矩形的性质与判定典型例题.docx
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矩形的性质与判定典型例题
矩形的证明题目
一.选择题(共5小题)
1.(2016春•巴南区校级月考)如图矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成的,其中,第①个矩形的周长为6,第②个矩形的周长为10,第③个矩形的周长为16,…,则第⑧个矩形的周长为( )
A.168B.170C.178D.188
2.(2016•姜堰区校级模拟)矩形ABCD中,AB=4,BC=8,矩形CEFG上的点G在CD边,EF=a,CE=2a,连接BD、BF、DF,则△BDF的面积是( )
A.32B.16C.8D.16+a2
3.(2016•深圳模拟)如图所示,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则下面的结论:
①△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE,
其中正确结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.(2015•十堰一模)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为( )
A.8
B.8C.4
D.6
5.(2015•天台县模拟)如图,矩形ABCD中,BC=1,连接AC与BD交于点E1,过E1作E1F1⊥BC于F1,连接AF1交BD于E2,过E2作E2F2⊥BC于F2,连接AF2交BD于E3,过E3作E3F3⊥BC于F3,…,以此类推,则BFn(其中n为正整数)的长为( )
A.
B.
C.
D.
二.解答题(共25小题)
6.(2015•龙岩)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF⊥EC.
(1)求证:
AE=DC;
(2)已知DC=
,求BE的长.
7.(2015•玉林)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;
(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.
8.(2015•石家庄二模)已知:
如图所示,四边形ABCD是矩形,分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD,点E在矩形上方,点F在矩形内部,连接AE、EF.
(1)求∠ECF的度数;
(2)求证:
AE=FE.
9.(2015春•巴南区校级期末)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD内部,延长AF交CD于点G.
(1)猜想线段GF与GC有何数量关系并证明你的结论;
(2)若AB=3,AD=4,求线段GC的长.
10.(2015秋•开江县期末)已知,四边形ABCD是长方形,F是DA延长线上一点,CF交AB于点E,G是CF上一点,且AG=AC,∠ACG=2∠GAF.
(1)若∠ACB=60°,求∠ECB的度数.
(2)若AF=12cm,AG=,求△AEF中EF边上的高
11.(2015春•宜兴市校级期中)定义:
如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.应用:
如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:
△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
12.(2015春•汕头校级期中)如图所示,在矩形ABCD中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C,对角线相交于点A1,再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C,对角线相交于点O1;再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推.
(1)求矩形ABCD的面积;
(2)求第1个平行四边形OBB1C的面积是
第2个平行四边形A1B1C1C是
第3个平行四边形OB1B2C的面积是
(3)第n个平行四边形的面积是 .
13.(2015春•青山区期中)如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.
(1)求证:
四边形ABCD为矩形;
(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.
①如图2,若F为AD中点,DF=,求CF的长度:
②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC= ,AF= .
14.(2015春•富顺县校级月考)矩形ABCD中,AB=3,AD=4;P是AD上的任意一点,过P作PE⊥OA,PF⊥OD,求PE+PF的值
15.(2015春•启东市校级月考)如图,已知矩形ABCD中,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB,MD.
(1)求证:
BE=DC;
(2)求证:
∠MBE=∠MDC.
(3)如果AB=6,AD=10,则四边形ABMD面积= .
16.(2014•丹东一模)
(1)如图1,四边形ABCD是矩形,E为AD上一点,且BE=ED,P为对角线BD上一点,PF⊥BE于点F,PG⊥AD于点G.判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由.
(2)如图2,当四边形ABCD变为平行四边形,其他条件不变,若∠ABC=60°,判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由.
(3)如图3,当四边形ABCD满足∠ABD=90°,AB=3,BD=4,其它条件不变,判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由.
17.(2014•南岸区一模)如图,在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,点F是CB延长线上一点,连接EF交AB于点G,且DE=BF.AE的垂直平分线MN交AE于点N、交EF于点M.若∠AFG=2∠BFG=45°,AF=2.
(1)求证:
AF=CE;
(2)求△CEF的面积.
18.(2014春•涪陵区期末)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10.
(1)求矩形ABCD的周长;
(2)E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处.
①求DE的长;
②点P是线段CB延长线上的点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,求PB的长.
(3)M是AD上的动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和.
19.(2014春•郯城县期末)如图1,在平面直接坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0)、(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.(友情提示:
?
图2、图3备用,‚不要漏解)
20.(2013秋•渝中区校级期末)如图,点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,G是AF的中点,再连接DG、DE,且DE=DG.
(1)求证:
∠DEA=2∠AEB;
(2)若BC=2AB,求∠AED的度数.
21.(2014春•宜昌校级期末)在矩形ABCG中,点D是AG的中点,点E是AB上一点,DE⊥DC,CE交BD于F,
(1)求证:
ED平分∠AEC;
(2)当∠BEC=60°,且AE=1时,求矩形ABCG的面积;
(3)当BE=BC,求证:
BD平分∠CDE.
22.(2014春•沂水县期末)数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样,往往起源于猜测中的发现,我们所发现的不一定对,但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后,当所发现的在逻辑上没有矛盾之后,就可以作为新的推理的前提,数学中称之为定理.
(1)尝试证明:
等腰三角形的探索中借助折纸发现:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.但是当时并未说明这个结论的合理.现在我们学些了矩形的判定和性质之后,就可以解决这个问题了.如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线,则
,你能用矩形的性质说明这个结论吗请说明.
(2)迁移运用:
利用上述结论解决下列问题:
①如图2所示,四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,EF分别是BD、AC的中点,请你说明EF与AC的位置关系.
②如图3所示,▱ABCD中,以AC为斜边作Rt△ACE,∠AEC=90°,且∠BED=90°,试说明平行四边形ABCD是矩形.
23.(2014春•金川区校级期中)如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由.
24.(2014春•合川区校级期中)如图,在矩形ABCD中,点E为CD上一点,将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处,过F作FH⊥BC于H,交BE于G,连接CG.
(1)求证:
四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四边形CEFG的面积.
25.(2014春•仙桃期中)矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG,使B点正好落在CD上的点E处,连BE.
(1)求证:
∠BAE=2∠CBE;
(2)如图2,连BG交AE于M,点N为BE的中点,连MN、AF,试探究AF与MN的数量关系,并证明你的结论.
26.(2014春•青县校级期中)如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时发,当点P运动到点B时,P、Q同时运动停止,设运动时间为t秒.
(1)求CD的长;
(2)当t为何值时,四边形PBQD为平行四边形
(3)在运动过程中,是否存在四边形BCQP是矩形若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
27.(2013•遵义)如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:
CM=CN;
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:
1,求
的值.
28.(2013•郑州模拟)
(1)如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG;
(2)若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;
(3)如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC,连接CL,点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;
(4)观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系,并满足
(1)或
(2)的结论,写出相关题设的条件和结论.
29.(2013•重庆模拟)如图,矩形ABCD中,点E为矩形的边CD上任意一点,点P为线段AE中点,连接BP并延长交边AD于点F,点M为边CD上一点,连接FM,且∠1=∠2.
(1)若AD=2,DE=1,求AP的长;
(2)求证:
PB=PF+FM.
30.(2013•南岸区校级模拟)如图,在矩形ABCD中,点M、N在线段AD上,∠MBC=∠NCB=60°,点E、F分别为线段CN、BC上的点,连接EF并延长,交MB的延长线于点G,EF=FG.
(1)点K为线BM的中点,若线段AK=2,MN=3,求矩形ABCD的面积;
(2)求证:
MB=NE+BG.
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- 矩形 性质 判定 典型 例题