《诱导公式》单元教学设计.docx
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《诱导公式》单元教学设计
诱导公式单元教学设计
一、单元教学内容与内容解析
1.内容
“诱导公式”包括5组公式,即诱导公式二至六.本单元的知识结构如下图所示:
建议分两课时完成.第一课时,形成研究的思路,围绕圆的对称性提出可以研究的相关问题,并探究出公式二到四.第二课时完成公式五与六的探究,并进行公式的初步应用.
2.内容解析
我们知道,任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的,之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质,即同角三角函数关系.圆有丰富的对称性,对称性是圆的重要性质,如果用三角函数表示单位圆上点的坐标,就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系,从而得到三角函数的其他性质.
角的基本构成元素就是顶点、始边、终边,在三角函数这一章的研究中,为了方便,使角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,因此变化的只有角的终边.首先从形的角度,研究圆的对称性:
假设任意角α的终边与单位圆的交点为P1,点P1关于圆心或特殊直线的对称点为Q,根据单位圆上这两个点的对称性,可以写出以OQ为终边的角与角α的关系.接下来从数的角度,利用三角函数的定义,建立对称点坐标之间的关系,即诱导公式.
由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示.
对于π+α,
+α,还可以从旋转对称的角度认知它们,与从轴对称认知的本质一致,而这样认知与诱导公式一,及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了.因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫.
可见,本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题,发展学生直观想象核心素养的很好的载体.
在数学史上,求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题.数学家制作了锐角三角函数值表,并通过公式,将任意角转化为锐角进行计算.现在,我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值,所以这些公式的“求值”作用已经不重要了,但它们所体现三角函数的对称性,在解决三角函数的各种问题中却依然有重要作用.在本单元中,利用诱导公式解决问题,重要的是观察计算对象的特征,选择合适的诱导公式,确定恰当的求解路线,并实施计算求解问题.因此本单元还是培养学生数学运算核心素养的很好的载体.
因此本单元的教学重点是:
利用圆的对称性探究诱导公式,运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.
此外,为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯,在诱导公式中全部采用了弧度制.
二、单元教学目标与目标解析
1.目标:
(1)经历诱导公式的探究过程,积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验,提升直观想象核心素养;
(2)初步应用诱导公式解决问题,积累解题经验,提升数学运算核心素养.
2.目标解析
(1)在平面直角坐标系中,给出任意角α的终边与单位的交点P,结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称,学生能分别画出相应的对称点Q,利用三角函数的定义给出相应的坐标,并能求出以OQ为终边的角与角α的坐标之间的关系,从而建立三角函数之间的关系,即诱导公式.
(2)学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明.特别是在遇到比较复杂的问题时,能根据运算对象的特点,选择依据的公式,确定合适的求解方案,并能正确求解.在解题的基础上,能概括出利用诱导公式求解的一般程序.
三、单元教学问题诊断分析
本单元就单个知识点而言,比较好理解.但是公式比较多,当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆.
因此本节课的教学难点之一是:
诱导公式的有效识记和应用.
为破解这一难点,本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用,提高学生的直观想象核心素养,理解诱导公式的本质:
圆的对称性的代数化,三角函数的性质.学生能主动地依托单位圆,想象着它的对称性,就可以准确的记忆诱导公式.对于公式的应用,要提高学生分析问题的能力,即要形成一定的求解程序,提升学生的数学运算素养.
学生在理解诱导公式时,总是有思维定势,以为α是锐角,于是导致解题时,通过角所在象限判断诱导公式的符号出错.
所以本单元的第二个难点是:
诱导公式中角α可以是任意角的理解.
为破解这一难点,在推导诱导公式时要充分地应用变式.比如在推导公式二时,点P1的位置一般选在第一象限,获得公式后,可以变化点P1的位置,让学生观察:
点P1的位置变化时,点P2与点P1的坐标之间的关系.并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点P1的位置无关.因此公式中的角α可以是任意角.在此基础上,配以具体题目,让学生感受这种概括的正确性.
四、教学支持条件
本单位要利用GeoGebra软件,画图呈现如上所述的对称性,并动态演示当点P1的位置变化时,对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变.
五、教学过程设计
第一课时
(一)课时教学内容
形成研究的思路,利用圆的对称性提出可以研究的相关问题,并探究出公式二到四.
(二)课时教学目标
1.经历提出问题,并探究诱导公式二至四过程,积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验,提升直观想象核心素养;
2.初步应用诱导公式二至四解决问题,积累解题经验,提升数学运算核心素养.
(三)教学重点与难点
重点:
利用圆的对称性探究诱导公式二至四.
难点:
诱导公式中角α可以是任意角的理解..
(四)教学过程设计
1.创设情境,引出问题
引导语 前面我们学习了三角函数,是借助于单位圆给出的,并根据定义得出了诱导公式一,刻画“周而复始”这种变化规律及其几何意义.之后借助于单位圆的几何特征,获得了三角函数同一个角的三个三角函数之间的关系.我们知道,圆的最重要的性质是对称性,而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到,我们可以利用圆的对称性,研究三角函数的对称性.
问题1 如图1,在直角坐标系内,设任意角α的终边与单位圆交于点P1,作P1关于原点的对称点P2.
(1)以OP2为终边的角β与角α有什么关系?
(2)角β,α的三角函数值之间有什么关系?
师生活动:
先由学生独立完成问题1,然后展示,师生帮助一起完善和条理思路.
如图2,以OP2为终边的角β都是与角π+α终边相同的角,即β=2kπ+(π+α)(k∈Z).因此,只要探究角π+α与α的三角函数值之间的关系即可.
设P1(x1,y1),P2(x2,y2).因为P2是点P1关于原点的对称点,所以
x2 =-x1,y2 =-y1.
根据三角函数的定义,得
从而得
公式二
设计意图:
初步感受如何将圆的一个特殊的对称性:
在坐标系中关于原点对称,代数化,并得到诱导公式二.并以此问题作为研究方法的示范,为进一步提出、分析、解决问题做好奠基工作.
追问1:
如果点P1在第二象限,那么点P2的坐标与点P1的坐标之间有什么关系?
如果点P1在y轴负半轴上呢?
在其他位置呢?
据此,公式二中的角α的大小是多少?
答案:
不论点P1在哪里,点P2的坐标与点P1的坐标之间的关系都不变,即公式二对任意角α都成立.
追问2:
探究公式二的过程,可以概括为哪些步骤?
每一步蕴含的数学思想是什么?
答案:
第一步,根据圆的对称性,建立角之间的联系.从形的角度研究.
第二步,建立坐标之间的关系.将形的关系代数化,并从不同的角度进行表示.体现了数形结合的思想方法.
第三步,根据等量代换,得到三角函数之间的关系,即公式二.体现了联系性.
追问3:
角π+α还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的?
答案:
按逆时针方向旋转角π得到的.
设计意图:
追问1旨在帮助学生理解角α的任意性,追问2旨在提炼方法,追问3则渗透圆的旋转对称性,为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫.
2.类比探索,整体认知
问题2 借助于平面直角坐标系,类比问题1,你能说出单位圆上点P1的哪些特殊对称点?
并按照如上问题1总结得到的求解步骤,尝试求出相应的关系式.
师生活动:
首先先由学生独立思考,尽量多地写出点P1的对称点,然后展示交流,之后再将之代数化,最后得到相应的诱导公式.学生的回答可能会超越教科书中的研究内容,如果是学生自己想到的,可以顺其自然保留,但是不作进一步的要求.如果学生没有想到,教师不需要增加.学生首先想到的应该是点P1关于坐标轴的对称点;之后关于特殊直线的对称点,比如y=x;教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点.
学生可能的答案有:
单位圆上点P1的特殊对称点:
第一类,点P1关于x轴、y轴的对称点;第二类,点P1关于特殊直线的对称点,如y=x,y=-x;第三类,点P1关于x轴的对称点,再关于特殊直线的对称点,或者点P1关于特殊直线的对称点,再关于坐标轴的对称点;等等.
接下来,针对如上结论,从第一类到第三类依次解决.第一课时可以先解决第一类.
1.如图3,作P1关于x轴的对称点P3:
以OP3为终边的角β都是与角-α终边相同的角,即β=2kπ+(-α)(k∈Z).因此,只要探究角-α与α的三角函数值之间的关系即可.
设P3(x3,y3).因为P3是点P1关于x轴的对称点,所以
x3=x1,y3=-y1.
根据三角函数的定义,得
从而得:
公式三
追问4 公式三和公式四中的角α是多大的角?
预设的答案:
角α是任意角.
设计意图:
类比问题1,进一步探索发现.这是一个开放式的问题设计,给了学生自主的时空,鼓励他们多角度观察思考,提出问题,并类比问题1进行分析,解决问题.强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路.
3.初步应用,建立程序
例1 利用公式求下列三角函数值:
追问5 题目中的角与哪个特殊角接近?
拆分之后应该选择哪个诱导公式?
师生活动:
学生独立完成之后展示交流,注重展示其思考过程,教师帮助规范求解过程.
解:
略.
设计意图:
引导学生有序地思考问题,有理地解决问题.
问题3 由例1,你对公式一~四的作用有什么进一步的认识?
你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?
师生活动:
学生独立思考总结,之后展示交流.
利用公式一~公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按如图5步骤进行:
设计意图:
引导学生梳理求解过程,提炼解题经验,明确从负角转化为锐角的程序,提高自觉地、理性地选择运算公式的能力,提升数学运算素养.
例2 化简:
追问6 本题与例1的异同是什么?
由例1总结出的求解程序在此如何应用?
师生活动:
学生独立完成,之后展示交流,注重展示其思考过程,教师帮助规范求解过程.
解:
略.
设计意图:
巩固习题的知识和方法,提高学生分析能力和转化能力.
4.梳理小结,深化理解
问题4 诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系?
你学到了哪些基本知识,获得了怎样的研究问题的经验?
师生活动:
学生自主总结,展示交流.
(1)诱导公式是圆的对称性的代数化,是三角函数的性质.
(2)学到了三组诱导公式.研究方法是数形结合,注重联系.
设计意图:
帮助学生梳理基本知识,总结研究方法,为进一步的研究铺路奠基.
5.布置作业,深入研究
(1)类比第一类问题的解决,即诱导公式二、三和四的探索发现过程,完成第二类和第三类问题.写出你的研究小报告,报告中先写出问题,再写出答案.并在下节课展示交流.
(2)完成P191练习,注重应用总结出来的程序.
(五)目标检测设计
计算:
设计意图:
检测学生对基本知识和基本及基本技能的掌握情况.
第二课时
(一)课时教学内容
完成公式五与六的探究,并进行公式的初步应用.
(二)课时教学目标
1.经历探究诱导公式五与六过程,积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验,进一步提升直观想象核心素养;
2.初步应用诱导公式解决问题,积累解题经验,进一步提升数学运算核心素养.
(三)教学重点与难点
重点:
利用圆的对称性探究诱导公式五与六.
难点:
诱导公式的有效识记和应用.
(四)教学过程设计
1.复习引入,继续研究
引导语:
通过上一节课的研究,我们知道了将圆的对称性代数化就得到了诱导公式,这些都是三角函数的对称性.本节课沿着上一节课的思路继续进行,首先一起完成上节课布置的第一个作业.
问题5 针对第二类、第三类对称点,你能类比问题1写出相应的问题并解决吗?
试一试.
师生活动:
学生课前已经解决了第二、第三类问题,教师了解了其完成情况.课上教师根据学生完成情况,挑选如下内容进行展示.其他拓展内容视情况而定,可以展示,也可以由学生课下交流.根据上节课的作业要求,展示时,要有问题和解答.
追问7:
除问题7与8中用到的对称关系,角
+α的终边与角α的终边还具有怎样的对称性?
据此你将如何证明公式六?
师生活动:
如果有学生提前想到了就延续前面的展示活动,如果学生没有想到,则由教师提出这个追问,促进学生思考.
答案:
角α的终边旋转
角,就得到角
+α的终边.
解:
略.
设计意图:
展示对公式五与六的探究,进一步强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路.
问题6 回顾利用公式一~公式四,把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,并且建立了图5所示的求解程序,那么公式五或公式六的作用是什么?
可能在哪个环节用到这两组公式?
师生活动:
在学生思考展示的基础上互相交流,并完善.
教师讲解:
利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.如图9所示可以在变成锐角的过程中发生作用.公式一~六都叫做诱导公式(inductionformula).
设计意图:
基于前述的求解程序,进行理性思考,完善求解程序,帮助学生提升运算素养.
8.初步应用,发展和完善程序
追问8 观察题目中的角,对比诱导公式,根据图9,应该怎样化简转化为公式的形式?
师生活动:
学生更具问题的引导,独立思考,并求解.学生展示时紧扣图9进行.
求解过程略.
设计意图:
引导学生理性思考,有序解题,完善求解程序,提升数学运算素养.
追问9 观察题目中的角,它们有怎样的关系?
和哪个诱导公式接近?
由此你确定的求解思路是怎样的?
师生活动:
注意到(53°-α)+(37°+α)=90°,如果设β=53°-α,γ=37°+α,那么β+γ=90°,由此可利用诱导公式和已知条件解决问题.
解:
略.
设计意图:
引导学生学会观察分析,进行理性思考,学会有序求解,提升数学运算素养.
9.单元小结,深化理解
问题7 回顾这两节课的学习,你学到了哪些基本知识,它们的作用是什么?
能解决什么问题?
求解的程序是什么?
我们已经知道诱导公式是三角函数的性质,是圆的对称性的代数化,据此,你觉得怎样记忆到目前为止学过的这6组诱导公式?
此外,仅仅观察6组诱导公式的形式特征,你还能怎样记忆这些公式.
师生活动:
以学生的独立思考,展示交流,互相补充为主.教师予以及时的点拨.
(1)求解程序略.基本的思想是:
负角变正角,大角变小角.
(2)只要了解了诱导公式是通过哪个对称变化得到的,这种变化中点的坐标的关系是怎样的,就可以记住公式,而且还可以进一步推广公式.(3)通过观察发现,如果是一个角加
的奇数倍,那么变换后会改变三角函数的名字;如果是一个角加
的偶数倍,那么变换后会不改变三角函数的名字.
设计意图:
梳理小结,一方面帮助学生进一步明确求解的程序.另一方面,通过帮助学生梳理借助于单位圆记忆公式的过程,进一步认识诱导公式的本质.第三,通过观察形式,分析特点,总结记忆方法,从另一个角度认知诱导公式,进行抽象概括.
10.布置作业
(1)梳理本单元的学习内容,根据问题11进一步梳理总结.
(2)完成习题5.3.
设计意图:
应用巩固,深化理解.
(五)目标检测设计
计算或化简:
设计意图:
检测学生对基本知识和技能的掌握情况.
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