第一讲 不等式的基本性质基础讲解学年八年级数学下册基础讲练北师大版.docx
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第一讲不等式的基本性质基础讲解学年八年级数学下册基础讲练北师大版
第一讲不等式的基本性质
【学习目标】
1.了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.
2.知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
3.理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.
【知识总结】
一、不等式的概念
一般地,用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
(1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大.
(2)五种不等号的读法及其意义:
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能确定哪个大,哪个小
“<”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“>”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数,如3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知数,如2x>5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立.
二、不等式的解及解集
1.不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
2.不等式的解集:
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.
不等式的解
是具体的未知数的值,不是一个范围
不等式的解集
是一个集合,是一个范围.
其含义:
①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
(1)用最简的不等式表示:
一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:
不等式x-2≤6的解集为x≤8.
(2)用数轴表示:
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:
要点诠释:
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:
一是确定“边界点”,二是确定方向.
(1)确定“边界点”:
若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;
(2)确定“方向”:
对边界点a而言,x>a或x≥a向右画;对边界点a而言,x<a或x≤a向左画.
注意:
在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.
三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1:
不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
用式子表示:
如果a>b,那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2:
不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
用式子表示:
如果a>b,c>0,那么ac>bc(或).
不等式的基本性质3:
不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
用式子表示:
如果a>b,c<0,那么ac<bc(或).
要点诠释:
不等式的基本性质的掌握注意以下几点:
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会.
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变.
【典型例题】
【类型】一、不等式的概念
例1.给出下列表达式:
①;②;③;④;⑤;⑥,其中属于不等式的是______.(填序号)
【答案】②③④⑥
【分析】根据不等式的定义判断即可.
解:
①a(b+c)=ab+ac是等式;
②-2<0是用不等号连接的式子,故是不等式;
③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式;
④2a>b+1是用不等号连接的式子,故是不等式;
⑤x2-2xy+y2是代数式;
⑥2x-3>6是用不等号连接的式子,故是不等式,
故答案为:
②③④⑥.
【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.
【训练】下列式子:
①-1>2;②3x≥-1;③x-3;④s=vt;⑤3x-4<2y;⑥3x-5=2x+2;⑦a2+2≥0;⑧a2+b2≠c2.其中是不等式的是___________________.(只填序号)
【答案】①②⑤⑦⑧
【解析】
【分析】根据不等式的定义即可得出结论.
解:
根据不等式的定义:
①-1>2,②3x≥-1,⑤3x-4<2y,⑦a2+2≥0,⑧a2+b2≠c2是不等式;③x-3,④s=vt,⑥3x-5=2x+2不是不等式.
故答案为:
①②⑤⑦⑧.
【点拨】本题考查了不等式的概念.掌握不等式的概念是解题的基础.
【训练】下列式子属于不等式的是_______________.
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
【答案】①③④⑤⑦⑧⑨
【解析】
【分析】根据不等式的概念即可解题.
解:
∵不等式要求用不等号连接
∴排除②⑥
∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨
【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.
【类型】二、不等式的解及解集
例2.(2018·安徽全国·七年级单元测试)下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解?
哪些不是?
100,98,51,12,2,0,-1,-3,-5.
【答案】100,98,51,12,2是不等式3x-1≥5的解;0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解.
【解析】
试题分析:
把上述各数分别代入不等式的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可.
试题解析:
∵在不等式中,
当时,左边=;
当时,左边=;
当时,左边=;
当时,左边=;
当时,左边=;
当时,左边=;
当时,左边=;
当时,左边=;
当时,左边=;
∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式的解;0,-1,-3,-5不是不等式的解.
例3.把下列不等式的解集在数轴上表示出来.
(1)x≥-3;
(2)x>-1;(3)x≤3;(4)x<-.
【答案】
(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.
试题解析:
(1)将表示在数轴上为:
(2)将表示在数轴上为:
(3)将表示在数轴上为:
(4)将表示在数轴上为:
点拨:
将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点:
(1)“大于(大于或等于)向右,小于(小于或等于)向左”;
(2)“或()时”,数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”,“(或)时”,数轴上表示数“”的点用“实心圆点”.
【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x<6的解集和x的下列值:
﹣4,﹣2,0,,7,并利用数轴说明x的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x<6,哪些不满足?
【答案】﹣2,0,满足不等式;﹣4,7不满足不等式
【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值:
﹣4,﹣2,0,,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式.
解:
根据图可知:
x的下列值:
﹣2,0,满足不等式;x的下列值:
﹣4,7不满足不等式.
【点拨】
不等式的解集在数轴上表示的方法:
把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
【类型】三、不等式的性质
例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成或的形式.
(1).
(2).(3).(4).
【答案】
(1);
(2);(3);(4).
【分析】
(1)利用不等式的性质将两边加上即可求解;
(2)利用不等式的性质先将两边加上,再两边同除以即可求解;
(3)利用不等式的性质先将两边减去,再两边同除以即可求解;
(3)利用不等式的性质将两边同除以-即可求解;
解:
(1),
两边加上得:
,
解得:
;
(2),
两边加上得:
,即,
两边除以得:
;
(3),
两边减去得:
,即,
两边除以得:
;
(4),
两边除以得:
.
【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质.
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