量子力学典型例题分析解答.docx
- 文档编号:9751714
- 上传时间:2023-02-06
- 格式:DOCX
- 页数:40
- 大小:516.26KB
量子力学典型例题分析解答.docx
《量子力学典型例题分析解答.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《量子力学典型例题分析解答.docx(40页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题
第二章
一.求解一位定态XX方程
1.试求在不对称势井中的粒子能级和波函数
[解]XX方程:
d吨加0-
二4
泞护
当,故有
Ayexp(ArLX).^X<0^sin(fcr+吝丿…0
利用波函数在处的连续条件
由处连续条件:
由处连续条件:
sin[ka+8)-
«=1,2,3
ka-niz-arcsinIarcsin
Fi
给定一个n值,可解一个,
给定
Z—A
为分离能级.
2.
粒子在一维势井中的运动
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数
[解]体系的定态XX方程为
2加_
当时
对束缚态
解为
在处连续性要求
t(o+)=t[oJ
将代入得
如+心營
3ma
7
相应归一化波函数为:
j护必=1=>j屮严必+j/p也必=1
7
归一化波函数为:
ma.
3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为
%…0乞xM口
-%…m 求束缚态的能级所满足的方程 [解]束缚态下粒子能量的取值范围为 当时 当时 XX方程为 叮+寻(D驾=0 令 : 叮+旳=0 解为 卽£二虫严+即如 当时 酸'+訣+讥=0 令 解为 T3(x)=九sinco昵* XX方程为 ■I蜀+ XX方程为 叮鸣=0 解为 卽畫)二找西+乐如 由 ..=0 芯闊二购 波函数满足的连续性要求,有 叫匸“=里人』£+£=0 &右sink2a-B2k2cos^a=詁化+B】徐如 =A2sink2b+B2cost: 5 叮=叮 -月血严5=4為sink2b-B也cosk2b 要使有非零解不能同时为零 则其系数组成的行列式必须为零 计算行列式,得方程 t上0)片标遍2+讣勘gk^shk^a一k^chk^ 例题 主要类型: 1.算符运算;2.力学量的平均值;3.力学量 几率分布. 有关算符的运算 1.证明如下对易关系 (1) ⑵ ⑶ ⑷ (5) [证] (1) ⑵ 二请-血J二号厶+F込 =±fi[4土遇]二土込 ⑶ A 4刼+[■血h +花心 =0+0+%认+曲%AE+i帆誌侖+请知标f 二0 一般地,若算符是任一标量算符,有 ⑷ 二川知A+加£密屛 二请%随+抄J 一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有 仏0"123) (5) 炉,啓=心+久+m 二擔厶]+肚厶 Ly5也#+Ly'L*-L$+S+62F厶 =ThLpLg-机亠+i吗£j+ihLxLy =0 同理: 2.证明xx算符为xx算符 [解]考虑一维情况 A H 二上4+心)二? +给) 2朋必2 二ip询严一1询洌*必'fJdx 为xx算符,为xx算符,为实数 [0仃)叫盂⑷⑴必=jF『砂=j(珂亍耐x 为XX算符为XX算符 3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为, 取: 试证明: 也是和共同本征函数,对应本征值 分别为: 。 [证] 是的对应本征值为的本征函数 只孙IA \L£fL±\=±hL± )=(44= 是的对应本征值为的本征函数 =0±1.卅1沁 可求出: c/'二有J0干螂)0士用+1) 舛诫土棒+1)%佝 二.有关力学量平均值与几率分布方面 1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值; (2)求x 在态中的平均值 是的本征函数。 本征值 2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动,如粒子的状态由 波函数 描写。 求粒子能量的可能值相应的概率及平均值 【解】 宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数 注意: 是否归一化波函数 能量本征值 另一做法 fi"d、2.2otzx sin—cos—a盘 三、2.5d\L 診〒曲一cos—(----;l-= _\iaaQ£卩dxyfct 3.一维谐振子在时的归一化波函数为 所描写的态中式中,式中是谐振子的能量本征函数,求 (1)的数值;2)在态中能量的可能值,相应的概率及平均值;(3)时系统的波函数;(4)时能量的可能值相应的概率及平均值 [解] (1),归一化,, (2) —11312 noI3曾二严+严十才汁了融 (3)时, 所以: 时,能量的可能值、相应的概率、平均值同 (2)。 4.设氢原子处于状态 甲(“妙)二"血血血血-f尽】但妙) 求氢原子的能量,角动量平方以及角动量z分量的可能值,这些 可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 [解]能量本征值 能量本征态 当n=2时 1^=1n+i)Aa=2fta[£阜1=2护 本征值为的 出现的几率为100% 可能值为出现的几率分别为: 。 豆=妁=-啤 肿 5.在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值 (1).;⑵. [解]: =0=aly -Q,Iy-0 三测不准关系 1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值,并计算 测不准关系 [解]先归一化 城二 (1)动量平均值 一说 -];V恥-缶 (8} p-\[炽a住 -jft— '2妙丄 1跌丿 _ih = i/p =罔! 也■ 一请矽0 jM蜡 —s> 2諳虫 “朮琴 —O 2刖 ⑵ 71 A加纟 屁丿 ---^-血-^=Pa 2就 fc2v_ kvJ 松eL 2\Pq吋 1 —+ I2$4严护亿 Po丄毋曲 [2孑—硬+沪+硬广 ⑶ "利用j/h必二当" 附: 常用积分式: (1) 第四章例题 1.力学量的矩阵表示 由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和 p=\? m定氓怖囱+俳x”) 试分别: 1)•求和在态下的期望值;2).给出和的物理意义 【解】 (1).设态矢已归一化 (粒子位置几率密度) (2) (利用化到坐标表象) -丄『护伴戸『|0尹}严梓〉+: 护伴鬥(产庐『)(? ■梓) 又: , 上式 £『护旷何帀岸产讯Fr)+[(利卜y/F-罚申卩) 2.试证明: 由任意一对以归一化的共轭右矢和xx构成的投影算 符 (1).是xx算符, (2)•有,(3).的本征值为0和1 【证】 (1).xx算符的定义 为xx算符 (2)已归一化 (3)•由的本征值方程 又: 即: 2-=0久=0」 (本题主要考查xx算符概念,本征值方程,xx符号的应用) 3.分别在坐标表象,动量表象,能量表象中写出一维无限深势井中(宽度)基态粒子的波函数。 (本题主要考查波函数在具体表象中的表示) 【解】所描述的状态,基态波函数 (1).在x表象: (2).动量表象: 叫)十p|P〉(聃) a】=1曲二.‘%二0 o o ■I ■I © 同样一个态在不同表象中的表示是不同的,不同的表象是从不同 侧面来进行描述的 4.取和的共同表象,在角动量空间中写出,,的矩阵(本题 主要考查算符矩阵的求法) 【解】,的共同本征函数为 Q属(3風 在空间 (1)., (1,-膽M=(i,财训=(i,+i即,+i) Q03 F=2讣010 : .<0ob 同样 (1厂1闯1厂卜』(口险训=o(屮0』汁1)“ 门00\ Zz000 bo-b 利用: 利用正交归一条件: 0册匕+卩,诃)二弁-洌)『+测+1)伽卩,亦+1) (1,*+|卜1)=(乌|: |鶴)=制肓=2方 (l,l|£+|l)0)=(€1|Z+|$i)=ft^/b2=^ ro752 z+00血 <°0°J 同样 气00] V200 I0720; (3) 利用: 矩阵: 矩阵: 5.已知体系的哈密顿量,试求出 (1).体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的本征矢组. (2).将对角化,并给出对角化的么正变换矩阵 【解】 (1).久期方程 XX, 设正交归一的本征矢 0e' fc\ 02£0 、£0 ®丿 0丿 对应于 Cl=P 本征矢归一化 对应归一本征矢 同样 即为的本征函数集 (2).对角化后,对角元素即为能量本 转换矩阵为 1301庞 O1O丄J2O丄V2 符的一个本征函数矢量 【证】算符的本征矢: 则F算符在自身表象中为一对角矩阵: 对另一表象力学量的本征矢 C=(战同小乞如丘)(诽屈(外} 弘二伽) (2W ■ 的本征矢 7.为xx算符。 ①求算符的本征值,②在A表象下求算符的矩阵表示。 [解]: ①设的本征值为,本征函数为, 则 又 同理算符的本征值也为 ②在A表象,算符的矩阵为一对角矩阵,对角元素为本征值,即 设 利用 <10、 JL ^1如" 『10、 珞0、 卫-1丿 41血丿 1 <°-1丿 10-肚22丿 B为xx算符 即 D(0亦] B- 又 I。 MT 取: (o八 a : .Uo丿 第五章例题 重点: 微扰论 1.一根长为,无质量的绳子一段固定于支点,另一端系 质量为的质点,在重力作用下,质点在竖直平面内摆动。 i)在小角近似下,求系统能级;ii)求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级xx。 解: i)势能: 系统的哈密顿量 卯肿) 在小角近似下: 2kI ii)若不考虑小角近似 (iiXi 十卄卜尹+捫…卜尹 I识叮沪吟估) : ■㈣0)旳-殳評卩〉 利用公式 同样 型二徑忖罟))二》(晋胃即) 又 ii)严格解 发生了变化 £=丹+—阳I2丿 : 1占1沪 —QJ]+—+*八 2 k8*3 3.已知体系的能量算符为,其中,为轨道的角动量算 符。 (1)求体系能级的精确值。 (2)视项为微扰项,求能级至二级近似值。 [解]: i)精确解 令,并在平面上取方向 与z轴的夹角为,则 AA. ■込+吗= -J/+»(&cos5+L? sin切二J/+Z22b 0二应+J屏+7, 与相互对易,它们的本征值分别为 上0,12… ^=0+1+2/- 体系能级为 E恤=/0+1)护上+加侷+Z2 ¥ 二冷+1)肿+删妙(1+—十…) 2fi;J ii)微扰法 "50二应+龜*丸 的精确解为本征函数 本征能量 按微扰论 利用了公式 ■匕■'#■ f」阿二二Jg+牌)0-删+1)卩申一1〉.二J(j-潮)(2+潮+1)片购+1) 22 能量二级XX为 。 加卩川耐二号JQ+讽-朋+1)石久3-善&-朋+牌+1)切― 銘)二丄("): [(/+郴)(/一壇+1)_0_删)卩+脚+1)]二1梆; £ufi22tn 在二级近似下 =垃+射纶+刑曲+1曲2— 20) 4.三维谐振子,能量算符为,试写出能级和能量本征函 数。 如这振子又受到微扰,的作用,求最低的两个能级的微扰XX并和精确值比较。 [解]: (1设的能量本征函数为 代入方程 -『昭尙艸0艸⑵+玖舟艸⑵+9S艸仞旷⑵] +—用+b+/)宅(x)宅(刃申⑵二£T(x)T(y)T(z) 2 (? +/+? )=£ 卅严0)十叭为十妙⑵ 2/2T(z)刃>)爭⑵ [- £少+丄加刊+卜 2#空⑴2 卅叭刃 2“TO) 22技T(z)2 =£ 一—0(X)+丄啣由%吨(工)=垃申0)2/22 -工V⑵V然鱼»畑O)=E理(为 2p2 衣21 -——0⑵+—称亦/甲匕)二虽T0)2卩2 £=£j+E】+鸟 ^1二舟少(*+“』e2二衣曲匕+弓) 乙乙 畤與(3⑵二氏卫%0)%⑵ (2).基态的微绕xx 对基态波函数 基态能级的零级,无简并 能量的二级XX: 唯一不等于零的矩阵元为 32 (3).第一激发态 三度简并计算不为零的矩阵元为 =^mioo : ㈣朗010) 0 4 X 0 H*= —ha) 4 0 0 0 1. 0 0 I 久期方程 可求出能量的一级XX (4).精确解 H=-++y2+zs) 2m2 令 £些+打般]+(上刍+g开)+(上4+丄嗣9) 2m8^2加期22^? &2 &砧二(如+罗方马+(幻+㊁畑+(«>+ 1? Li[ii =(叫+㊁)倾+詳+(弓+尹呗一尹*松+2)ft 11321 …)+(弓+〒)去曲(1-亍-齐+…;叶(叫+于)弁② UI」乙Ui 基态 第一激发态 =-ftc? -—fia? -—ftfl;°”2416 二—Sa? -—Aqj 232 5.设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数,即试用 变分法证明,在束缚态下,动能T及势能V的平均值满足下列关 系(维里定理) [证]设粒子所用的态用归一化波函数描写则 歹訂旷(花”次一埜沪艸(砂g)必 P二[0厲”级(兀”力导(和忆)必 ■ E=TiV 取试态波函数为 由归一化条件 /*(久)"(久)必=C2|旷(就砂壮)¥(2,②Wx妙出二1 |邨Jp(忑lyf②怡(肚皿CW(②1=1 tl r(z)=矿(Z)(-J沪m(心必如 J2# 尤甲(妣,砂壮)1——(―yH—+―)]]^(2j: }^tXz)dxdydz 2)idx®dz =2("斫帥总尹着十診) T(2xpZy,危)£(3/(◎)/(② 弘)二]/(Q珥"讷Q必如 二J,矿(氏刼壮);T7(益妙龙艸(肚勿比)二孑(心归(妙)/(冷) A =炉]旷(氏屈氏)/(就妙&理(氏◎卫)d%)d%)d(>lz) 二刊 丹⑴二T⑴+卩⑷二只T+r7 腔④=2久歹一旳久"^二。 当时,试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。 应在时,取极值 2S 6.氢原子处于基态,加上交变电场,电离能,用微扰论 一级近似计算氢原子每秒离几率。 [解]: 解这一类问题要搞清楚三个要素,初态末态是什么? 微扰矩阵元? 初态: 氢原子基态 末态: 自由状态 戌£)二铠)6"瓦 2m 为能量为,在单位立体角的末态密度。 微扰 二肌产+严) ..I务r二気fj§(%-砺 凡严(壮風壮。 胡珀」 11/.— 叫sindr2d&i^r卫(剧尸 7.转动惯量为I,电偶极矩为D的平面转子,置于均匀场强E (沿x方向)中,总能量算符成为,为旋转角(从x轴算起)如果电场很强,很小,求基态能量近似值。 [解]: 方法 与一位谐振子的能量本征方程比较 有 •X(0)二 垃+加二? Jx■加 甲(儿盼二2(一珞兰阳) 他)“詐叭"护M址17 ^COS牯史P诃=_D虑P谢-0£(1-吕y) 414力 ai 仁[丽 ft 所得结果与方法二一致。 8.设在表象中,的矩阵表示为 其中,试用微扰论求能级二级XX [解]: 在表象中, 50 h'=00 皿+°+腭_風 第六章例题 1.有关泡利矩阵的一些关系的证明(注意应用一些已知结论) 1).; (2).; ⑶.; (4).设贝S, 【证】 (1) 2吓严®叩冋" (2). +心耳+巧耳)几刃+(巧屯+o■卫J匕內 .2.22 二久+^+久二P ⑶. +分;+<7卫』丿”+叭务从 +咛也+吶占坷珥人+诃占 二『+H巧k丿」+tr戶』/」+幻屯k」」 二尸+j耳6礼)+q伽j)+q(枫) AA ■厲A■ (4). [%Q」二[q+2#Q厂诂」 =1务口」—' 二-2辰,巧卜他 2.证明: 并利用此结论求本征值 【证】 冃丘J卽+ -%%+%cr卽+%%+%吟%%+5卫对°'/打 +%%%%+%%旳%+fflrff3lffliff2i+ffliffar%% =3+厅/“[%*厅冲]+呵%[%Q甌.+旷』功[cr据,乞」 =3+(iCTbXa%)+(%总%)+&%血6J AA 二3-2ffj馮 设的本征函数为 则 (5r? J27=2(5l5jz=232 又 3.设为常数,证明 【证】将展开成的幕级数,有 为偶数;为奇数 上式 勺佩严七勺饥严】 常-1比严点卜矿⑴如 =cosl+iffjffli1 4.求自旋角动量在任意方向(方位角为)的投影的本征值及 本征矢(在表象), _h 【解】在表象中 5p sinScosdS+— ro-? sinSsin^+— rlI J0丿 2 2 卫—L 在表象中的矩阵表示为 cos6 2I他? cos^+rsinfisin sinficossinsin奶 -cosS」 _h ~2 设的本征值为,相应本征矢为,本征方程为 解久期方程 将代入本征方程 COS&! +sin财辿a? =a1sm越叩的-CO3&1-2=a2 由归一化条件 对应的本征矢为 同样: 对应的本征矢为 通过本题讨论我们发现,的本征值为,自旋算符在任意方向 上的分量的本征值也是。 也进一步推广,对任一种角动量算符,如有的本征值为,的本征值为则在任意方向上的分量的本征值的可能值也为。 5.有一个定域电子(不考虑轨道运动)受均匀磁场作用,磁 场指向正方向,磁作用势为,设时电子的自旋向上,即求时的平均值。 [解]设自旋函数在表象中 体系的XX算符可表示为 则自旋态所满足的XX方程为 zft-疏f)二Hx(£)di 二有为 dt db(£)心 dt (R=(i)=-oj2a(t)a+o)2a(i)=0 同理 a(t)=sinat b(l)=Acos^+;5sin曲 又,自旋 讹)=16(0)=0 ..心^=0 再由 -』二FB^-A■0二-15=0 m(f)=cos找b©=-jsin 'cos01、 -ism込 h( ・・\ SP 'cosnl" —COS(2/ ? sin0/ J0; 2 r 厂isin取, =o £心)二 £3认)"紳瓠 込=-x+(f)■)=-cos2曲 22 6.在自旋态中,求 【解】 同理 io 7.已知电子的态函数为 其中已归一化, 求 (1).同时测量为,为的几率 (2).电子自旋向上的几率。 (3).和平均值。 [解]首先验证态函数是否归一化 十畑( =阖(诃科【執+右偶+存也+拥血 1同时测量为,为的几率 2电子自旋向上的几率: ③ =0 瓦=1巫凉严血 =0 8.考虑由两个相同粒子组成得体系。 设可能的单粒子态为,试求体系的可能态数目。 分三种情况讨论 (1)。 粒子为玻色子; (2)粒子为xx;(3)粒子为经典粒子. [解]①玻色子构成的系统,系统态函数必须是对称的 b.如两个粒子处于不同一单粒子态对称的波函数为 玖务如)二+甌©)%•(? 』+必(如)叭⑷)] 共三种,因而,对玻色子可能态数为六种, 1XX构成的系统,系统态函数必须是反对称的 全同XX不能处于同一态上(泡利原理)•反对称波函数的形式只 能是 共三种. 2 对经典粒子,全同粒子是可区分的,粒子体系波函数没有对称性要求,波函数形式只要求都可以) 9.试写出自旋的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数。 [解]自旋的两电子构成的是XX体系,体系状态的波函数是反对称的 爲=取(尸山)2(%陽) 每个电子处于自由状态,单电子的状态波函数为平面波 33 価)=(2曲)兀和如石)二(2斶兀略勒 它们所构成的对称波函数形式为 呼毎肩)=(2曲尸押忖)―乍 叮悅劲二-1[0心妙(弓)+臨©妙(观 它们所构成的反对称波函数形式为 笛侪用=台肉(耳)血(号)-如◎血(殆] 二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为: 却=2i(%)Q(也)卍=X1(%)乂丄(%) 22_2~2 卅=-i[ziWziM+Zii(%)] v22"53~2 总的波函数: 10.证明: 组成正交归一系 -2血)21(%)] 2~2 =hziMziMz\(眄Jzi(旳J+I2_2_2 _2_223 ③ 11.两个自旋为的粒子有磁相互作用,设它们的质量很大,动能可以忽略, 求此系统的所有能量本征值和本征函数。 [解] 护二聲+盅+2盒応二討+尹+2岳.岛 .&=护-討) 对两个自旋为的系统,总自旋量子数 对的本征函数为本征值为 能量本征值 对的本征函数 aA.3X. 0x224
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 量子力学 典型 例题 分析 解答