新课标202x高考数学大一轮复习 第九章 解析几何 题组层级快练55 圆的方程及直线与圆的位置关.docx
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新课标202x高考数学大一轮复习第九章解析几何题组层级快练55圆的方程及直线与圆的位置关
题组层级快练(五十五)
1.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为( )
A.(-1,1) B.(1,-1)
C.(-1,0)D.(0,-1)
答案 D
解析 r=
=
,
当k=0时,r最大.
2.(2019·贵州贵阳一模)圆C与x轴相切于T(1,0),与y轴正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,则圆C的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-
)2=2B.(x-1)2+(y-2)2=2
C.(x+1)2+(y+
)2=4D.(x-1)2+(y-
)2=4
答案 A
解析 由题意得,圆C的半径为
=
,圆心坐标为(1,
),∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-
)2=2,故选A.
3.已知圆C:
x2+y2+Dx+Ey+F=0,则“E=F=0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a,0)),且半径r=|a|.∴当E=F=0且D<0时,圆心为(-
,0),半径为|
|,圆C与y轴相切于原点;圆(x+1)2+y2=1与y轴相切于原点,但D=2>0,故选A.
4.(2019·重庆一中一模)直线mx-y+2=0与圆x2+y2=9的位置关系是( )
A.相交B.相切
C.相离D.无法确定
答案 A
解析 方法一:
圆x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,直线mx-y+2=0恒过点A(0,2),而02+22=4<9,所以点A在圆的内部,所以直线mx-y+2=0与圆x2+y2=9相交.故选A.
方法二:
求圆心到直线的距离,从而判定.
5.(2015·山东)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切
,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-
或-
B.-
或-
C.-
或-
D.-
或-
答案 D
解析 由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2)即kx-y-2k-3=0,又因为反射光线与圆相切,
所以
=1⇒12k2+25k+12=0⇒k=-
,或k=-
,故选D项.
6.已知圆C关于x轴对称,经过点(0,1),且被y轴分成两段弧,弧长之比为2∶1,则圆的方程为( )
A.x2+(y±
)2=
B.x2+(y±
)2=
C.(x±
)2+y2=
D.(x±
)2+y2=
答案 C
解析 方法一:
(排除法)由圆心在x轴上,则排除A,B,再由圆过(0,1)点,故圆的半径大于1,排除D,选C.
方法二:
(待定系数法)设圆的方程为(x-a)2+y2=r2,圆C与y轴交于A(0,1),B(0,-1),由弧长之比为2∶1,易知∠OCA=
∠ACB=
×120°=60°,则tan60°=
=
,所以a=|OC|=
,即圆心坐标为(±
,0),r2=|AC|2=12+(
)2=
.所以圆的方程为(x±
)2+y2=
,选C.
7.(2019·保定模拟)过点P(-1,0)作圆C:
(x-1)2+(y-2)2=1的两条切线,设两切点分别为A,B,则过点A,B,C的圆的方程是( )
A.x2+(y-1)2=2B.x2+(y-1)2=1
C.(x-1)2+y2=4D.(x-1)2+y2=1
答案 A
解析 P,A,B,C四点共圆,圆心为PC的中点(0,1),半径为
|PC|=
=
,则过点A,B,C的圆的方程是x2+(y-1)2=2.
8.直线xsinθ+ycosθ=2+sinθ与圆(x-1)2+y2=4的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交D.以上都有可能
答案 B
解析 圆心到直线的距离d=
=2.
所以直线与圆相切.
9.(2013·山东,理)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
答案 A
解析 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又kAB·kPC=-1,且kPC=
=
,∴kAB=-2.
故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.
另解:
易知P,A,C,B四点共圆,其方程为(x-1)(x-3)+(y-0)(y-1)=0,即x2+y2-4x-y+3=0.
又已知圆为x2+y2-2x=0,
∴切点弦方程为2x+y-3=0,选A.
10.(2019·湖南师大附中月考)已知圆x2+(y-1)2=2上任一点P(x,y),其坐标均使得不等式x+y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)D.(-∞,-3]
答案 A
解析 如图,圆应在直线x+y+m=0的右上方,圆心C(0,1)到l的距离为
,切线l1应满足
=
,∴|1+m|=2,m=1或m=-3(舍去).从而-m≤-1,∴m≥1.
11.(2019·福建福州质检)若直线x-y+2=0与圆C:
(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B两点,则
·
的值为( )
A.-1B.0
C.1D.6
答案 B
解析 联立
消去y,
得x2-4x+3=0.解得x1=1,x2=3.
∴A(1,3),B(3,5).
又C(3,3),∴
=(-2,0),
=(0,2).
∴
·
=-2×0+0×2=0.
12.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为( )
A.1B.2
C.
D.3
答案 C
解析 设直线上一点P,切点为Q,圆心为M,
则|PQ|即为切线长,MQ为圆M的半径,长度为1,
|PQ|=
=
,要使|PQ|最小,即求|PM|最小,此题转化为求直线y=x+1上的点到圆心M的最小距离,设圆心到直线y=x+1的距离为d,则d=
=2
,
∴|PM|最小值为2
,|PQ|=
=
=
,选C.
13.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________.
答案 (x+2)2+(y-
)2=
解析 对于直线3x-4y+12=0,当x=0时,y=3;当y=0时,x=-4.即以两点(0,3),(-4,0)为端点的线段为直径,则r=
=
,圆心为(-
,
),即(-2,
).
∴圆的方程为(x+2)2+(y-
)2=
.
14.从原点O向圆C:
x2+y2-6x+
=0作两条切线,切点分别为P,Q,则圆C上两切点P,Q间的劣弧长为________.
答案 π
解析 如图,圆C:
(x-3)2+y2=
,
所以圆心C(3,0),半径r=
.
在Rt△POC中,∠POC=
.
则劣弧PQ所对圆心角为
.
弧长为
π×
=π.
15.若直线l:
4x-3y-12=0与x,y轴的交点分别为A,B,O为坐标原点,则△AOB内切圆的方程为________.
答案 (x-1)2+(y+1)2=1
解析 由题意知,A(3,0),B(0,-4),则|AB|=5.
∴△AOB的内切圆半径r=
=1,内切圆的圆心坐标为(1,-1).
∴内切圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1.
16.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2
,求此圆的方程.
答案 x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0
解析 方法一:
∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切,
∴设所求圆的圆心为C(3a,a),半径为r=3|a|.
又圆在直线y=x上截得的弦长为2
,
圆心C(3a,a)到直线y=x的距离为d=
.
∴有d2+(
)2=r2.即2a2+7=9a2,∴a=±1.
故所求圆的方程为
(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
方法二:
设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,
则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为
.
∴r2=(
)2+(
)2.
即2r2=(a-b)2+14.①
由于所求的圆与y轴相切,∴r2=a2.②
又因为所求圆心在直线x-3y=0上,
∴a-3b=0.③
联立①②③,解得
a=3,b=1,r2=9或a=-3,b=-1,r2=9.
故所求的圆的方程是
(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
方法三:
设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,
圆心为(-
,-
),半径为
.
令x=0,得y2+Ey+F=0.
由圆与y轴相切,得Δ=0,即E2=4F.④
又圆心(-
,-
)到直线x-y=0的距离为
,
由已知,得
+(
)2=r2,
即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).⑤
又圆心(-
,-
)在直线x-3y=0上,
∴D-3E=0.⑥
联立④⑤⑥,解得
D=-6,E=-2,F=1或D=6,E=2,F=1.
故所求圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0
或x2+y2+6x+2y+1=0.
17.(2019·杭州学军中学月考)已知圆C:
x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l:
mx+y+1=0对称.
(1)求实数m的值;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,
·
=-3(O为坐标原点),求圆C的方程.
答案
(1)m=1
(2)x2+y2+2x-3=0
解析
(1)圆C的方程为(x+1)2+y2=1-a,圆心C(-1,0).
∵圆C上存在两点关于直线l:
mx+y+1=0对称,
∴直线l:
mx+y+1=0过圆心C.
∴-m+1=0,解得m=1.
(2)联立
消去y,得
2x2+4x+a+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
Δ=16-8(a+1)>0,∴a<1.
由x1+x2=-2,x1x2=
,得
y1y2=(-x1-1)(-x2-1)=
-1.
∴
·
=x1x2+y1y2=a+1-1=a=-3.
∴圆C的方程为x2+y2+2x-3=0.
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