初一数学孟庆军校本课程《数学文化及其应用》.docx
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初一数学孟庆军校本课程《数学文化及其应用》
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校本课程开发方案
数学文化及其应用
山东省昌乐二中
初一级数学孟庆军
1
题目:
(一)题目:
数学文化及其应用
(二)课程标准
第一部分前言
数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。
由于实际的需要,数学在古代就产生了,现在已发展成一个分支众多的庞大系统。
数学与其他科学一样,反映了客观世界的规律,并成为理解自然,改造自然的有力武器。
对任何一门科学的理解,单有这门科学的具体知识是不够的,那怕你对这门知识掌握得足够丰富,还需要对这门学科的整体有正确的观点,需要了解这门学科的本质。
我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。
一、课程性质
本课程旨在通过数学文化及其应用,数学文化的应用,通过本课程的开发利用增长见识,启迪智慧,激发学生对数学学习的兴趣,提高学生的人文素养。
二、教学设计与安排
教学设计与安排:
第1部分第2部分第3部分第4部分第5部分第6部分第7部分数学与美数学是什么?
数学的内容数学的特点关于中等教育数学与人类文明数学的新用场教学要求一、教学要求为了提高校本课教学的有效性,特提出如下要求:
一、课堂秩序教师应创设动而不乱,静而不板,动静结合,收放适度的课堂,要努力激发学生学习兴趣,要有秩序地将全部学生的所有心思凝聚在课堂里,使学生真正成为课堂的主角。
二、教材使用校本教材是教学的参考。
教师要从学生的实际情况出发,符合其具体情况的可参考,不符合的则应取舍,甚至自己设计。
绝不可完全拘泥于教材,尤其不能忽略学生本身的经验、愿望、兴趣和生活、学习环境。
要把学生作
2
(1课时)(1课时)(1课时)(1课时)(1课时)(3课时)(2课时)
部分:
实施要求第二部分:
实施要求
为教学的基本出发点,要把课堂作为教学的基本生长点。
三、教学策略1.备课策略。
要从学生的学习活动的角度来备课。
这堂课有几项活动,怎样安排,在活动过程中教师怎样指导、怎样与学习互动,在活动过程中怎样进行评估和调控等要作为教师重点考虑的问题。
不仅要事先备课,还要教后单个或集体写出教学反思。
2.实施策略
(1)注重课堂提问的有效性。
既要注意提高的针对性与辐射面问题的难易程度,学生的个别差异,又要注意为学生提供思维的时间与空间,不要逼迫学生作立即反映,或急于把答案告诉学生。
还要注意反馈的积极态势,教师要始终保护学生回答问题的自尊心与自信心,更要注意鼓励学生思维的创新性。
(2)注重教学媒体运用的有效性。
要成功而有效地运用教学媒体进行课程教学,应该进行周详的设计,遵循一定的运用步骤。
(3)注重教学时间安排的有效性。
首先要合理安排课堂教学的时间密度,即单位时间内的教学活动的紧张度;其次要把握好课堂教学节奏,即考虑好教学要求的高度、教学内容的难度、教学进程的速度;第三要对教学时序以优化;第四要捕捉好教学时机。
(4)注重教学评价的有效性。
有效教学评价系统要解决好三个问题:
即谁来评价、评价什么、怎样评价。
有效教学评价人员包括学生、教师、同事、教学管理人员等。
评价内容主要从教师教学个性发展和学生的进步与发展两方面来考虑。
评价的方法主要有深入课堂、参加活动等进行观察,也可安排适当的课堂教学测试及发测量表进行测评,这种评价不是等到教学结果出来以后再给予评价,而是边教学边评价,对可能出现的偏差进行及时纠正。
(5)开放课堂。
根据需要将课堂设在教学需要的任何场所。
四、学习方式学习方式不在于一定要多么新,而在于用得恰当,用得适度,用得有效。
国家课程、地方课程运用的先学后教、自主、合作、探究等方式都可以运用根据教材内容还可以集中上活动课、综合课、实践课。
课堂学习过程要实际、真实,不能搞形式,求新鲜。
五、教学效率教师要先于学生学习校本课,并在教学中以促进学生和教师的发展为基础。
教师要结合校本课程的学习和教学实践不断地探索,并在实践中总结,
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改进校本课程。
教师要带头积累校本材料,要培养学生良好的学习习惯,要充分利用教材进行学潮指导,教师必须全面提高个人的素质,注重操作要处理校本课程与国家、地方课程的关系,要利用校本课程育人,尽量减轻学生课业负担过重,构建适合素质教育的课堂模式六、教材建设校本课程的教学,“关键是教材。
”而每个老师既是教材的实施者,也是再次开发者,更是开发与实施的研究者。
学校鼓励教师边实施、边开发、边研究。
教师要有一双发现校本教材内容重难点,要和所有相关的人一起编写校本教材,不断修订校本教材,要有编写品牌精品校本教材的智慧,尤其要注重校本教材的可操作,实践性和高效益。
评价要求二、评价要求1、评价方式:
在对校本课程评价的过程中,我们掌握的主要原则是:
评价方式应当灵活多样,可以采用作品展示、撰写心得体会、背诵朗诵、专题活动、相互交流、自我评价、作品评定、等形式。
2、评价内容①参与互动的态度,指是否主动积极,是否能表达表现,是否能倾听、协作、分享等;②参与互动的广度,指参与时间、参与方式、参与后的影响力等;③参与互动的深度,指思维活跃程度;
三、课程教材目录第一章第二章第三章第四章………………………数学与美………………………数学与美………………………数学是什么………………………数学是什么………………………数学的内容………………………数学的内容………………………数学的特点………………………数学的特点
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第五章第六章第七章
………………………关于中等教育………………………关于中等教育………………………数学与人类文明………………………数学与人类文明………………………数学的新用场………………………数学的新用场
前
正感兴趣的人有益。
言
数学既不严峻,也不遥远,它既和所有的人类活动有关,又对每一个真
数学的传奇就是攀登智慧之山的传奇。
诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外.入乎其内,故能写之.出乎其外,故能观之..入乎其内,故有生气,出乎其外,故有高致.
数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。
由于实际的需要,数学在古代就产生了,现在已发展成一个分支众多的庞大系统。
数学与其他科学一样,反映了客观世界的规律,并成为理解自然,改造自然的有力武器。
对任何一门科学的理解,单有这门科学的具体知识是不够的,那怕你对这门知识掌握得足够丰富,还需要对这门学科的整体有正确的观点,需要了解这门学科的本质。
我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。
今从以下几个方面来谈这个问题。
1数学与美
庄子说:
”判天地之美,析万物之理”。
日本物理学家,诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上,作为现代物理的指导思想及最高美
5
学原则。
这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。
通过本讲座,我们将展现数学精神的魅力,阐述数学推理之妙谛。
但数学之美的面纱是慢慢揭开的,数学推理的妙谛是逐渐展现的。
这涉及到科学与艺术的关系。
而艺术与科学的联系是天然的。
李政道说:
“科学和艺术是不可分割的,正像一枚硬币的两面。
它们共同的基础是人类的创造力,它们追求的目标都是真理的普遍性。
。
实际上,一切科学、哲学、数学和艺术的研究对”象不外乎天─大宇宙;地,自然界及其中一切动植物─中宇宙;人─最精密、最完善的小宇宙。
既然科学和艺术的研究对象是相同的,所以它们必然是相辅相成的两个领域。
这里需要指出,数学本身就是美学的四大构件之一。
这四大构件是,史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学。
因而数学教育是审美素质教育的一部分。
数学追求的目标是,从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。
所有这些都是美的标志。
但长期以来我们忽视对数学的美的教育。
讲述数学之美有利于培养鉴赏力。
值得注意的是,在历史上,重大课题的选择与结果的评价,美学价值是一个重要的标准。
例如,正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的;他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。
几年之后这个预言得到了物理学家的证实。
狄拉克后来说:
“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为,它没有什么使人非信不可的理由,但过去已经证明了这是有益的目标。
”为什么把美看得这样重要?
因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。
发现美、认识美和运用美,这是人类生存的要求。
反过来,美又是人类进步的动力。
追求美的实质就是追求自然界的数学美。
人类一步一步地揭示
6
自然界的数学规律,人类就越了解我们所处的宇宙的美。
希腊箴言说,美是真理的光辉。
因而追求美就是追求真。
英国诗人济慈写道:
美就是真,真就是美—这就是你所知道的,和你应该知道的。
法国数学家阿达玛说:
“数学家的美感犹如一个筛子,没有它的人永远成不了数学家。
”可见,数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。
那么,什么是美呢?
美有两条标准:
一,一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系(培根)二,,“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。
”(海森堡)。
这是科学和艺术共同追求的东西。
希尔伯特说:
“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。
它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。
在这个花园熟悉的小道上,你可以悠闲地观赏,尽情地享受,不需费多大力气,与心领神会的伙伴一起更是如此。
但我们更喜欢寻找幽隐的小道,发现许多意想不到的令人愉快的美景;当其中一条小道向我们显示出这一美景时,我们会共同欣赏它,我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。
”对美的追求起源于古代。
毕达哥拉斯发现,在相同张力作用下的弦,当它们的长度成简单的整数比时,击弦发出的声音听起来是和谐的。
正是基于这种认识,毕达哥拉斯学派定出了音律.顺便指出,我国在古代也以同样的方式确定了音律.这是人类第一次确立了可理解的东西与美之间的内在联系,是人类历史上一个真正重大的发现。
牛顿的万有引力公式,爱因斯坦的质能转换公式,既是美,又是真。
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数学的美表现在什么地方呢?
表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。
为什么我们这样重视美?
并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢?
因为人们常常忽视它。
人们只重视实用方面、科学方面,而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面,要么不予承认,即使承认,也认为只不过是次要的因素。
但事实上,实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。
把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个,或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。
数学是什么
给数学下定义是一个困难的问题。
对任何事物下定义都遇到同样的困难。
因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。
考虑全面性与历史发展,我们给数学下两个定义。
数学是数和形的学问。
数学是数和形的学问。
数学是一棵参天大树。
它的根深深地扎在我们的现实世界。
它有两个主干,一曰形─几何,一曰数─代数。
这棵树是如此之古老,它已有上万年的历史;这棵树是如此之长新,它年年都在发新枝;这棵树是如此之繁茂,它已深入到自然科学与社会科学的一切领域;这棵树是如此之奇特,它同根异干,同干异枝,同枝异叶,同叶异花,同花异果。
如果我们一辈子只停留在一个枝上,或只见一朵花,我们将永远见不到数学的多采和多姿。
见不到数学整体的宏伟和谐调。
我们先看数学大树的两大主干:
几何与代数。
几何:
空间形式的科学,视觉思维占主导,培养直觉能力,培养洞察力;代数:
数量关系的科学,有序思维占主导,培养逻辑推理能力。
8
记住,认不清几何与代数的基本特征,就是基本上没有学懂它们。
记住,认不清几何与代数的基本特征,就是基本上没有学懂它们。
特别要注意到,这两者相辅相成。
没有直觉就没有发明没有逻辑就没有证明。
有发明,意到,这两者相辅相成。
没有直觉就没有发明,没有逻辑就没有证明。
借助直觉发明的命题,要借助逻辑加以证明。
庞加莱说:
直觉发明的命题,要借助逻辑加以证明。
庞加莱说:
逻辑可以告诉我们走“这条路或那条路保证不遇到任何障碍,这条路或那条路保证不遇到任何障碍,但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。
为此必须从远处了望目标,而数学教导我们,我们达到目的地。
为此必须从远处了望目标,而数学教导我们,了望的本领是直觉。
英国数学家阿蒂亚说:
是直觉。
英国数学家阿蒂亚说:
几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的”“途径,而且它可以使人增加勇气,提高修养”遗憾的是,途径,而且它可以使人增加勇气,提高修养”遗憾的是,在通常的数学教。
学中只讲逻辑而很少讲直觉。
学中只讲逻辑而很少讲直觉。
如果只研究数与形,那是静态的,属于常量数学的范围。
所以只研究数与形是不够的,必须研究大小与形状是如何改变的。
这就产生了微积分。
它的延伸是,无穷级数,微分方程,微分几何等。
那么,什么是数学呢?
19世纪恩格斯给数学下了这样的定义:
“数学是关于空间形式和数量关系的科学。
”恩格斯关于数学的定义是经典的,概括了当时数学的发展,即使在目前也概括了数学的绝大部分。
但是在19世纪末,数理逻辑诞生了。
在数理逻辑中既没有数也没有形,很难归入恩格斯的定义。
于是人们又考虑数学的新定义数学是关于模式和秩序的科学.我们生活在一个由诸多模式组成的世界数学是关于模式和秩序的科学中:
春有花开,夏有惊雷,秋收冬藏,一年四季往复循环;球形的雨从云中飘落;繁星夜夜周而复始地从天空中划过;世界上没有两片完全相同的雪花,但所有的雪花都是六角形的。
人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系,它就是数学。
通过数学建立模式可以使知识条理化,并揭示自然界的奥秘。
模式和秩序的科学都是数学吗?
物理学,力学似乎也符合这个定义,所以需要作出某些界定。
物理学的基本元素:
基本粒子。
生物学的基本元素:
细胞。
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数学呢?
数,形,机会,算法与变化。
数学的处理对象分成三组:
数据,测量,观察资料;推断,演绎,证明:
自然现象,人类行为,社会系统的各种模式。
数学提供了有特色的思考方式:
抽象化:
选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究:
符号化:
把自然语言扩充,深化,而变为紧凑,简明的符号语言。
这是自然科学公有的思考方式,以数学为最。
公理化:
从前提,从数据,从图形,从不完全和不一致的原始资料进行推理。
归纳与演绎并用。
最优化:
考察所有的可能性,从中寻求最优解。
建立模型:
对现实现象进行分析。
从中找出数量关系,并化为数学问题。
应用这些思考方式的经验构成数学能力。
这是当今信息时代越来越重要的一种智力。
它使人们能批判地阅读,辨别谬误,摆脱偏见,估计风险。
数学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。
数学的内容
大致说来,数学分为初等数学与高等数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分:
几何学与代数学。
几何学是研究空间形式的学科,而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容,以大学本科所学为限,它主要包含:
解析几何:
用代数方法研究几何,其中平面解析几何部分内容已放到中学。
线性代数:
研究如何解线性方法组及有关的问题。
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高等代数:
研究方程式的求根问题。
微积分:
研究变速运动及曲边形的求积问题。
作为微积分的延伸,物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。
概率论与数理统计:
研究随机现象,依据数据进行推理。
所有这些学科构成高等数学的基础部分,在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。
数学的特点
数学区分于其它学科的明显特点有三个:
第一是它的抽象性,第二是它的精确性,第三是它的应用的极端广泛性。
从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。
数本身就是一个抽象概念,几何中的直线也是一个抽象概念,全部数学的概念都具有这一特征。
整数的概念,几何图形的概念都属于最原始的数学概念。
在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。
但是需要指出,所有这些抽象度更高的概念,都有非常现实的背景。
不过,抽象不是数学独有的特性,任何一门科学都具有这一特性。
因此,单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。
数学抽象的特点在于:
第一,在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切;第二,数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象;第三,数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。
如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验,那么数学家证明定理只需用推理和计算。
这就是说,不仅数学的概念是抽象的、思辨的,而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
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数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。
这点读者从中学数学就已很好的懂得了。
当然,数学的严格性不是绝对的,一成不变的,而是相对的,发展着的,这正体现了人类认识逐渐深化的过程。
数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。
正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的,宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在,凡是出现“量”的地方就少不了用数学,研究量的关系,量的变化,量的变化关系,量的关系的变化等现象都少不了数学。
数学之为用贯穿到一切科学部门的深处,而成为它们的得力助手与工具,缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化,更不能由已知数据推出其它数据,因而就减少了科学预见的可能性,或减弱了科学预见的精确度。
关于中等教育
为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家,中学数学教育起着关键的作用。
以下几点应当受到注意:
1).将应试教育转为素养教育。
要培养学生善于思考,有独创精神,而不只是常于记忆,巧于应考。
这对我们民族的长远利益是极关重要的。
2).中学数学教育的中心应实现三个转变:
从具体数学到概念化数学的转变,发展符号意识;从常量数学到变量数学的转变;从直观描述到严格证明的转变,建立严密的逻辑思维意识。
3).向学生提供数学主流的核心部分,为微积分,统计学和计算机作好准备。
4).计算机教育应尽早进行。
计算机的出现必将改变中等教育的方式与内容。
首先,建立在计算机与人脑思维相结合之上的新教学法,将有利于培养
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学生的洞察力,理解力,以及数学直观。
其次,离散数学、图论、进位制系统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。
科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步,数学也就成为教育议事日程上极其重要的问题。
数学是科学和技术的基础。
数学在决定国家的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。
数学与人类文明
王国维在《人间词话》中说:
“诗人对宇宙人生,须入乎其内,又须出乎其外.入乎其内,故能写之.出乎其外,故能观之..入乎其内,故有生气,出乎其外,故有高致.”只知入乎其内,那是见木不见林,常常会迷失方向.所以还要辅助以出乎其外,站出来作高瞻远瞩.不站出来,就不知道数学的根在何处,不知道自己研究的最终目的与最终方向是什么.不站出来,就看不到数学与别的学科的密切联系与相互影响.不站出来,就看不到数学对人类文明的巨大贡献.整个人类文明的历史就像长江的波浪一样,一浪高过一浪,滚滚向前.科学巨人们站在时代的潮头,以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮.我们认为,整个人类文明可以分为三个鲜明的层次:
1)以锄头为代表的农耕文明;2)以大机器流水线作业为代表的工业文明;3)以计算机为代表的信息文明.数学在这三个文明中都是深层次的动力.其作用一次比一次明显.数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量.它不仅在科学推理中具有重要的价值,在科学研究中起着核心的作用,在工程设计中必不可少.而且,数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法,摧毁和构造了诸多宗教教义,为
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政治学和经济学提供了依据,塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格,创立了逻辑学.数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答案.作为理性的化身,数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域,并取而代之,成为其思想和行动的指南.这里,还需要指出,数学文化包含两个方面.一是作为人类文化子系统的数学,它自身的发生、发展的规律,以及它自身的结构;一是它与其它文化的关系,与整个人类文明的关系.今天报告希望兼顾两个方面,但重点放在第二个方面.我们必须认识到,数学对人类文化的影响有这样一些特点:
由小到大,由弱到强,由少到多,由隐到显,由自然科学到社会科学.简而言之,今天我们要唱一曲数学的赞歌,赞美数学思想的博大精深,赞美由数学文化引出的理性精神,以及在理性精神的指导下,人类文明的蓬勃发展.1)古希腊的数学。
古希腊人最了不起的贡献是,他们认识到,数学在人类)古希腊的数学。
文明中的基础作用.这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括:
自然数是万物之母.毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理.他们对周围世界作了周密的观察,发现了数与几何图形的关系,数与音乐的和谐,他们还发现数与天体的运行都有密切关系.他们把整个学习过程分成四大部分:
1)数的绝对理论—算术;2)静止的量—几何;3)运动的量—天文;4)数的应用—音乐.合起来称为四艺.他们得到结论:
自然数是万物之母.宇宙中的一切现象都以某种方式依赖于整数.但是当他们利用毕达哥拉斯定理发现2不能表示为两个整数的比,即,2不是有理数时,受到了极大的震动.这就爆发了第一次数学危机.数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程碑,它的产生与克服都具有重要的意义.第一次数学危机表明,当时希腊的数学已经发展到这样的阶段:
证明进入了
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数学,数学已由经验科学变为演绎科学.中国,埃及,巴比伦,印度等国的数学没有经历这样的危机,因而一直停留在实验科学,即算术的阶段.希腊则走上了完全不同的道路,形成了欧几里得的”几何原本”与亚里士多得的逻辑体系,而成为现代科学的始祖.2)欧几里得的几何原本。
)欧几里得的”几何原本欧几里得的”几何原本”(Euclid,约公元前330几何原本”。
前275)的出现是数学史上的一个伟大的里程碑.从它刚问世起就受到人们的高度重视.在西方世界除了”圣经”以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与”几何原本”相比.自1482年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种版本.在我国,明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6卷,于1607年出版.中译本书名为”几何原本”.徐光启曾对这部著作给以高度评价.他说:
”此书有四不必:
不必疑,不必揣,不必试,不必改.有四不可得:
欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得.有三至三能:
似至晦,实至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难,实至易,故能以其易易他物之至难.易生于简,简生于明,综其妙在明而已.”“几何原本”的传入对我国数学界影响颇大.欧几里得的”几何原本”被称为数学家的圣经,在数学史,乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位.它在数学上的主要贡献是什么呢?
1)成功地将零散的数学理论编为一个
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