关于地方日报的最优订阅价格.docx
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关于地方日报的最优订阅价格
数学建模第一次大作业
关于地方日报的最优订阅价格
08机电专业
第二组
林炳文杨杰罗庚
关于地方日报的最优订阅价格
摘要
关于日报的单变量最优价格的讨论,这里我们用了灵敏性来分析了日报的价格与日报的订阅人数的关系。
并建立了相应的模型,求出了订阅人数与价格之间的关系。
在模型求解过程中我们运用了Mathematica画出了相应的图形,从而阅读来比较直观。
问题二和问题三中,从灵敏性方面进行分析,得到日报的最优价格。
关键词:
灵敏性最优单变量
一、问题提出
一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。
现在的价格为每周1.5美元。
据估计如果每周提高订价10美分,就会损失5000订户。
问题:
(1)求使利润最大的订阅价格?
(2)对
(1)中所得结论讨论损失5000订户这一参数的灵敏性。
分别假设这个参数值为:
3000、4000、5000、6000及7000,计算最优订阅价格。
(3)设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数。
求最优订阅价格p作为n的函数关系。
并用这个公式来求灵敏性S(p,n)。
(4)这家报纸是否应该改变其订阅价格?
用通俗易懂的语言说明你的结论。
二、基本假设
订户一旦订阅日报之后无在退订情况发生;
日报订阅价格每周七天均保持不变;
日报的生产数量能满足用户的需求;
直到达到最优价格之前,每周日报的价格均提高0.1美元;
5、订户每户只能订一份日报;
三、符号说明
意义
备注
p
利润最大时日报的订阅价格
单位:
美元/份
T
提高到最优价格所用的周数
r
每周提高的订价
单位:
美元/份
n
每周价格提高之后损失的订户数
单位:
户
K
第T周的订户数
单位:
户
Q
第T周日报的净利润
单位:
美元
f
起始的日报总订户数
f=80000(户)
四、模型的建立与求解
4.1问题一模型建立与求解
4.1.1问题一的分析
本问题中,根据题意,我们有如下关系式:
提高到最优价格所用的周数
;
第T周的订户数
;
故第T周日报的净利润
4.1.2问题一模型的建立
由上述分析与基本假设,原问题的数学模型如下:
max
,
s.tp
1.5
4.1.3问题一模型的求解
当n=5000,r=0.1时,这是一个单变量
的函数的最优化问题,
而且是
一个连续可微的函数。
可以利用微积分知识求解,其
求解过程如下:
(1)求驻点:
驻点为:
代入常量参数得到:
根据模型可画出函数Q(p)关于p的图象如下
图一
由图一可知函数Q(p)在
单调递增,在
单调递减,故
,是函数Q(p)的极大值点。
依题意可知日报价格提高了0.05美元,不符合每周提高0.1美元的要求。
假设日报价格不提高:
=120000
假设日报价格提高了0.1美元后:
=120000
根据报社实际情况,在利润相同的条件下,订户数越少,报社的工作量就越小,故取价格提高0.1美元,即日报最优订阅价格为1.6美元。
4.2问题二模型建立与求解
4.2.1问题二模型的分析
数据是由测量、观察甚至猜测得到,因此需要考虑数据的不准确的可能性。
有些数据的具有相当大的确定性,如日报当前的价格,日报现在的订户数,有些数据的确定性却很低,如日报价格提高的幅度对应的订户数减少的数量,在前面,我们假设n=5000(户),r=0.1(美元/份)
4.2.1问题二模型的建立
考虑r=0.1不变,n发生变化时,日报最优订阅价格关于价格每周提高r美元减少的用户数量的灵敏性
则有模型
max
s.tn>0
4.2.1问题二模型的求解
由上面的模型可知,n变化时,最优日报价格p的变化如下表一和图二:
n
3000
4000
5000
6000
7000
p
2.08
1.75
1.55
1.41
1.32
表一
问题二模型的图象有如下:
图二
由图二可知,随着n增加,价格p在减少。
4.3问题三模型建立与求解
4.2.1问题三模型的分析
由于模型假设中的参数是估计和预测的,所以应该研究它们所变化时对模型的结果的影响。
我们用灵敏性来解释。
4.3.2问题三模型的建立
设每周的日报上涨价格0.1美元不变,研究n的变化的影响,代入0.1后:
可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度。
P对n的敏感记作S(p,n),定义为:
=
,此即为问题三的模型。
4.3.3问题三模型的求解
根据上面的模型画出图形
n
4200
4400
4600
4800
5000
5200
5400
p
1.70238
1.65909
1.61957
1.58333
1.55
1.51923
1.49074
又当n=5000时可以算出
S(p,n)
=
=-0.516
就是报子价格每周增加1%出售日报就减少0.516%份。
五、模型评价
本模型直观易懂,对实际问题的描述是合理的。
相比于其他模型,此模型变量较少,属于单变量问题,求解过程比较简单,所以它能求得最优解。
在计算中,我们采用了合理的算法及相关软件,并做出了图表和图象,使得求解难度大大降低。
对问题四的解答,即应该改变其订阅价格,要根据实际情况来说明,因为在相同的利润条件下,就要考虑报社员工的工作量和报纸的原材料花费,现在的社会讲究人文化和绿色环保,所以应该提高价格,虽说减少了订阅数,但其利润还是保持最大。
六、参考文献
[1]费培之,数学模型实用教材,成都,四川大学出版社,1998年
[2]卢开澄,单目标、多目标与整数规划,北京,清华大学出版社,1999年
[3]傅鹏等,数学实验,重庆,科学出版社,2000年
[4]姜启源,数学建模,北京,高等教育出版社,2009年
七、附录
利用Mathematica编写有如下程序和图象
附表一
?
Graphics?
附表二
?
Graphics?
1.70238
1.65909
1.61957
1.58333
1.55
1.51923
1.49074
附表三
?
Graphics?
5.83333
2.5
0.5
-0.833333
-1.78571
附表四
?
Graphics?
-2.28571
-4.
-16.
8.
3.2
附表五
?
Graphics?
2.08333
1.75
1.55
1.41667
1.32143
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- 关于 地方 日报 最优 订阅 价格
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