizei
d
dz/izd
dz/iz
cos
1
(z
z1)cos
1(z
z1)
2
2
sin
1(z
z1)sin
1(z
z1)
2
2
2
R(cos
sin
)d
f(z)dz
0
|z|1
2
R(cos
sin
)d
f(z)dz
0
|z|1
{在单位圆内各个奇点的留数之和}
f(x)dxf(x)dx
第二种类型:
型积
分
注意,需要满足条件
limzf(z)
0limzf(z)0
z
z
f(x)dx2if(x)dx2i
{在上
半平面的奇点留数之和}(界限上的乘
以0.5)
第三种类型:
f(x)eimxdxf(x)eimxdx
型积分
注意需要符合条件
limf(z)0limf(z)0
zz
f(x)eimxdx2if(x)eimxdx2i
{f(z)eimz在上半平面的奇点留数之和}
4.7围线积分方法
泊松积分:
eax2
cosbxdx
1
eb2/4a
0
2
a
eax2
cosbxdx
1
eb2/4a
0
2
a
菲涅尔积分:
cosx2dx
sinx2dx
1
0
0
2
2
cosx2dx
sinx2dx
1
0
0
2
2
第六章积分变换
6.1傅里叶级数
三角函数系的正交性
2π周期-展开定理:
f(x)
C0
(Cmcosmx
Dmsinmx)
m1
f(x)
C0
(Cmcosmx
Dmsinmx)
m1
C0
1
f(
)d
2
C0
1
f()d
2
Cm
1
f(
)cosmd
Cm
1
f(
)cosmd
Dm
1
f(
)sinmd
Dm
1
f()sinmd
任意周期2l-展开定理:
f(x)
C0
(Cmcosm
x
Dmsinmx)
m1
l
l
~
~
F[f(x)]
f(x)C0
(Cmcosmx
Dmsinm
f(k)
F[f(x)]f(k)
x)
1
~
1
~
m1
l
l
f(x)
F
F
[f(k)]f(x)
[f(k)]
C0
1
l
1
l
2l
f()dC0
2l
f()d
l
l
Cm
1
l
)cos
m
f(
d
l
l
l
Cm
1
l
)cos
m
f(
d
l
l
l
Dm
1
l
)sin
m
f(
d
l
l
l
Dm
1
l
)sin
m
l
f(
d
l
l
6.2傅立叶积分
f(x)
[C(k)coskx
D(k)sinkx]dk
0
f(x)
[C(k)coskx
D(k)sinkx]dk
0
C(k)
1
f()coskd
D(k)
1
f(
)sink
d
C(k)
1
f()coskd
D(k)
1
f()sinkd
6.3傅立叶变换
线性定理
F[C1f1
C2f2]C1F[f1]C2F[f2]
F[C1f1
C2f2]C1F[f1]C2F[f2]
导数定理
F[f
(x)]
ikF[f(x)]
dnf(x)
n
F[f(x)]
F[
dxn
]
(ik)
积分定理
1F[f(x)]
F[
f()d]
x
x0
ik
延迟定理
F[f(x
x0)]
e
ikx0F[f(x)]
相似定理
1~k
)
F[f(ax)]
f(
a
a
卷积定理
F[
f1()f2(x
~
~
)d]2f1
(k)f2(k)
6.4拉普拉斯变幻
C(k)是偶函数,D(k)是奇函数
(p)
(t)eptdt
傅里叶公式
0
令
注意当t<0时,
(t)=0
~
1
iD(k)]
f(k)
[C(k)
~
2
(p)=L[
(t)]
(t)=L-1[(p)]
1[C(k)
iD(k)]
f(k)
2
(t)←→
(p)
则
f(x)
~
ikx
dk
线性性质:
f(k)e
a1(t)b2(t)a~1(p)b~2(p)
~
ikx
f(x)
dk
f(k)e
a1(t)b2(t)a~1(p)b~2(p)
~
1
ik
d
f(k)
f()e
2
导数的象函数:
~
1
ik
d(t)
p(p)
(0)
f(k)
f()ed
dt
2
d
(t)
p
(p)
(0)
延迟函数的象函数
dt
(t)H(t)
(p)
(t)H(t)(p)
dn(t)
n
n1
n2
n-1
dtn
p
(p)
p
(0)
p
(0)...
(t(0))H(t
)
ep
(p)
dn(t)
p
n
(p)
p
n1
(0)
p
n2
(0)..
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