电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案.docx
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电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案
2.1掷一枚硬币定义一个随机过程:
cost出现正面
X(t)=「十
i2t出现反面
设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。
试求:
(1)X(t)的一维分布函数Fx(x,l/2),
Fx(x,1);
(2)X(t)的二维分布函数Fx(Xi,X2;1/2,1);
(3)画出上述分布函数的图形。
2.3解:
(1)
一维分布为:
FX(x;0・5)=0.5ux0.5ux~1
FX(x;1p0.5ux10.5ux~2
t
"5—(于05|工
0101
*0.5
..「1*[王
rcost出现正面
“、X(t)=r十
⑵2t出现反面
(1)=-1,依概率0.5发生 X(0.5)=1,X (1)=2,依概率0.5发生 二维分布函数为 F(Xi,X2;0.5,1)=0.5uXi,X210.5uXi-1,X2-2 F(曲,孔;0-驚1)f(札与 2.2假定二进制数据序列{B(n),n=1,2, 3,….}是伯努利随机序列,其每一位数据对应随机变量B(n),并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。 试问, (1)连续4位构成的串为{1011}的概率是多少? (2)连续4位构成的串的平均串是什么? (3)连续4位构成的串中,概率最大的是什么? (4)该序列是可预测的吗? 如果见到10111后,下一位可能是什么? 2.4解: 解: (1) P-1011 =P[B(n)=1]卩[B(n+1)=0]”P[B(n+2)=1]”P[B(n+3)=11=0.80.20.80.8=0.1024 (2)设连续4位数据构成的串为B(n), B(n+1),B(n+2),B(n+3),n=1,2,3,….其中B(n)为离散随机变量,由题意可知,它们是相互独立,而且同分布的。 所以有: 3 k 串(4bit数据)为: X(n)^2B(n+k), k=0 其矩特性为: 因为随机变量B(n)的矩为: 均值: E[B(n)]=00.210.8=0.8方差: -2=r_2 Var【B(n)】=E[B(n)1-{E[B(n)p =020.2120.80.82 二0.8-0.82二0.16 所以随机变量X(n)的矩为: 均值: 一3kT E[X(n)]=E|送2kB(n+k) -k=0- 33 八2kE〔B(nk)丨八2k0&12 k二0k二0 方差: -3k1 D[X(n)]二Da2kB(n+k) -k=0_ 323 =送(2k)D【B(n+k)匸送4^0.16=13.6 k=0k=0 如果将4bit串看作是一个随机向量,则随机向量的均值和方差为: 串平均: 卜」Bn,Bn1,Bn2,Bn3? =;、0.8,0.8,0.8,0.8: 串方差: Va^: Bn,Bn1,Bn2,Bn3: 1 =10.16,0.16,0.16,0.16: (3)概率达到最大的串为: 1,1,1,1: (4)该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立,下一位数据是0或1,与前面的序列没有任何 关系。 所以如果见到10111后,下一位仍为0或1,而且仍然有概率 P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。 2.3正弦随机信号{X(t,s)=Acos(200n),t>0},其中振幅随机变量A取值为1和0,概率分别为0.1和0.9,试问, (1)一维概率分布F(x,5); (2)二维概率分布F(x,y,0,0.0025); (3)开启该设备后最可能见到什么样的信号? (4)如果开启后t=1时刻测得输出电压为1伏特,问t=2时刻可能的输出电压是什么? 概率多少? 它是可预测的随机信号 吗? 解: (1)X(t)二Acos2005 X(5)=A Fx;5二0.1ux-10.9ux (2) : X(0)=1,X(0.0025)=0,依概率0.1发生 X(0)=0,X(0.0025)=0,依概率0.9发生 Fx,y;0,0.0025=0.1ux-1,y0.9ux,y (3)因为PlA=0]=0.9,所以开启该设备后90%的情况会见到无电压(A=0)。 (4)t=1时刻,有 Xt,s=Acos2001=A=1,可得A=1; t=2时刻,有 Xt,s二Acos2002二A=1; 因为在A=1的前提下,t=2时刻输出电压为确定值1,所以p_X2=1/x1=1=1。 它是可预测的随机信号。 解题关键: 理解本随机信号中只有一个随机变量A,而它的值只在初始时是不确定的,一旦A的值确定了,信号变成了确定信号。 2.4若正弦信号x(t)=Acos(tG),其中振幅A与频率取常数,相位&是一个随机变量,它均匀分布于「丁间,即 f(J二2-' 【0其他 求在t时刻信号X(t)的概率密度fxt(X)。 解: 注意到X(t)是G的函数,并且,==arccos-t。 对于任意给定的t,X(t)=ACOS(tG)随&可 能有多个单调段。 但在每个单调段上都有, 2JA2-x2 因此, 1 X < A <2兀\ /a2—X2 1 L 0 其他 fx(t)(X)二f: ;P(X)P(X) fx(t)(X)二 2.5设质点运动的位置如直线过程X(t)=Vt+Xo,其中V^N(1,1)与X°Dn(0,2),并彼此独立。 试问: (1)t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差? (2)它是可预测的随机信号吗? 2.7解: (1)独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布 E[X(t)]=E[VtX°]=tE[V]E[X°]=t 为: fx(X)二 1 (t22) exp{- D[X(t)]二D[VtX0pt2D[V]D[X0pt22 所以它的一维概率密度函数 (2)此信号是可预测随机信号 2.6假定(-1,+1)的伯努利序列In,n=1,2,.J的取值具有等概特性。 试问: (1)它的一维概率密度函数、均值与协方差函数? (2)它是可预测的随机信号吗? 2.8解: ⑴片⑴=0.5(i1)0.5(\-1) E[ln]=0.5(1-1)=0 Cgg)=Rgm)=E「九 EIlnilEgr0n厂n2 =<2, E[l^=1n^n? (2)该随机信号不可预测 2.7给定随机过程X(t)和常数a,试以x(t)的自相关函数来表示差信号Y(t)=X(ta)-X(t)的自相关函数。 2.10解: 由题意可得: RY(t1,t2) =E[丫(切丫(t2)] =E“X(t「a)-X(tjHX(t2a)-X(t2)l:
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