数量关系例题习题及答案解析.docx
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数量关系例题习题及答案解析
平均数问题
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题,如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……〞。
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时,主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系,根据总数除以它相对应的份数,求出一份数,即平均数。
一、算术平均数
例1用4个同样的杯子装水,水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,这4个杯子水面平均高度是多少厘米?
分析求4个杯子水面的平均高度,就相当于把4个杯子里的水合在一起,再平均倒入4个杯子里,看每个杯子里水面的高度。
解:
〔4+5+7+8〕÷4=6〔厘米〕
答:
这4个杯子水面平均高度是6厘米。
例2蔡琛在期末考试中,政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分,而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分?
分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分,又知道两科的分数差是10分,用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后,就可以求出其他各科成绩。
解:
①英语:
〔84×2+10〕÷2=89〔分〕
②语文:
89-10=79〔分〕
③政治:
86×2-89=83〔分〕
④×2-83=100〔分〕
⑤生物:
89×5-〔89+79+83+100〕=94〔分〕
答:
蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。
二、加权平均数
例3果品店把2千克酥糖,3千克水果糖,5千克奶糖混合成什锦糖.酥糖每千克4.40元,水果糖每千克4.20元,奶糖每千克7.20元.问:
什锦糖每千克多少元?
分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱,必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解:
①什锦糖的总价:
×××5=57.4〔元〕
②什锦糖的总千克数:
2+3+5=10〔千克〕
③÷10=5.74〔元〕
答:
混合后的什锦糖每千克5.74元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数〞.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要,对什锦糖的单价产生不同影响,有权衡轻重的作用,所以这样的数叫做“权数〞。
例4甲乙两块棉田,平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩,平均亩产籽棉203斤;乙棉田平均亩产籽棉170斤,乙棉田有多少亩?
分析此题是两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数,求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤,5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤,乙少的局部用甲多的局部补足,也就是看90斤里面包含几个15斤,从而求出的是乙棉田的亩数,即“权数〞。
解:
①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤?
〔203-185〕×5=90〔斤〕
②乙棉田有几亩?
90÷〔185-170〕=6〔亩〕
答:
乙棉田有6亩。
三、连续数平均问题
我们学过的连续数有“连续自然数〞、“连续奇数〞、“连续偶数〞.几个连续数的和求出这几个数,也叫平均问题。
例5八个连续奇数的和是144,求这八个连续奇数。
分析偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时,它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和,等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组,八个数分成4组,每一组两个数的和是144÷4=36.这样可以确定出中间的两个数,再依次求出其他各数。
解:
①每组数之和:
144÷4=36
②中间两个数中较大的一个:
〔36+2〕÷2=19
③中间两个数中较小的一个:
19-2=17
∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。
答:
这八个连续奇数分别为:
11、13、15、17、19、21、23和25。
四、调和平均数
例6一个运发动进展爬山训练.从A地出发,上山路长11千米,每小时行4.4千米.爬到山顶后,沿原路下山,下山每小时行5.5千米.求这位运发动上山、下山的平均速度。
分析这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=〔上山速度+下山速度〕÷2,而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。
解:
①上山时间:
11÷4.4=2.5〔小时〕
②下山时间:
11÷5.5=2〔小时〕
五、基准数平均数
例7中关村三小有15名同学参加跳绳比赛,他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89,求每个人平均每分钟跳绳多少个?
分析从他们每人跳绳的个数可以看出,每人跳绳的个数很接近,所以可以选择其中一个数90做为基准数,再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数,如93=90+3,3作为加数;小于基准数的差作为减数,如87=90-3,3作为减数.把这些差累计起来,用和数的项数乘以基准数,加上累计差,再除以和数的个数就可以算出结果。
解:
①跳绳总个数。
93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89
=90×15+〔3+4+2+4+1+2+3〕-〔5+4+2+2+1+4+1〕
=1350+19-19
=1350〔个〕
②每人平均每分钟跳多少个?
1350÷15=90〔个〕
答:
每人平均每分钟跳90个.
习题
1.某次数学考试,甲乙的成绩和是184分,乙丙的成绩和是187分,丙丁的成绩和是188分,甲比丁多1分,问甲、乙、丙、丁各多少分?
2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均数。
3.缝纫机厂第一季度平均每月生产缝纫机750台,第二季度生产的是第一季度生产的2倍多66台,下半年平均月生产1200台,求这个厂一年的平均月产量。
4.甲种糖每千克8.8元,乙种糖每千克7.2元,用甲种糖5千克和多少乙种糖混合,才能使每千克糖的价钱为8.2元?
5.7个连续偶数的和是1988,求这7个连续偶数。
6.6个学生的年龄正好是连续自然数,他们的年龄和与小明爸爸的年龄一样,7个人年龄一共是126岁,求这6个学生各几岁?
7.食堂买来5只羊,每次取出两只合称一次重量,得到十种不同的重量〔千克〕:
47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.问这五只羊各重多少千克?
解答
1.∵甲+乙=184〔1〕
乙+丙=187〔2〕
丙+丁=188〔3〕
〔2〕-〔1〕丙-甲=3〔4〕
〔3〕-〔4〕丁+甲=185
∴甲=〔185+1〕÷2=93〔分〕
丁=93-1=92〔分〕
乙=184-93=91〔分〕
丙=187-91=96〔分〕
答:
甲、乙、丙、丁的成绩分别为93分、91分、96分、和92分。
2.1962+1973+1981+1994+2005
=1981×5+〔13+24〕-〔8+19〕
=9915。
9915÷5=1983。
3.①上半年总产量:
750×3+750×3×2+66=6816〔台〕
②下半年总产量:
1200×6=7200〔台〕
③平均月产量:
〔6816+7200〕÷12=1168〔台〕
答:
平均月产量是1168台。
4.〔8.8-8.2〕×5÷〔8.2-7.2〕=3〔千克〕
答:
与乙种糖3千克混合。
5.分析奇数个偶数的和,可以用和除以个数求出中间数,再求出其他各偶数。
中间数:
1988÷7=284
其他六个数分别为278、280、282、284、286、288、290。
答:
这7个偶数分别为:
278、280、282、284、286、288、290。
6.分析6个孩子年龄和与小明爸爸年龄一样,说明小明爸爸年龄是126岁的一半,是63岁.其他6个学生的年龄和也是63岁.63÷3=21〔岁〕,21=10+11为中间两个数,所以其他四人年龄依次为8、9、12、13岁。
答:
这六个学生的年龄分别为:
8、9、10、11、12、13岁。
7.解:
设5只羊的重量从轻到重依次为A1、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47,A1+A3=50……A3+A5=58,A4+A5=59.10次称重5只羊各称过4次,所以它们的重量和应是:
A1+A2+A3+A4+A5
=〔47+50+51+52+53+54+55+57+58+59〕÷4=134
A3=134-〔A1+A2〕-〔A4+A5〕=28
A1=50-28=22A2=47-22=25
A5=58-28=30A4=59-30=29
答:
这5只羊的重量分别为22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.
和差问题
和差问题是大小两个数的和与两个数的差,求大小两个数各是多少的应用题。
为了解答这种应用题,首先要弄清两个数相差多少的不同表达方式.有些题目明确给了两个数的差,而有些应用题把两个数的差“暗藏〞起来,我们管暗藏的差叫“暗差〞。
例:
“把姐姐的铅笔拿出3支后,姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.〞这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支,也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。
再例:
“把姐姐的铅笔给弟弟3支后,两人铅笔支数就同样多.〞×2=6支,就是暗差。
“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支〞,这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2+1=7〔支〕。
例1两筐水果共重150千克,第一筐比第二筐多8千克,两筐水果各多少千克?
分析这样想:
假设第二筐和第一筐重量相等时,两筐共重150+8=158〔千克〕;假设第一筐重量和第二筐相等时,两筐共重150-8=142〔千克〕.
解法1:
①第二筐重多少千克?
〔150-8〕÷2=71〔千克〕
②第一筐重多少千克?
71+8=79〔千克〕
或150-71=79〔千克〕
解法2:
①第一筐重多少千克?
〔150+8〕÷2=79〔千克〕
②第二筐重多少千克?
79-8=71〔千克〕
或150-79=71〔千克〕
答:
第一筐重79千克,第二筐重71千克。
例2今年小强7岁,爸爸35岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?
分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差,但是两人今年的年龄,那么今年两人的年龄差是35-7=28〔岁〕.不管过多少年,两人的年龄差是保持不变的.所以,当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。
解:
①爸爸的年龄:
[58+〔35-7〕]÷2
=[58+28]÷2
=86÷2
=43〔岁〕
②小强的年龄:
58-43=15〔岁〕
答:
当父子两人的年龄和是58岁时,小强15岁,他爸爸43岁。
例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分,数学比语文多8分,问语文和数学各得了几分?
分析解和差问题的关键就是求得和与差,这道题中数学与语文成绩之差是8分,但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是,条件中给出了两科的平均成绩是94分,这就可以求得这两科的总成绩.
解:
①语文和数学成绩之和是多少分?
94×2=188〔分〕
②数学得多少分?
〔188+8〕÷2=196÷2=98〔分〕
③语文得多少分?
〔188-8〕÷2=180÷2=90〔分〕
或98-8=90〔分〕
答:
小明期末考试语文得90分,数学得98分.
例4甲乙两校共有学生864人,为了照顾学生就近入学,从甲校调入乙校32名同学,这样甲校学生还比乙校多48人,问甲、乙两校原来各有学生多少人?
分析这样想:
甲、乙两校学生人数的和是864人,根据由甲校调入乙校32人,这样甲校比乙校还多48人可以知道,甲校比乙校多32×2+48=112〔人〕.112是两校人数差。
解:
①乙校原有的学生:
〔864-32×2-48〕÷2=376〔人〕
②甲校原有学生:
864-376=488〔人〕
答:
甲校原有学生488人,乙校原有学生376人。
小结:
从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同,但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是:
〔和+差〕÷2=较大数较大数-差=较小数
或〔和-差〕÷2=较小数较小数+差=较大数
也可以求出一个数后,用和减去这个数得到另一个数.
下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。
例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。
123456789=5
分析这样想:
从1至9这几个数字相加是不会得到5的,只能从一局部数字相加再减去一局部字后差是5,也就是说1到9的和是45,而两局部的差是5,先要求出这两局部数字,利用和差问题的方法便可以求出。
〔45-5〕÷2=20,20+5=25
“+〞号,而在组成和是20的几个数前面添上“-〞号,此题就算出来了。
例如:
5+6+9=20可得到。
1+2+3+4-5-6+7+8-9=5
又如:
5+7+8=20可得到。
1+2+3+4-5+6-7-8+9=5
又如:
3+4+6+7=20可得到。
1+2-3-4+5-6-7+8+9=5
同学们,这道题你还有其他解法吗?
试试看!
习题
1.果园里有桃树和梨树共150棵,桃树比梨树多20棵,两种果树各有多少棵?
2.甲、乙两桶油共重30千克,如果把甲桶中6千克油倒入乙桶,那么两桶油重量相等,问甲、乙两桶原有多少油?
3.用锡和铝制成500千克的合金,铝的重量比锡多100千克,锡和铝各是多少千克?
4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元,今年比去年多10万元,今年与去年的产值各是多少万元?
5.甲、乙两个学校共有学生1245人,如果从甲校调20人去乙校后,甲校比乙校还多5人,两校原有学生各多少人?
6.三个物体平均重量是31千克,甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克,乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克,三个物体各重多少千克?
7.甲、乙两个工程队共有1980人,甲队为了支援乙队,抽出285人参加乙队,这时乙队人数还比甲队少24人,求甲、乙两队原有工人多少人?
8.四年级有3个班,如果把甲班的1名学生调整到乙班,两班人数相等;如果把乙班1名学生调到丙班,丙班比乙班多2人,问甲班和丙班哪班人数多?
多几人?
解答
1.桃树的棵树:
〔150+20〕÷2=85〔棵〕梨树的棵树:
150-85=65〔棵〕
答:
有桃树85棵,梨树65棵。
2.甲桶油重:
〔30+6×2〕÷2=21〔千克〕乙桶油重:
30-21=9〔千克〕
答:
甲桶油重21千克,乙桶油重9千克。
3.锡的重量:
〔500-100〕÷2=200〔千克〕铝的重量:
500-200=300〔千克〕
答:
锡重量是300千克,铝的重量是200千克。
4.今年的产值:
〔96×2+10〕÷2=101〔万元〕去年的产值:
101-10=91〔万元〕
答:
今年的产值是101万元,去年的产值是91万元。
5.乙校原有人数:
[1245-〔20×2+5〕]÷2=600〔人〕
甲校原有人数:
1245-600=645〔人〕
答:
甲校原有学生645人,乙校原有学生600人。
6.三个物体的总重量:
31×3=93〔千克〕
甲物体的重量:
〔93-1〕÷2=46〔千克〕
丙物体的重量:
〔93-46-2〕÷〔2+1〕=15〔千克〕
乙物体的重量:
93-46-15=32〔千克〕
答:
甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克。
7.甲队原有人数:
〔285×2+24+198O〕÷2=1287〔人〕
乙队原有人数:
1287-594=693〔人〕
答:
甲队原有1287人,乙队原有693人。
8.解〔略〕,答:
甲班比丙班人数多,多2名学生.
和倍问题
和倍问题是大小两个数的和与它们的倍数关系,求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意,弄清两种量彼此间的关系,常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系,以便于找到解题的途径。
例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
分析设乙班的图书本数为1份,那么甲班图书为乙班的3倍,那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本,求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数,然后再求甲班的图书本数.用下列图表示它们的关系:
解:
乙班:
160÷〔3+1〕=40〔本〕
甲班:
40×3=120〔本〕
或160-40=120〔本〕
答:
甲班有图书120本,乙班有图书40本。
这道应用题解答完了,怎样验算呢?
可把求出的甲班本数和乙班本数相加,看和是不是160本;再把甲班的本数除以乙班本数,看是不是等于3倍.如果与条件相符,说明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。
验算:
120+40=160〔本〕
120÷40=3〔倍〕。
例2甲班有图书120本,乙班有图书30本,甲班给乙班多少本,甲班的图书是乙班图书的2倍?
分析解这题的关键是找出哪个量是变量,哪个量是不变量.从条件中得出,不管甲班给乙班多少本书,还是乙班从甲班得到多少本书,甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍,那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法,先求出乙班现有图书多少本,再与原有图书本数相比拟,可以求出甲班给乙班多少本书〔见上图〕。
解:
①甲、乙两班共有图书的本数是:
30+120=150〔本〕
②甲班给乙班假设干本图书后,甲、乙两班共有的倍数是:
2+1=3〔倍〕
③乙班现有的图书本数是:
150÷3=50〔本〕
④甲班给乙班图书本数是:
50-30=20〔本〕
综合算式:
〔30+120〕÷〔2+1〕=50〔本〕
50-30=20〔本〕
答:
甲班给乙班20本图书后,甲班图书是乙班图书的2倍。
验算:
〔120-20〕÷〔30+20〕=2〔倍〕
〔120-20〕+〔30+20〕=150〔本〕。
例3光明小学有学生760人,其中男生比女生的3倍少40人,男、女生各有多少人?
分析把女生人数看作一份,由于男生人数比女生人数的3倍还少40人,如果用男、女生人数总和760人再加上40人,就等于女生人数的4倍〔见下列图〕。
解:
①女生人数:
〔760+40〕÷〔3+1〕=200〔人〕
②男生人数:
200×3-40=560〔人〕
或760-200=560〔人〕
答:
男生有560人,女生有200人。
验算:
560+200=760〔人〕
〔560+40〕÷200=3〔倍〕。
例4果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,求桃树、梨树和苹果树各有多少棵?
分析下列图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,都是同梨树相比拟、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵,那么就和梨树同样多了;再从桃树里减少12棵,那么就相当于梨树的2倍了,而总棵树那么变为552+20-12=560〔棵〕,相当于梨树棵数的4倍。
解:
①梨树的棵数:
〔552+20-12〕÷〔1+1+2〕
=560÷4=140〔棵〕
②桃树的棵数:
140×2+12=292〔棵〕
③苹果树的棵数:
140-20=120〔棵〕
答:
桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
例5549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2,丁数除以2以后,那么4个数相等.求4个数各是多少?
分析上图可以看出,丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等,也就是丙数的2倍和丁数的一半相等,即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍,甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系,可以先求出丙数,再分别求出其他各数。
解:
①丙数是:
〔549+2-2〕÷〔2+2+1+4〕
=549÷9
=61
②甲数是:
61×2-2=120
③乙数是:
61×2+2=124
④丁数是:
61×4=244
验算:
120+124+61+244=549
120+2=122124-2=122
61×2=122244÷2=122
答:
甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.
习题
1.小明和小强共有图书120本,小强的图书本数是小明的2倍,他们两人各有图书多少本?
2.果园里一共种340棵桃树和杏树,其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?
3.一个长方形,周长是30厘米,长是宽的2倍,求这个长方形的面积。
4.甲水池有水2600立方米,乙水池有水1200立方米,如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池,那么多少分种后,乙水池中的水是甲水池的4倍?
5.甲桶里有油470千克,乙桶里有油190千克,甲桶的油倒入乙桶多少千克,才能使甲桶油是乙桶油的2倍?
6.有3条绳子,共长95米,第一条比第二条长7米,第二条比第三条长8米,问3条绳子各长多少米?
解答
1.①小明的本数:
120÷〔2+1〕=40〔本〕.②小强的本数:
40×2=80〔本〕。
2.①杏树的棵数:
〔340-20〕÷〔3+1〕=80〔棵〕.②桃树的棵数:
80×3+20=260〔棵〕。
3.①长方形的宽:
〔30÷2〕÷〔2+1〕=5〔厘米〕.②长方形的长:
5×2=10〔厘米〕。
③长方形的面积:
10×5=50〔平方厘米〕。
4.①甲、乙两水池共有水:
2600+1200=3800〔立方米〕
②甲水池剩下的水:
3800÷〔4+1〕=760〔立方米〕
③甲水池流入乙水池中的水:
2600-760=1840〔立方米〕
④经过的时间〔分钟〕:
1840÷23=80〔分钟〕。
5.①甲、乙两桶油总重量:
470+190=660〔千克〕:
②当甲桶油是乙桶油2倍时,乙桶油是:
660÷〔2+1〕=220〔千克〕:
③由甲桶倒入乙桶中的油:
220-190=30〔千克〕。
6.①变化后的绳子总长95-7+8=96〔米〕.②第二条绳长:
96÷〔1+1+1〕=32〔米〕。
③第一条绳长:
32+7=39〔米〕。
④第三条绳长:
32-8=24〔米〕.
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