完整版哈工大天线原理马汉炎习题答案.docx

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完整版哈工大天线原理马汉炎习题答案

第一章

1-1试用对偶原理，由电基本振子场强式（1-5）和式（1-7）,写出磁基本振

子的场表示式。

对偶原理的对应关系为：

式（1-5）

Hr

H

Idl

jkr

jkr

式（1-7）

Er

Idl20cos

2r2io

jkr

jkre

因此，式（1-5）的对偶式为

sin

1

jkr

jkre

Er

0

E

0

E

.Imdl.

jsin

2r

1jkrekr

jkre

Hr

式（1-7）的对偶式为H

1

1

1

jkr

jkr

1

k2r2

jkr

Ee

Hm

m

He

-Em

J—

Jm

P

-P

□

£

£

另外，

由于k

..，所以有k—

—k

结合Imdl=j30S

有磁基本振子的场表示式为:

Er0

E0

sin

1jkr

—e

jkr

Hr

oIS

2r2

0

cos1

1

jkr

jkre

oIS

2r

sin1

1

jkr

1

k2r2

jkre

可以就此结束，也可以继续整理为

Er0

E

sin

E0

1

jkr

jkr

Hr

j-IS2cos1

丄ejkr

jkr

ISsin1丄亠ejkrrjkrkr

E

1-3若已知电基本振子辐射电场强度大小

II

0S1n

2r，天线辐射功率可按

穿过以源为球心处于远区的封闭球面的功率密度的总和计算，即

S（r,,）dssds

r2sindd为面积元。

试计算该电基本振子的辐射功

率和辐射电阻。

【解】首先求辐射功率

P1

•E2ds

240

S

2

1

2Il

oSin

r2sindd

240

00

2r

2

402

Il

辐射电阻为

厂2P

cc2l

2

RI2

802-

注意：

此题应用到了

3sin

d-

0

3

E

1-5若已知电基本振子辐射场公式

II

oSin

2r，试利用方向性系数的定义

求其方向性系数。

【解】方向性系数的定义为：

在相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的

功率密度Smax（或场强Emax的平方），与无方向性天线在该方向上的功率密度So（或场强

Eo的平方）之比。

E2

首先求辐射功率

240

S

1

2

Ilosin

240

00

2r

402

JI2

PE2ds

2

r2sindd

令该辐射功率为

Eor

60

240

其中Eo是无方向性天线的辐射场强。

因此，可以求得Eo224oo

所以方向性系数D

Emax

IF

1.5

1-6设小电流环电流为I，环面积So求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式。

若1m长导线绕成小圆环，波源频率为1MHz，求其辐射电阻值。

电小环的辐射场幅度为：

IS

sin

首先求辐射功率

P240

E2ds

S

1

240

ISsin

2

r

sindd

160

IS

-2

辐射电阻为

2P

R严

320

S2

~4

当圆环周长为1m

时，其面积为

—m2，波源频率为1MHz时，波长为入=00m。

4

所以，辐射电阻为

R5=2.4M0-8

1-7试证明电基本振子远区辐射场幅值

Eo与辐射功率P艺之间的关系为

sin

E9.49、P——

r

【证明】电基本振子远区辐射场幅值E丄0sin60^^sin

2rr

2根据题目1-3可知电基本振子辐射功率为P402卫,

所以匕1P

v;40

代入到Eo表达式中可以得到：

E■6°Usin

r

6040sin

所以有：

E9.49Psinr

1-9试求证方向性系数的另一种定义：

在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的

条件下，无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数，记为

P0

【证明】方向性系数的定义为：

相同辐射功率、相同距离条件下，天线在某辐射方向上的

Emax

E0

功率密度Smax（或场强Emax的平方），与无方向性天线在该方向上的功率密度S。

（或场强

E0的平方）之比。

假设有方向性天线的辐射功率为P2,最大辐射方向的辐射场为Emax,无方向性天线的辐射

功率为P50,辐射场大小为E0,则有如下关系：

Eo

4r2=>

240

6OPo

2~r

如果有方向性天线的方向性系数为

D，则根据定义，当其辐射功率为P胡寸，有

60PD

所以，当有Emax=Eo时，则有D

Po

Emax

E0

Illz

1-11

一个电基本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点，如图示，若

I2S

试证明远区任意点的辐射场均是圆极化的。

【证明】如图示的电基本振子和小电流环的辐射场分别为:

•hl

jr~r

I2S

~2~r

2

・jkr

osine

・jkr

osine

令I」

I2SA

则远区任一点辐射场为：

E

.A.

ajosin

2r

A.

osine

2r

jkr这是一个右旋圆极

1-13设收发两天线相距r,

化的电磁波。

处于极化匹配和阻抗匹配的最佳状态，且最大方向对准。

若

工作波长为入，发射天线输入功率Ptin，发射和接收天线增益系数分别为Gt、Gr，试证明

Pr

接收功率为

max

2

订PtinGtGr

【证明】满足题设三条件的情况下，根据天线增益的定义，可以得到发射天线在接收天线处产生的辐射场的最大功率密度为

Snax

Rn

—Gt

4r

2

2

硏PinGtGr

接收天线的有效面积为Se

因此接收天线得到的最大接收功率为PmaxSmaxSe

1-15若干扰均匀分布于空间并从所有方向传到接收点，利用定向接收天线可以增大有用

信号功率和外部干扰功率之比，试证明这一比值和天线的方向性系数成正比。

【证明】

设定向接收天线的方向性函数为F（0,0方向性系数为D，则有如下关系:

F2（

oo

）sindd

2-1设对称振子臂长I分别为流分布。

设干扰的平均功率流密度大小Si为常数，一个以接收点为中心的，半径为r的球面》

包围了接收点，则接收点处天线接收到的功率Pn为不同方向面积微元通过的被接收的干扰

的积分：

2

PnSnF（,）dS

222

SnF（,）rsinddnoo

222

Snr2F2（,）sindd

n00

4Sr2

D

设天线接收到的有用功率为Ps,则有用功率与干扰功率之比为S=Ps/PnXD。

第二章

2-2用尝试法确定半波振子、全波振子E面主瓣宽度。

半波振子的方向性函数为

F（）

coscos

2

sin

可以看出，该函数关于0=0和0=n/对称，并且当

0=n/4~之间的值即可。

经过计算，当0=51时,

度为HPBW=2（90-51）=78°

0=n时,F（0）有最大值1,因此计算F（0）=0.708，因此，可以得到主瓣宽

全波振子的方向性函数为

F（）

2

coscos

2

sin

可以看出，该函数关于0=0和0=n/对称，并且当0=n时,F（0）有最大值1,因此计算

0=n/4~之间的值即可。

经过计算，当0=66.1时，F（0）=0.707，因此，可以得到主瓣

”2,"4,”8，若电流为正弦分布，试简绘对称振子上的电

宽度为HPBW=2（90-66.1）=47.8

2-3试利用公式（1-51）,求半波振子、全波振子的方向性系数。

【解】公式（1-51）为

D120f；ax

—R

对于对称振子，fmax=1-COSkl

所以本题可以列表回答：

天线种类

kl

fmax

Rs

D

半波振子

n/2

1

73.1Q

1.64

全波振子

n

2

200Q

2.4

2-4试利用公式（1-85），分别求解半波振子和全波振子的有效面积。

2

【解】有效面积的公式为Se——G

4

利用2-3题的结论可以列出下表:

天线种类

kl

fmax

Rs

D

Se

半波振子

n/2

1

73.1Q

1.64

0.13用

全波振子

n

2

200Q

2.4

0.19用

2-5试利用公式（2-24）或（2-25），求半波振子、全波振子的有效长度。

【解】公式（2-24）是采取以归算电流为输入电流计算的有效长度公式（2-25）是采用了归算电流为波腹电流计算的有效长度le

所以本题可以列表回答。

天线种类

kl

fmax

Rs

D

le（2-24）

le（2-25）

半波振子

n/2

1

73.1

1.64

0.318入（入/n）

0.318入（入/n）

全波振子

n

2

200

2.4

oo

0.637入（2入/n）

2-6已知对称振子臂长l=35cm，振子臂导线半径a=8.625mm，若工作波长Q1.5m，试计算该对称振子的输入阻抗的近似值。

已知对称振子臂长l=35cm,a=8.625mm,?

=1.5m，则有：

1利用公式（2-29）求得Z°a=120X（|n2l/a-1）=120伽（2X350/8.625）-1]=408Q刚好介于图2-9的340和460之间。

21/入=0.233根据图2-9的（玄）和（b）可以分别查得：

Zin=70+j0Q,需要注意：

这里的数字读取得很粗略。

还有一种方法：

利用公式（2-32）进行计算。

首先计算1/（2a）=20.3,

1/入=0.233

并利用公式（2-29）求得Zoa=12O（In2l/a-1）=120x（|n2350/8.625-1）=408Q;

查图2-8,得n=1.05

查图2-5,R2m=70Q

3=n2n/入=2.1Xn/入

利用公式（2-31）求得a=0.753/然后代入公式（2-32）,最终求得乙n=69.4-21.4Q

2-7试计算电流呈三角形分布短天线的方向性系数和有效高度。

【解】

电流呈三角形分布的电流表达式为:

l（z）Ia1

L引,|z|If：

Ia为输入点电流。

这是对

I

称振子当l<<入时的情况。

天线的辐射场为

1601（z）jkrjkzcos

ljsineedz

r

60Ia.

sin

r

60IaI.

—sinr

jkr

ejkr

这里

|z|jkzcos,

edz

I

早[cos（kzcos

早cos（kzcos

）dz

|z|jkzcos,

edzI

jsin（kzcos）]dz

ycos（kzcos）dz

211（klcos）2

cos（klcos）

当^<<1时，有2IHZT1

因此，从E。

的表达式可以看出，这是一个长度为I的电基本振子的辐射场，电流均匀分布

在长度为I的直导线上。

天线的方向性函数为F（0）=sin0,有效长度为I。

方向性系数为：

2

F（,）sindd

2sinoo

sindd

1.5

2-8试用特性阻抗75Q的同轴线和特性阻抗300Q的扁线（双线）馈线，请分别绘制给半波振子的馈电图。

Zoi=15OQ

Zo=3OOQ

馈线给半波振子的馈电图（加入了

入/4阻抗变换器）

第三章

3-1两等幅馈电的基本振子垂直于纸面并列放置，间距d=0.5入辐射功率相同，P3=0.1W,

电流相位关系如图中标注。

试计算图中4种情况下，r=1km远处的场强值。

此天线阵的远区场可以表达为:

EEF（,）f2（,）

基本振子天线在纸面所在的平面内的方向性函数为：

Fi=1

幅值为Ei,有:

Ei

60PD

Ei

.600.11.5

阵因子

1000

10

=1.5

3

sind0d

0

V/m

P沪0.iW

m22mcos

其中:

m=i,E=90°

kdcos

0.50.50

f2.1m22mcos,112cos02

在图中所示的条件下，r=1km远处的场强为：

EEiFi（,）f2（,）Erlm22mcos

33

3102610（V/m）

此天线阵的远区场可以表达为:

EEiFi（,）f2（,）

基本振子天线在纸面所在的平面内的方向性函数为:

幅值为Ei，有：

Fi=i

Ei

60PD

4

D—=1.5

3

sind0d

00

P沪0.iW

Ei

.600.1i.5

1000

103

V/m

阵因子f2

m2mcos，其中：

m=i,E=90；

kdcos

20.5

cos60

f2im22mcos1i2cos0

在图中所示的条件下，r=1km远处的场强为:

EEiFi（,山（，）0

此天线阵的远区场可以表达为:

EEiFi（,山（，）

基本振子天线在纸面所在的平面内的方向性函数为：

Fi=l

幅值为Ei，有：

J60PD

Ei

r

E.、60PD600.11.5

1r1000

4

2=1.5

23

sind0d

00

P沪0.1W

10

V/m

2

阵因子f21m2mcos，其中：

m=1,,90°

kdcos

0.5

cos120o

f21m22mcos..112cos（）0

在图中所示的条件下，r=1km远处的场强为：

EE1F1（,）f2（,）巳、1m22mcos0

此天线阵的远区场可以表达为:

EE1FM,）f2（,）

Fi=l

基本振子天线在纸面所在的平面内的方向性函数为:

幅值为Ei，有：

Ei

Ei

60PD

r

.60PD

r

4

D2=1.5

3

sind（d

00

.600.11.5

3

310

1000

V/m

P沪0.1W

阵因子f2

1亦2mcos，其中：

m=1,E=0°

kdcos

0.5

cos120

f2.1m22mcos112cos02

在图中所示的条件下，r=1km远处的场强为：

E非（，）f2（,）Er，1m22mcos

33

3102610（V/m）

12=11e-jn2

（1）简绘二元

3-3间距d=^/4的二元阵，阵元为半波振子，平行排列，电流阵E面与H面的方向图；

E面

H面

构成等幅同相阵，间距入/2试用方向图乘法定理画出它的

3-54元半波振子并列放置,

面和H面方向图。

x

4元半波振子阵列如图示。

天线阵列的E面为x-z平面，H面为x-y平面。

天线阵轴为x轴，描述角度如图示，依题意，N=4,E=0S+0=90°

天线阵的方向性函数=阵元的方向性函数湃因子

阵元方向性函数为

F（）|

coscos

2

sin

cossin

2

cos

阵因子

kdcos

2

cos

2

0cos

F（）

sinN——

2

Nsin—

2

sin（2cos）

4sin—cos

2

所以，天线阵E面方向性函数为

F（）

cossin

2

sin（2cos）

cos

4sin—cos

2

E面方向图（这里需要注意：

阵元和阵因子最大辐射方向不同）

天线阵H面方向性函数为F（）|河2cos）|

4sin—cos

2

H面方向图

E面和

3-73个电流元等幅馈电，排列如图，图中还标明阵元间距和激励相位差。

试画出

H面方向图。

3元电流元阵列如图示。

天线阵列的E面为x-z平面，H面为x-y平面。

天线阵轴为x轴，描述角度如图示，依题意，N=3,—90°杀9=90°

天线阵的方向性函数=阵元的方向性函数湃因子

阵元方向性函数为

F（）sincos

阵因子

kdcos

—cos

F（

—（cos

1）

所以，天线阵E面方向性函数为F（）cos

.3“

sin—（cos

4

1）

3sin—（cos

1）

4

天线阵H面方向性函数为F（）

.3sin—

4

（cos

1）

3sin—

（cos

1）

4

H面方向图

3-94个等幅、相邻相差E=5。

的电基本振子并行排列成一直线阵，间距d=入/&试由阵

因子F2（“）曲线画出E面方向图。

x

4元电基本振子阵列如图示。

天线阵列的E面为x-z平面。

天线阵轴为x轴，描述角度如图示，依题意，N=4,E=45°S+0=90°

天线阵的方向性函数=阵元的方向性函数湃因子

阵元方向性函数为

阵因子

kdcos

F（）

Nsin—

2

F（

）

sin

cos

2

cos

8

44

sin

—（cos

2

1）

4sin

—（cos

1）

8

（cos1）

所以，天线阵E面方向性函数为F（）

cos

sin—（cos

2

1）

4sin—（cos

8

1）

E面方向图

3-13设大地为理想导体，在高度为入12的上空架设共线排列的两个水平半波振子，等幅

同相馈电，间距为入/2。

试求E面和H面方向图。

设大地所在平面为xoy平面，振子轴向平行于x轴，地面上的阵列阵轴亦平行于x轴。

E面为xoz平面，H面为yoz平面

天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得：

1阵元方向性函数

2地面上阵轴为x轴方向的等幅同相二元阵（m=1,E=0d=^⑵阵因子

3地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为z方向的等幅反相二元阵（m=1,E=,

d=X）的阵因子

需要注意的是：

最终只取z>0区域的部分。

E面（xoz平面）的上述因子表达式为：

cos—sin

1阵元方向性函数:

cos

2地面上阵轴为x轴方向的等幅同相二元阵（

m=1,E=0d=X/2阵因子：

|cos—sin|

2

③地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为

z方向的等幅反相二元阵（m=1,E=,

d=X）的阵因子：

|sin（cos）|

cos—sin

最终E面（xoz平面）总的阵方向图为

Fe（0）=

cos

xcos—sin

2

xsin（cos）|

可以化简结果为Fe（）

2■

cos—sin

2

sin（cos）,注意不要忘记书写绝对值符号,

cos

里B为观察方向与+z轴夹角，而3则为观察方向与+x轴（阵轴）夹角，在XOZ平面上有

0+3=n注意最终函数自变量的统一，我们一般使用B或者o（xoy平面上观察方向与+x

轴夹角），这样便于规范化。

类似地，可以求得H面（yoz平面）的上述因子表达式为：

1阵元方向性函数：

1（令E面的0=（即可）

2地面上阵轴为x轴方向的等幅同相二元阵（m=1,E=0d=X2）阵因子：

1（令E面的0=0即可）

3地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为z方向的等幅反相二元阵（m=1,E=,

d=X）的阵因子：

|sin（cos）|（因为H平面平行于阵轴，所以方向性函数不变）

最终H面（yoz平面）总的阵方向图为Fh（0）=sin（cos）|

方向图如下:

O

4=—

y

O

F3

Fh

3-142元垂直接地振子如图排列，试求：

天线系统方向性函数，画出含两振子轴平面的方向图。

设大地所在平面为xoy平面，振子轴向平行于z轴，地面上的阵列阵轴则平行于x轴。

E面为xoz平面，H面为xoy平面

天线阵系统最终的方向图由两个因子乘积所得：

1阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数

2地面上阵轴为x轴方向的等幅二元阵（m=1,E=n/2d=入/4阵因子需要注意的是：

最终只取z>0区域的部分。

E面（xoz平面，含振子轴平面）的上述因子表达式为:

COScos

①阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数:

2

sin

②地面上阵轴为x轴方向的等幅二元阵（m=1,E=n/2d=入/4阵因子：

|cos1sin

4

coscos

最终E面（xoz平面）总的阵方向图为Fe（0）2xcos1sin|

sin4

注意不要忘记书写绝对值符号，这里0为观察方向与+z轴夹角，而3则为观察方向与+x

轴（阵轴）夹角，在xoz平面上有0+3=n/注意最终函数自变量的统一，我们一般使用0

或者$（xoy平面上观察方向与+x轴夹角），这样便于规范化。

类似地，可以求得H面（xoy平面）的上述因子表达式为：

1阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数：

1（令E面的0=n/2P可）

2地面上阵轴为x轴方向的等幅二兀阵（m=1,E=n/2d=入/4＞阵因子：

Icos—1cosI

4

個为H平面平行于阵轴，所以方向性函数不变，但是自变量变为$）最终H面（xoy平面）总的阵方向图为Fh（0）=cos—1cos

4

方向图如下:

E面J

Fh

F1

F2

3-15两半波振子并列且垂直于无穷大理想导电地平面，相距入/2中心高度为入/4两振

子电流等幅反相。

画出E面和H面方向图。

设大地所在平面为xoy平面，振子轴向平行于z轴，地面上的阵列阵轴则平行于x轴。

E面为xoz平面，H面为xoy平面

天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得：

1阵元方向性函数

2地面上方阵轴为x轴方向的等幅