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数量关系
数量关系的解题技巧及例题分析
第一种题型:
数字推理。
给你一个数列,但其中缺少一项,要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系,找出其中的排列规律,然后从四个供选择的答案中选出你认为最合适、合理的一个,来填补空缺项,使之符合原数列的排列规律。
例题:
2 9 16 23 30 ()
A.35 B.37 C.39 D.41
解答:
这一数列的排列规律是前一个数加7等于后一个数,故空缺项应为37。
正确答案为B。
第二种题型:
数学运算。
主要考察解决四则运算问题的能力。
在这种题型中,每道试题中呈现一道算术式子,或者是表述数字关系的一段文字,要求应考者迅速、准确地计算出答案。
例题:
22×32×42×52的值为
A.1440 B.5640 C.14400 D.16200
解答:
这是一道典型的乘法运算的题,答案为C。
注意以下4个方面:
一是掌握一些常用的数学运算技巧、方法和规律,尽量多用简便算法。
二是准确理解和分析文字,正确把握题意。
三是熟练掌握一定的题型及解题方法。
四是加强训练,增强对数字的敏感程度,并熟记一些基本数字。
数量关系的解题原则
把握5个原则
1、心算胜于笔算
2、先易后难
3、数字推理题中要由表及里,重点是逻辑关系的把握
4、质量重于速度
5、运用速算方法,事半功倍
关于数字
1)1~200,数字0一共出现31次。
2)1~100,21个“1”/9个“11”----的倍数。
3)1~1000,10的整数倍数总和为50500。
4)1~10,抽去一数,剩余的数平均值减少0.5,则抽掉数是(55/10-0.5*9)*10=10.
5)1~100,(含3)有11个“3”为首位数的数。
6)1~400,“1”出现20+120+20+20=180
7)甲乙丙分别隔5,9,12天进城,某天相遇,则180天一定又相遇。
8)高速路两旁每500米设标,全长400千米,需要1602个。
9)月息3%增长,第一个月的月息100元,(推理第六个月的月息115元),第六个月后,一共付了645元利息。
10)每月存一千,月息5%,半年1000*6+350*3=7050元
11)小虫爬上5米杆,10分钟,向上1米,向下0.1米,共需1小时。
12)100题,+1或-0.5,得91分,作错6题。
上面题目错误纠正:
323)用3,9,0,1,8,5分别组成一个最大的六位数与最小的六位数,它们
的差是(595125,849420,786780,881721)参考答案:
881721
计算题常识理论
1.“番”与“倍”
增加一倍,就是增加100%;
翻一番,也是增加100%。
除了一倍与一番相当外,两倍与两番以上的数字含义就不同了。
而且数字越大,差距越大。
如增加两倍,就指增加200%;翻两番,就是400%
(一番是二,二番是四,三番就是八),所以说翻两番就是增加了300%,
翻三番就是增加了700%。
“番”是按几何级数计算的,“倍”是按算术级数计算的。
“番数”和“倍数”混淆
某水泥厂厂长说,我厂水泥的产量今年将比去年翻两番,由年产3.6万吨增加到7.2万吨。
正确的说法应该是:
今年的产量为去年的2倍,或比去年增长一倍。
番数=基数×2
如果题目中今年将比去年翻一番,那年产是多少?
我认为翻一番应该是基数×2;翻两番=基数×4,不知对否?
2、“增长”和“增加”混淆
某镇2001年乡镇工业总产值是1486万元,2002年是1763万元。
镇长汇报时说,我镇去年乡镇工业总产值比上年增长277万元,增加了18.64%。
“增加”一词所表示的是绝对数,是报告期数字减基期数字所得到的差,它说明了事物的发展水平。
“增长”一词所表示的是相对数,是报告期数字减去基期数再与基期数相比较(用百分数或倍数表示),它反映了事物的发展速度。
所以,增加和增长两个词虽为同义语,但在反映统计数字时有一定的差别,不能混淆。
正确的说法应该是:
某镇2002年乡镇工业总产值比2001年增加277万元,增长了18.64%。
3、“百分数”与“百分点”混淆
某单位领导在汇报本单位干部文化结构时说,2002年大专以上文化占干部总数82%,比1997年的65%上升了17%。
表示构成的变动幅度不宜用百分数而应用百分点。
因为百分点是指不同时期以百分数形式表示的相对指标(如速度、指数、构成等)的变动幅度。
正确的说法是,2002年大专以上文化占干部总数82%,比1997年上升了17个百分点。
53%比39%增加了多少?
大家知道吗?
?
原题是:
法国1980年从事第三产业人数所占比重(也就是53%)比1960年(39%)增加了多少?
)a,14个百分点 b,14%
4、“现价”与“不变价”混淆
在进行不同时期工农业产品总量指标对比时,有的人分不清“现价”与“不变价”的区别,将报告期按现行价格计算的产品总量指标与基期不变价计算的产品总量指标对比,得出生产发展速度较快的结论,这是不准确的。
因为不变价指以同类产品某年的平均价格作为固定价格,用于计算各年的产品价值。
按不变价格计算的产品价值消除了价格变动因素,不同时期对比可以反映生产的发展速度,而现价并未消除价格变动因素。
因此,不同时期按现价计算的产品总量指标不宜进行对比,也不宜与“不变价”计算的产品总量指标进行对比。
我国先后六次制定了全国统一的工农业产品不变价格。
从2001年起开始使用2000年不变价格。
5、任意用相对数说明问题
某单位很重视从女干部中选拔领导干部。
该单位办公室在向上面汇报时写道:
“我单位从女干部中选拔领导干部的比重为50%”。
其实该单位只有两名女同志,从中选拔了1名。
在绝对数很小的情况下,不宜任意使用相对数来说明问题,否则容易引起错觉和误会,也有随意夸张之嫌。
6、使用倍数来表示下降或减少幅度
经常可以看到使用倍数来说明下降或减少幅度之大的。
如:
某种病的发病率由去年的30%下降到今年的15%,下降了1倍;某种产品的成本由去年的120元一吨下降到今年的60元一吨,减少了1倍。
倍数一般是表示增长或上升幅度的,不宜用于表示减少或下降。
上述正确说法应该是:
某种病的发病率下降了15个百分点,某种产品的成本下降了50%。
7、状语与数字不一致
有的材料选择状语不当,与后面数字显示的特征不相一致。
如:
我县今年1—10月完成固定资产投资比去年同期有大幅度增加。
这句话看起来令人振奋,但后面的增长幅度只有5%,如果是农业产值的增长幅度,可以说增长幅度较大。
但投资由于受某些因素或政策的推动,某一时期增长百分之几十或成倍增长都是有可能的。
因此,应根据数字所反映出来的特征,选择合适的状语,做到准确、自然、朴素。
8、不注意统计数字所反映的时间、范围、口径、计量单位、计价标准、计算方法等,使用、对比时不准确,容易闹笑话。
如有的人用我市第五次人口普查资料与某一年(非普查年份)的人口状况进行对比,得出的结论是不准确的。
因为普查口径与年度人口统计的口径不一致。
“五普”是按常住人口原则进行登记的,不包括本地外出半年以上人口。
标准时点是2000年11月1日0时。
而年度统计年末人口数指每年12月31日24时的人口数,包括常住人口、暂住人口。
日常使用时可以用“五普”数据与“四普”进行比较,因为普查口径和时期基本一致。
此外,还经常看到有人用前几个月的增幅与某月对比。
如:
某市今年1—4月固定资产投资增幅为16%,比4月份增幅上升2个百分点。
用以说明一季度增长较快,4月份有所下降,但这样比较意思不太明确、清晰。
可以说,某市今年1—4月固定资产投资增幅为16%,其中4月份增幅为14%,导致1—4月固定资产投资增长势头有所减弱。
9.3%和3个百分点有什么区别?
有时相同,有时不同。
如果是比一个数字高3%或3个百分点是一样的。
例如几年我国的GDP是10万亿元,明年增长3%或3个百分点,都是增长了3000亿元。
如果是比一个百分数或比例高,就有区别。
例如今年的经济增长率是7%,明年比今年增长率高3个百分点,明年就是10%。
如果说明年比今年增长率高3%,则明年是7.21%。
【例1】四个连续自然数的积为1680,它们的和为(A)
A.26 B.52 C.20 D.28
四个连续自然数,为两个奇数和两个偶数,它们的和可以被2整除,但是不能被4整除,选项中只有26符合要求。
【例2】有一份选择题试卷共6个小题,其得分标准是:
一道小题答对得8分,答错得0分,不答得2分,某位同学得了20分,则他()
A.至多答对一道题B.至少有三个小题没答C.至少答对三个小题D.答错两小题
答对2个,错两个,没做2个么,就是20分,其他情况没了
这种题用排除法很快就可算出答案(很多这种类型的题在一时不能很快算出的话最好的解决方法就是用排除法)。
【例3】有一份选择题试卷共6个小题,其得分标准是:
一道小题答对得8分,答错得0分,不答得2分,某位同学得了20分,则他()
A.至多答对一道题 (对1题得8分,如加上其余5题不答最多共得18分,不合是题意)
B.至少有三个小题没答(3题不答就有6分了,如答对2题就超20分了)
C.至少答对三个小题(3*8=24,马上就知不合题意)
D.答错两小题(答错2题后还有40分,心算快的话就可算出2*8+2*2=20。
只有这样才能符合题意)
【例4】1000以内有多少个1?
一般方法:
从1到99共有20个1,以此类推,201-299,301-399,……,901-999之间均有20个1。
解析:
(方法一)101-199之间为99+20个1,加上100和1000所含的1,共有10*20+99+2=301个。
(方法二)简便方法:
将从0到999的所有数字补足3位,即从000到999。
一共有1000个数字,包含数的个数为3*1000=3000个。
显然0,1,…,9的个数是相同的,因此在000-999之间含1个数为3000/10=300个,加上1000所含的1个1,1的个数为301个。
【例5】甲乙2人比赛爬楼梯,已知每层楼梯相同,当甲到3层时,乙到2层,照这样计算,当甲到9层时,乙到几层
A.5B.6C.7D.8
解析:
选A,5层。
甲到3层时,乙到2层,此时甲实际爬了2层,乙爬了1层。
所以甲的速度是乙的2倍。
甲到9层时,实际上爬了8层,此时乙爬了4层,所以乙在5层。
【例6】有8种颜色的小球,数量分别为2、3、4、5、6、7、8、9,将它们放进一个袋子里面,问拿到同颜色的球最多需要几次?
?
a、6;b、7;c、8;d9
解题思路:
8种小球,每种取一个,然后任取一个,必有重复的,所以是最多取9个。
和球的数量无关,最多比颜色数多一次就能有两个颜色相同的球。
在数学里,叫做“抽屉原则”。
【例7】X*(X+1)*(X+2)*(X+3)=1680,4X+6=?
方法1:
应该从答案入手,既然是4个连续的自然数,那么他们的和一定是中间两个的和的2倍,所以把答案的每个结果除2,就知道了中间的两个连续的自然数,你再看乘积是不是条件。
这样的运算量很小,大家可以尝试尝试!
方法2:
千万不要去算很浪费时间,利用代入法:
由26,52,20,28中,最有可能的是26,代入刚好,选A
【例8】把一个边长为4厘米的正方形铁丝框制成两个周长的圆形丝框,铁丝的总长不变,则每个圆铁丝框的面积是多少。
解析:
(方法一)根据条件知道正方形的边长为16CM,每个圆形铁丝框的周长是8CM,便能计算出半径,根据半径再求出圆面积就行。
铁丝总长16cm,一半就是8CM。
8cm周长的圆的半径为:
8/3.14/2也就等于4/3.14;(圆周计算方法是:
直径*3.14)
(方法二)设宽为x米。
(x+3x)*2=32所以x=4
长等于12米面积S=4*12=48平方米。
【例9】若干学生住若干房间,如果每间住4人则有20人没地方住,如果每间住8人则有一间只有4个人住,问共有多少名学生。
解析:
(方法一)设共有x间房。
第间房住4名学生得:
4X+20;第间房住8名学生得:
8X-4。
解一元一次方程:
4X+20=8X-4得出所住房间,也就得知学生总数了。
X=6,学生总数是44名。
(方法二)设共有学生x名。
(x+20)/4=(x-4)/8
4)百货商场折价出售一商品,经八折出售的价格比原价少15元,问该商品的原价是多少元。
解析:
15/(1-0.8)
数字巧算题
25、8754896×48933=(D)
A.5966 B.5876 C.9557 D.5968
解题思路:
把两个乘积因子个位数相乘,其个位数应为8,即排除A、B、C。
26、3543278×2221515=(D)
A.26160 B.26180 C.26150 D.26170
解题思路:
把两个乘积因子的十位数相乘,其积应为70,即排除A、B、C。
27.36542×42312=(D)
A.04 B.04 C.04 D.未给出
解题思路:
以两个乘积因子头两位数相乘(36×42),其积应为1512,各选项中头两位数没有“15”的,所以,就没有正确答案。
28.52×62×72×82=(D)
A.2722410 B.2822340 C.2822520 D.2822400
解题思路:
由52×62可知其尾数有两个零,即排除A、B、C,得D。
29.125×618×32×25=(D)
A. B. C. D.
解题思路:
125×618×32×25=(125×8)×(4×25)×618=。
30.86×84=(D)
A.7134 B.7214 C.7304 D.7224
解题思路:
86×84=(8+1)800+(4×6)=7224。
31.99×101=(D)
A.9099 B.9089 C.9189 D.9999
解题思路:
99×101=(100-1)(100+1)=1002-1=9999。
32.两辆卡车共载货500吨,第一辆比第二辆多载50吨,第一辆和第二辆分别载货(D)吨。
A.(265,235) B.(245,295) C.(285,215) D.(275,225)
解题思路:
不必采用(500+50)÷2求第一辆载重的算法,只要根据题意快速找出和与差之数相符合者。
33.商店各以3000元卖出两件商品,其中盈亏均为20%,则该店应(D)。
A.赚500元 B.亏300元 C.持平 D.亏250元
解题思路:
快速算出赚20%的商品成本应为2500元,而亏20%的商品成本肯定不只2500元,即刻排除A、C,再由亏两折算出成本为3750元,因而,750元-500元为250元。
34.今天是星期二,55×50天之后(A)。
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
解题思路:
从55是7的倍数减1,50是7的倍数加1,快速推出少1天。
如果用55×50÷7=396余6,也可推出答案,但较费时。
35.20位面包师傅用2小时烤出200条面包,依照这个速率,2位面包师傅花(D)小时可以烤出100条面包。
A.20 B.15 C.12 D.10
解题思路:
先求出20位师傅在1小时烤出100条面包,再从20位师傅是2位师傅的10倍求出1小时的10倍即10小时。
36.考卷上的判断题做对得1分,做错倒扣1分,张某在判断题上共得6分,他应该是在10道题目中做错(B)题。
A.1 B.2 C.3 D.4
解题思路:
10题答得全对得10分,做错的题不但未得分反而被扣1分,故应为做错两题。
37.48与108的最大公约数是(D)。
A.6 B.8 C.24 D.12
解题思路:
∵48=2×2×3×4,108=2×2×3×3×3,∴(48,108)=2×2×3=12。
38.如果(5,7)=74,(4,6)=52,(3,5)=34,则(0,4)=(D)
A.53 B.51 C.26 D.16
解题思路:
中括孤内的数依次递减,其和亦然,可即刻排除A、B、C。
另外,也可以由答案(和)推知括弧内两个数都是平方。
39.某公司规定,凡购买1000元以上商品,可享受7折优待,今有4200元欲前往购货,可买原价格为(B)元的商品。
A.7000 B.6000 C.5500 D.5400
解题思路:
把4200元分解为6个700元即可推出6000元。
40.把10个苹果分成三堆,每堆至少1个,应有(A)种分法。
A.8 B.9 C.10 D.11
解题思路:
用枚举法列出,快速去掉重复的。
41、银行存款年利率为2.5%,应纳利息税20%,原存1万元1年期,实际利息不再是250元,为保持这一利息收入,应将同期存款增加到(C)元。
A.15000 B.20000 C.12500 D.30000
解题思路:
补偿20%的利息税应增加25%存款,故应增加到:
10000+2500=12500(元)。
42.有80份文件,甲、乙、丙3人参加处理。
乙比甲多8份,但只是丙的份数的3/5,他们处理文件份数的比是(D)。
A.2:
4:
6 B.2:
4:
5 C.2:
5:
8 D.2:
3:
5
解题思路:
既然文件都是单独处理的即都是整数的,那么如果三者之比的总和不能除尽80而出现分数,应当予以排除。
43.某人以八五折的优惠购买一辆自行车节省60元,他实付(D)元。
A.350 B.380 C.400 D.340
解题思路:
以60÷15/100求得原价格,再扣除60元,也可以从C-D=60而快速算出。
44.某校男生人数比全校生数的5/9还少15人,女生人数比全校总数4/9还多15人,该校总生数应为(D)。
A.600 B.610 C.620 D.630
解题思路:
能被9整除的即是,因为人只能是整数。
正反归一问题
【例题】请问,一个牧场的草,27头牛6周吃完,23头牛9周吃完,21头牛需要几周吃完?
(假定草地生长速度不变)
解析:
假设每头牛每周吃草一份,“27头牛吃6周”,可知6周内牧场共有青草27×6=162份,又“23头牛吃9周”,可知9周内牧场共有青草23×9=207份。
每周生长青草(207-162)/(9-6)=15份,原有青草162-15*6=72份。
21头牛中的15头牛吃每周长出的青草,剩下的6头吃牧场上原有的青草,72/6=12周吃完。
所以这片牧场可供21头牛吃12周。
数学应用
例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹,六个人在一起打羽毛球,举行混合双打比赛。
事先规定,兄妹二人不许搭伴。
第一盘,李明和小华对张虎和小红;
第二盘,张虎和小林对李明和王宁的妹妹;
请判断,小华、小红和小林各是谁的妹妹。
[分析]:
张虎和小红、小林都搭伴比赛,根据已知条件,兄妹二人不许搭伴,所以张虎的妹妹不是小红和小林,那么只能是小华,剩下就只有两种可能:
第一种可能是:
李明的妹妹是小红,王宁是妹妹是小林;
第二种可能是:
李明的妹妹是小林,王宁的妹妹是小红。
对于第一种可能,第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
那么成了三个人打混合比赛了,不符合实际,所以第一种可能不成立的,只有第二种可能是合理的。
例2、“迎春杯”数学竞赛后,甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获奖。
甲说:
“如果我能获奖,那么乙也能获奖。
”乙说:
“如果我能获奖,那么丙也能获奖。
”丙说:
“如果丁没获奖,那么我也不能获奖。
”实际上,他们之中只有一个人没有获奖。
并且甲、乙、丙说的话都是正确的。
那么没能获奖的同学是(……)?
[分析]首先根椐丙说的话以可以推知,丁必能获奖。
否则,假设丁没有获奖,那么丙也没获奖,这与“他们之中只有一人没有获奖”矛盾。
其次,考虑甲是否获奖,假设甲能获奖,那么根椐甲说的话可以推知,乙也能获奖;再根椐乙说的话又可以推知丙也能获奖,这样就得出4个人全都能获奖,不可能。
因此,只有甲没有获奖。
例3、数学竞赛后,小明、小华、小强各获得一枚奖牌,其中一人得金牌,一人得银牌,一个得铜牌。
王老师猜测:
“小明得金牌;小华不得金牌;小强不得铜牌。
”得果王老师只猜对了一个。
那么小明得()牌,小华得()牌,小强得()牌。
[分析]1、若“小明得金牌”时,小华一定“不得金牌”,这与“王老师只猜对一个”相矛盾。
2、若小明得银牌时,再以小华得奖情况分别讨论。
如果小华得金牌,小强得铜牌那么王老师没有猜对一个,不合题意。
如果小华得铜牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,也不合题意。
3、若小明得铜牌时,仍以小华得奖情况分别讨论。
如果小华得金牌,小强得银牌,那么王老师只猜对小强得奖牌的名次,符合题意;如果小华得银牌,小强得金牌,那么王老师猜对了两个,不合题意。
还原与年龄
1.某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是多少?
解答:
(6×6+6)÷6-6=1,这个数是1
2.两个两位数相加,其中一个加数是73,另一个加数不知道,只知道另一个加数的十位数字增加5,个位数字增加1,那么求得的和的后两位数字是72,问另一个加数原来是多少?
解答:
和的后两位数字是72,说明另一个加数变成了99,所以原来的加数是99-51=48.
3.有砖26块,兄弟二人争着去挑。
弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶到了。
哥哥看弟弟挑的太多,就抢过一半。
弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半。
哥哥不服,弟弟只好给哥哥5块,这时哥哥比弟弟多挑2块。
问最初弟弟准备挑多少块?
解答:
先算出最后各挑几块:
(和差问题)哥哥是(26+2)÷2=14,弟弟是26-14=12,然后来还原:
1.哥哥还给弟弟5块:
哥哥是14-5=9,弟弟是12+5=17;2.弟弟把抢走的一半还给哥哥:
抢走了一半,那么剩下的就是另一半,所以哥哥就应该是9+9=18,弟弟是17-9=8;3.哥哥把抢走的一半还给弟弟:
那么弟弟原来就是8+8=16块.
4.甲、乙、丙三人钱数各不相同,甲最多,他拿出一些钱给乙和丙,使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙,使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙,使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍,结果三人钱数一样多了。
如果他们三人共有81元,那么三人原来的钱分别是多少元?
解答:
三人最后一样多,所以都是81÷3=27元,然后我们开始还原:
1.甲和乙把钱还给丙:
每人增加2倍,就应该是原来的3倍,所以甲和乙都是27÷3=9,丙是81-9-9=63;2.甲和丙把钱还给乙:
甲9÷3=3,丙63÷3=21,乙81-3-21=57;3.最后是乙和丙把钱还给甲:
乙57÷3=19,丙21÷3=7,甲81-19-7=55元.
5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒,甲从乙处取来一些,使自己的糖豆增加了一倍;接着乙从丙处取来一些,使自己的糖豆也增加了一倍;丙再从甲处取来一些,也使自己的糖豆增加了一倍。
现在三人的糖豆一样多。
如果开始时甲有51粒糖豆,那么乙最开始有多少粒糖豆?
解答:
先假设后来三个人都是4份,还原后得到甲、乙、丙分别是3份,5份,4份,实际上甲原来有51粒,51÷3=17,那么我们可以把1份看成17粒,所以乙最开始有糖豆17×5=85粒.
6.有一筐苹果,把它们三等分后还剩2个苹果;取出其中两份,将它们三等分后还剩两个;然后再取出其中两份,又将这两份三等分后还
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