二项式定理讲义.docx
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二项式定理讲义
二项式定理
二项式定理的定义
二项式定理的证明
二项展开式的通项
二项式系数的性质
知识内容
」、定义:
0142°°rn*
(a亠b)n_cna-cn_b-cn_--亠亠-亠Cn'(nWN),这一公式表示
的定理叫做二项式定理,其中公式右边的多项式叫做(a-b)n的二项展开式;上述二项展开式中各项
的系数=0,1,2,…,“)叫做二项式系数,第r项叫做二项展开式的通项,用T「“表示;
T「+=C;a"丄匕「叫做二项展开式的通项公式.
-二项展开式的特点与功能
1.二项展开式的特点
项数:
二项展开式共n・1(二项式的指数+1)项;
指数:
二项展开式各项的第一字母a依次降幕(其幕指数等于相应二项式系数的下标与上标的差),第二字母b依次升幕(其幕指数等于二项式系数的上标),并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n;
系数:
各项的二项式系数下标等于二项式指数;上标等于该项的项数减去1(或等于第二字母b的
幕指数;
2.二项展开式的功能
注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数,若赋予a,b不同的取值,则二项式展开式演变
成一个组合恒等式•因此,揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的母函数”,它是解决组合多项式
问题的原始依据.
又注意到在(a■b)b的二项展开式中,若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数,则
易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列•因此,解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证
明问题,二项式公式也是不可或缺的理论依据.
二项式系数的性质
例题练习
1.二项式定理及其展开式
【例1】
1
求(X•—)的展开式.
x
【例2】
0.9915的近似值(精确到0.001)是
【解析】
552
0.991=(1-0.009)=1-5>0.009+10X0.009)…
~-0.045+0.00081~056
【例3】
求证:
(1)nn」_1能被(n-1)2整除(n•N,n_3);
【证明】为利用二项式定理,对nn丄中的底数n变形为两数之和
(或差).
n_3,且n^N,二=[1亠(n—1)]"丄
于是有nn—1=[1-(n—1)]n丄-1
+Cn丄(n—1)+C・丄(n—2)+...+Cn亠(n—1
=C」(n—1丄(n—2j+...+仁("—1
=n
C」n
_1
〜n1
■CnJn
注意至Un_3,且n三N
,故1•Cn丄■Cn丄n一1]亠…
M)
因此由()式知nn1_1能被(n_1)2整除;
2.
二项式系数
【例4】在(x_1)(x.1)8的展开式中X5的系数是()
B.14C.->8
D.28
的系数为C8
4543
原展开式中X的系数为C8-C8二C8「C8=14,应选B.
【例5】设k=1,2,3,4,5,则(x■2)5的展开式中xk的系数不可能是()
A.10B.40C.50D.80
【分析】立足于二项展开式的通项公式:
T—=C;x5丄2「(r=0,1,2,…,5)
•••当k=1时,r=4,x1的系数为C524=80;
当k=2时,r=3,x2的系数为C5-23=80;
当k=3时,r=2,x3的系数为c522=40;
当k=4时,r=1,x4的系数为c521".
•综上可知应选C.
【点评】关于二项展开式中某一项的问题,一般要利用二项展开式的通项公式.
【例6】在(1-X)5(—x)6•(1—X)7•(1—X)8的展开式中,x3的项的系数为()
D.-21
A.74B.121
又(1-X)5的展开式中x4系数为c5,(1-X)9的展开式中x4系数为c9
44
原展开式中X3项的系数为C5_C9=:
「121,应选D.
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项;(3)系数最大的项.
【解析】由题意得+C2+C"十…=2n丄=512
nnn
•••n=10
30_5r
•二项展开式的通项公式为Tr八=c;丄-1)"2丄.x6(r=0,1,2,…10)
(1)In=10,
•二项展开式共11项
•••二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大
5
-_C102
10!
r!
(10_r)!
10!
r!
(10—r)!
•第4项系数的绝对值最大
•所求系数绝对值最大的项为
T4二一15x2
点评:
(1)解决二项式问题要注意区分两种系数:
一种是某一项的系数,按通常的多项式系数去理解、认
定;一种是某项的二项式系数,仅指这一项中所含的那个组合数•二者在特殊情况下方为同一数值.
项,必要时可适时转化.
1展开式中各二项式系数的和;
2展开式中各项系数的和;
3
③a1-.-a3亠亠玄佃的值④a2-“4亠亠a200的值
⑤d|“|a2|…十200的值
②展开式中各项系数的和a0a1a2■■■■
200
:
|l,a200二f
(1)=3
.f⑴_f(_1)=2®•a3亠-亠)
827」八一2200=:
1(3200-5200)一1
2
a1•a2_a3-a4
--a199'a200—f(_1)-1
200
二5-1
点评:
对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和,一般可根
3.二项式展开式的通项公式
1
【例9】求(x_)9的二项展开式中x3的系数.
x
【解析】展开式的通项为
m9m1m
Tm1=C9%_()
根据题意,有9_2m=3,解得m=3
因此,x3的系数为(_1)3C3=(_D334=_84
【例10】求(1■2x)7的二项展开式中,第4项的系数和第4项的二项式系数.【解析】(1.2x)7的二项展开式的第4项为
3733
T31心1-(2x)
3
所以第4项的二项式系数为C7=35
3
第4项的系数为C78=280
【例11】求(低+亠)10的二项展开式的第6项.
x
【解析】口二丁:
十二。
!
^振I'亠厂=C;=252.
1R
【例12】二项式(x+—)的展开式中常数项的值为
x
1
【解析】展开式的通项为J1.=C;x6」(—)r=C;x6②由题意知6-2r=0,即r=3,故有展开式中常数项
x
的值为C6=20.
5
5=「
6x
5
依题意,5r=0,即r=6.
6
所以展开式的常数项是T7=(-1)6c;=210
【例14】(2010江西卷理6)(2—.x)8展开式中不含x4项的系数的和为(
A.-1
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难则反•采用赋
8
值法,令x=1得:
系数和为1,减去x4项系数C820(_1)8=1即为所求,答案为0.
4.二项式定理在解决整除性问题中的应用
【例15】今天是星期一,再过8n天后的那一天是星期几?
【解析】8n=(7+『=C:
7n+Cn7n」+C:
7n,+…+Cn^1+Cn因为Cn前面各项都是7的倍数,故
【例16】9192除以100的余数是()•
【解析】转化为二项式的展开式求解.
91
上式中只有最后两项不能被100整除C90.1=9290-1=8281
92
92
8281除以100的余数为81,所以91除以100的余数为81.
5.信息迁移
■ZrM,[,t-200422004
【例17】右(1_2x)a0亠亠a2x亠•亠a2004x(x三R),(a0亠aj亠(a0亠a2)亠■亠(a0亠a2004)
=.(用数字作答)
【解析】设f(x)=(1—-a0■a1x・a2x亠'-a2004x2°°4
贝Vf(0)=a0,f
(1)=a0亠a’、a2亠'亠a2004=1.
原式=2004a0-(a1•a2……①2004)=2003a0•f
(1)=2004应填2004.
2
【例18】已知函数f(x)
2
n
【证明】要证f(n)>—(n€N,且n启3,只要证-_,即证2n>2n+1(n兰3).
n+12n+1n+1
nn012
而2"=(1J)"=CCC
nnn
n01n_1
CnCnCnCn=2n•1,故原命题显然成立.
【例19】求证:
2:
:
:
(1-^)n:
:
:
3(n_2,n三N*)
n
【证明】
n
1
(1*)
n
)
31
'火―n
In1
孑+・・亠+C、&—
3nn
nn
n(n—.1)(n—.2)
X-+…+
n(n—1)叮、:
.21
X-
111
<2+—+—+—+•
2!
3!
4!
1111
••+—<2+—+——+——+…+n!
23
2心
11n1
—口一
(一)_]1
221
:
:
:
3
=2+2=3-(—)
2
显然(1l)n
n
-1
:
:
:
(1
.丄)n:
:
:
3(n_2,n三N
n
课堂总结
1.在使用通项公式Tri=Cnan±br时,要注意:
1通项公式是表示第r+1项,而不是第r项
2展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同
3通项公式中含有a,b,n,r,Tr1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素在
有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问
题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程(或方程组)这里必须注意n是正整数,r是非负整
数且rq
2.证明组合恒等式常用赋值法
3.二项式定理应用通常有以下几类题型:
1通项应用型:
利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题
2系数配对型:
展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式,求某项系数
3系数性质型:
灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和
4利用二项式定理求近似值,证明整除性或求余数问题,证明恒等式或不等式
5在概率等方面的应用
课后检测
【习题1】(2010全国I卷理5)(1•2,x)3(1_3,x)5的展开式中x的系数是(
B.-2
A.-4
【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,
及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【答案】B
一坂)5
【解析】(1•2..x)3(1_3.x)5=(16.x-12x・8x..x)(1
故(1•2...x)3(1一3..x)5的展开式中含X的项为
1c5(-3、x)3
--2x,所以x
的系数为-2.
【习题2】(2x•、、x)4的展开式中
的系数是(
【答案】C
【答案】A
【解析】设(2x3
厂的展开式中的第r+1项是Tr1<:
./x
二c7(2x3)7丄
727-(-1)
r
3(7_£)
2
x
1
■212-14
66
C7(_1)
【习题4】(2010陕西卷理
x--(x・R)展开式中x3的系数为
x
10,则实数a等于(
-1
B.0.5
【答案】D
【解析】•/T
1=C
▼c
r
■a
5
5_2rx
又令5-2r=3得r
二10=•a二2.
【习题5】若
3
(x
1
xx)
n的展开式中的常数项为
84,则n=
【答案】9
rr-r3n_r
【解析】Trin(X)n~-(X^)r二CnX
入9
令3n—r=0,•••2n=3r
2
•n必为3的倍数,r为偶数
试验可知n=9,r=6时,c-C-84
【习题6】已知(xlgX-i)n展开式中,末三项的二项式系数和等于22,二项式系数最大项为20000,求x的
值
【解析】由题意Cn"Cn"Cn=22,
nnn
210
即CnCnC^22,
•••n=6•第4项的二项式系数最大
、1
•x=10或x=—
10
【习题7】(2010安徽卷理
12)
xy6f
()展开式中,
.yx
x3的系数等于
【解析】c:
(4)4($)2
Jy\'x
=15x3,所以x3的系数等于
r
当一—・3(7_r)=0,即r=6时,它为常数项,
2
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