华师网络学院数学建模在线作业题答案.docx
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华师网络学院数学建模在线作业题答案
数学建模作业题
注意事项:
作业共十题,每题十分,全部是比较简单的建模计算题,题目既是课本上的习题,在课本304~315有参考解答,又是在线题库的题目,在题库里有更详细的解答。
学员应该先自己动脑筋解决,然后才参考一下课本及题库的解答。
评分高低主要是看完成作业的态度、独立程度和表达清晰程度。
上传的作业必须是包括全部作业的单独一份word文档,必须自己录入,不允许扫描,不允许直接插入题库答案中的图片。
严重违反者,不及格。
请于有效期结束前两周提交上传作业,教师尽快批改,请学员有效期结束前一周查看成绩,不及格的学员可以在课程答疑栏目提出或者课程论坛提出重交申请,教师删除原作业后,这些学员可以在有效期结束前之前重交作业。
每人只有一次重交机会。
作业题与考试相关(当然不会一模一样),认真完成作业的学员,必将在考试取得好成绩。
一、教材76页第1章习题1第7题(来自高中数学课本的数学探究问题,满分10分)表1.17是某地一年中10天的白昼时间(单位:
小时),请选择合适的函数模型,并进行数据拟合.
表1.17某地一年中10天的白昼时间
日期
1月1日
2月28日
3月21日
4月27日
5月6日
白昼时间
5.59
10.23
12.38
16.39
17.26
日期
6月21日
8月14日
9月23日
10月25日
11月21日
白昼时间
19.40
16.34
12.01
8.48
6.13
1.解:
根据地理常识,某地的白昼时间是以一年为周期变化的,以日期在一年中的序号
为自变量x,以白昼时间为因变量y,则根据表1.17的数据可知在一年(一个周期)内,随着x的增加,y先增后减,y大约在6月21日(夏至)达到最大值,在12月21日(冬至)达到最小值,在3月21日(春分)或9月21日(秋分)达到中间值。
选择正弦函数
2π
y=Asin(365x—1.3712)+12.385
预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时
二、教材100页第2章习题2第1题(满分10分)
继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例,请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样
吗?
“两秒准则”是否足够安全?
对于安全车距,你有没有更好的建议?
2.解:
“两秒准则”表明前后车距D与车速ν成正比例关系D=K2ν,其中K2=2s,对于
小型汽车,“一车长度准则”与“两秒准则”不一致。
由d—D=ν[κ2ν—(K2—κ1)]
可以计算得到当ν<(K2—κ1)/κ2=54.428㎞/h时有d 或者吧刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中,根据图形指出“两秒准则”足够安全的车速范围。 用最大刹车距离除以车速,得到最大刹车距离所需要的尾随时间,并以尾随时间为根据,提出更安全的准则,如“3秒准则”、“4秒准则”或“t秒准则”(如下图)。 t秒准则,刹车距离的模型和数据 三、教材100页第2章习题2第3题(满分10分) 继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例,做灵敏度分析,分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响. 解: (1)考虑每天投入的资金c发生的相对为△c/c,则生猪饲养的天数t发生的相对变化△t/t是△c/c的多少倍,即定义t对c的灵敏度为 由课本上可知t=rp(0)-2ggωr(0)-c② 2gr rp(0)-gω(0)c 所以t=2gr-2gr,所以t是c的减函数 为了使t﹥0,c应满足rp(0)-gω(0)-c>0结合①② 示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%,出售时间就应该提前2% 2)同 (1)理总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为 结合③④得 思是如果每天投入的资金c增加1%,那么最大利润就会减少4% 四、教材143页第3章习题3第2题(满分10分) 某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下,年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%.假设开始时有100只山猫,按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势: (1)三种自然环境下25年的变化过程,结果要列表并图示; (2)如果每年捕获3只,山猫数量将如何变化? 会灭绝吗? 如果每年只捕获1只呢? (3)在较差的自然环境下,如果要使山猫数量稳定在60只左右,每年要人工繁殖多少只? ①解记第k年山猫xk,设自然坏境下的年平均增长率为r,则列式得 xk+1=(1+r)xk,k=0,1,2⋯ 其解为等比数列 xk=x0(1+r)k,k=0,1,2⋯ 当分别取r=0.0168,0.0055和-0.0450时,山猫的数量在25年 内不同的环境下的数量演变为 年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 102 101 96 2 103 101 91 3 105 102 87 4 107 102 83 5 109 103 79 6 111 103 76 7 112 104 72 8 114 104 69 9 116 105 66 10 118 106 63 11 120 106 60 12 122 107 58 13 124 107 55 14 126 108 52 15 128 109 50 16 131 109 48 17 133 110 46 18 135 110 44 19 137 111 42 20 140 112 40 21 142 112 38 22 144 113 36 23 147 113 35 24 149 114 33 25 152 115 32 从上可以得出结论: 1) 在较好的自然环境下即 无限增长; 2) 在中等的自然环境下即 r=0.0168时,xk单调增趋于无穷大,山猫的数量将 r=0.0055时,xk单调增并且趋于稳定值; 3)在较差的环境中即r=-0.0450时,xk单调衰减趋于0,山猫将濒临灭绝。 ②若每年捕获3只,b=-3,则列式为 Xk+1=(1+r)xk-b 则山猫在25年内的演变为 年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 99 98 93 2 97 95 85 3 96 93 78 4 95 90 72 5 93 88 66 6 92 85 60 7 90 83 54 8 89 80 49 9 87 77 43 10 86 75 39 11 84 72 34 12 83 70 29 13 81 67 25 14 79 64 21 15 78 62 17 16 76 59 13 17 74 56 10 18 73 54 6 19 71 51 3 20 69 48 0 21 67 46 -3 22 65 43 -6 23 63 40 -9 24 61 37 -11 25 59 35 -14 由图上可知,无论在什么环境下,如果每年捕获山猫3只,单调减趋于0,那么最终山猫的数量都会灭绝,在较差的环境中第20年就会灭绝。 同理,如果每年人工捕获山猫1只,那么山猫在不同环境中的演变为 年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 101 100 95 2 101 99 89 3 102 99 84 4 103 98 79 5 104 98 75 6 104 97 70 7 105 97 66 8 106 96 62 9 107 96 59 10 107 95 55 11 108 95 51 12 109 94 48 13 110 94 45 14 111 93 42 15 111 93 39 16 112 92 36 17 113 92 34 18 114 92 31 19 115 91 29 20 116 91 26 21 117 90 24 22 118 90 22 23 119 89 20 24 120 88 18 25 121 88 16 如果每年人工捕获山猫一只,在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加,在中等的环境下,山猫的数量趋于稳定,但会慢慢减少,在较差的环境下,山猫的数量一直在减少,很快就会灭绝。 ③若要使山猫的数量稳定在60只左右,设每年需要人工繁殖b只,到第k年山猫的数量为xk=(1+r)xk-1+b,k=0,1,2⋯ 这时xk=xk-1=60,r=-4.5%,代入上式得b≈3 五、教材143页第3章习题3第4题(满分10分)某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金,学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行,第二年一到期就支取,取出一部分作为当年的奖学金,剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行⋯⋯请你研究这个问题,并向学院领导写一份报告. 解: 记存款的年利息为r,由于一开始存入银行的本金为x0,第k年存入 银行的钱为Xk,并且每年取出当奖金的钱为b,则它们之间存在的关系有: 每年利息=本年存入款项年利息每年取出款项=上一年存入款项+每年利息 每年存入款项=每年取出款项奖金 列式得: 由上式解得 由实际情况,已知x0=20(万元),r在近10多年的变化幅度在2%~4% 之间,我们取3个值,分别为2%,3%,4%, 1)当年利率为2%时,每年存入款项随奖金数变化如下 年数奖金数额2千元4千元6千元 020.000020.000020.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4040 20.0000 19.5960 3.0000 20.6121 20.0000 19.3879 4.0000 20.8243 20.0000 19.1757 5.0000 21.0408 20.0000 18.9592 6.0000 21.2616 20.0000 18.7384 7.0000 21.4869 20.0000 18.5131 8.0000 21.7166 20.0000 18.2834 9.0000 21.9509 20.0000 18.0491 10.0000 22.1899 20.0000 17.8101 11.0000 22.4337 20.0000 17.5663 12.0000 22.6824 20.0000 17.3176 13.0000 22.9361 20.0000 17.0639 14.0000 23.1948 20.0000 16.8052 15.0000 23.4587 20.0000 16.5413 16.0000 23.7279 20.0000 16.2721 17.0000 24.0024 20.0000 15.9976 18.0000 24.2825 20.0000 15.7175 19.0000 24.5681 20.0000 15.4319 20.0000 24.8595 20.0000 15.1405 21.0000 25.1567 20.0000 14.8433 22.0000 25.4598 20.0000 14.5402 23.0000 25.7690 20.0000 14.2310 24.0000 26.0844 20.0000 13.9156 25.0000 26.4061 20.0000 13.5939 26.0000 26.7342 20.0000 13.2658 27.0000 27.0689 20.0000 12.9311 28.0000 27.4102 20.0000 12.5898 29.0000 27.7584 20.0000 12.2416 30.0000 28.1136 20.0000 11.8864 ①当年利率为2%,学金定为4千元时,因为0 r 1,x0 0,经验算得知xk x0 b, r 因此存款的数额将趋于稳定 ②当年利率为2%,奖学金的数额大于4千元时, xk单调递减并且将在某一年变为零 .同理, 当奖学金的数额小于4千元时,存款的数额将会无限增长 2)当年利率为3%时,每年存入款项随奖金数变化如下 年数奖金数额4千元6千元 8千元 0 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 2.0000 20.4060 20.0000 3.0000 20.6182 20.0000 4.0000 20.8367 20.0000 5.0000 21.0618 20.0000 6.0000 21.2937 20.0000 7.0000 21.5325 20.0000 8.0000 21.7785 20.0000 9.0000 22.0318 20.0000 10.0000 22.2928 20.0000 11.0000 22.5616 20.0000 12.0000 22.8384 20.0000 20.0000 19.8000 19.5940 19.3818 19.1633 18.9382 18.7063 18.4675 18.2215 17.9682 17.7072 17.4384 17.1616 13.000014.000015.000016.000017.000018.000019.000020.000021.000022.000023.000024.000025.000026.000027.000028.000029.000030.0000 23.1236 23.4173 23.7198 24.0314 24.3523 24.6829 25.0234 25.3741 25.7353 26.1074 26.4906 26.8853 27.2919 27.7106 28.1419 28.5862 29.0438 29.515120.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.0000 16.8764 16.5827 16.2802 15.9686 15.6477 15.3171 14.9766 14.6259 14.2647 13.8926 13.5094 13.1147 12.7081 12.2894 11.8581 11.4138 10.9562 10.4849 此存款的数额将趋于稳定②当年利率为3%,奖学金的数额大于6千元时,xk单调递减并且将在某一年变为零.同理, 当奖学金的数额小于6千元时,存款的数额将会无限增长 3)当年利率为4%时,每年存入款项随奖金数变化如下 年数奖金数额 6千元 8千元 1万元 0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.2000 20.0000 19.8000 2.0000 20.4080 20.0000 19.5920 3.0000 20.6243 20.0000 19.3757 4.0000 20.8493 20.0000 19.1507 5.0000 21.0833 20.0000 18.9167 6.0000 21.3266 20.0000 18.6734 7.0000 21.5797 20.0000 18.4203 8.0000 21.8428 20.0000 18.1572 9.0000 22.1166 20.0000 17.8834 10.0000 22.4012 20.0000 17.5988 11.0000 22.6973 20.0000 17.3027 12.0000 23.0052 20.0000 16.9948 13.0000 23.3254 20.0000 16.6746 14.0000 23.6584 20.0000 16.3416 15.0000 24.0047 20.0000 15.9953 16.0000 24.3649 20.0000 15.6351 17.0000 24.7395 20.0000 15.2605 18.0000 25.1291 20.0000 14.8709 19.0000 25.5342 20.0000 14.4658 20.0000 25.9556 20.0000 14.0444 21.0000 26.3938 20.0000 13.6062 22.0000 26.8496 20.0000 13.1504 23.0000 27.3236 20.0000 12.6764 24.0000 27.8165 20.0000 12.1835 25.0000 28.3292 20.0000 11.6708 26.0000 28.8623 20.0000 11.1377 27.0000 29.4168 20.0000 10.5832 28.0000 29.9935 20.0000 10.0065 29.0000 30.5933 20.0000 9.4067 30.0000 31.2170 20.0000 8.7830 ①年利率为4%,学金定为8千元时,因为0r1,x00,经验算得知xkx0b,因r此存款的数额将趋于稳定. ②当年利率为4%,奖学金的数额大于8千元时,xk单调递减并且将在某一年变为零.同理, 当奖学金的数额小于8千元时,存款的数额将会无限增长 六、教材143页第3章习题3第5题(满分10分) 有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式(指本金一次存入,分次支取本金的一种储蓄)存入,从第一个月开始每月支取1000元,银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金.请你计算老人多少岁时将把养老金用完? 如果想用到80岁,问60岁时应存入多少钱? 解: 记养老金第k月末的银行账户余额为xk元,则列式为xk+1=(1+r)xk-b 根据一阶线性常系数非齐次差分方程得 bkb xk=(x0+r)(1+r)k-rk=0,1,2,3⋯⋯ 由题目可知x0=100000,b=1000元,r=0.003,所以账户余额的变化如下 月份 0 1.00002.00003.00004.00005.00006.00007.00008.00009.000010.0000 11. 余额10.00009.93009.85989.78949.71879.64799.57689.50569.43419.36249.29059.21839.14609.07349.00078.92778.85448.78108.70748.63358.55948.48518.41058.33578.26078.18558.11018.03447.95857.88247.80607.72957.65267.57567.49837.42087.34317.26517.18697.10857.02986.95096.8717 000012.000013.000014.000015.000016.000017.000018.000019.000020.000021.000022.000023.000024.000025.000026.000027.000028.000029.000030.000031.000032.000033.000034.000035.000036.000037.000038.000039.000040.000041.000042.0000 43.0000 44.0000 45.0000 46.0000 47.0000 48.0000 49.0000 50.0000 51.0000 52.0000 53.0000 54.0000 55.0000 56.0000 57.0000 58.0000 59.0000 60.0000 61.0000 62.0000 63.0000 64.0000 65.0000 66.0000 67.0000 68.0000 69.0000 70.0000 71.0000 72.0000 73.0000 74.0000 75.0000 76.0000 77.0000 78.0000 79.0000 80.0000 81.0000 82.0000 83.0000 84.0000 85.0000 86.0000 6.7924 6.7127 6.6329 6.5528 6.4724 6.3918 6.3110 6.2300 6.1486 6.0671 5.9853 5.9032 5.8210 5.7384 5.6556 5.5726 5.4893 5.4058 5.3220 5.2380 5.1537 5.0691 4.9844 4.8993 4.8140 4.7284 4.6426 4.55
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