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对杨辉三角的研究教学文案
对杨辉三角的研究
对杨辉三角的研究
看似数学是无聊的,无非是一列列数字,一个个几何,一道道习题,其实只要善于发现,善于发掘,数学中蕴含了无数优美的规律和神秘的排列,例如“杨辉三角”。
什么是杨辉三角
杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角的历史
北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
杨辉,字谦光,南宋时期杭州人。
在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”。
故此,杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
在欧洲直到1623年以后,法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
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1)初步认识杨辉三角
二项式(a+b)n展开式的二项式系数,当n依次取1,2,3...时,列出的一张表,叫做二项式系数表,因它形如三角形,南宋的杨辉对其有过深入研究,所以我们又称它为杨辉三角.
2)杨辉三角所蕴含的数量关系
(用Excel制作的杨辉三角的另一表现形式)
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1)二项式定理与杨辉三角
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理。
杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)^2的展开式来探讨。
由上式得出:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 此代数式的系数为:
1 2 1
则(a+b)^3的展开式是什么呢?
答案为:
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
由此可发现,此代数的系数为:
1 3 3 1
但似乎没有什么规律,所以让我们再来看看(a+b)^4的展开式。
展开式为:
a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
由此又可发现,代数式的系数为:
1 4 6 4 1
似乎发现了一些规律,就可以发现以下呈三角形的数列:
1 (11^0)
1 1 (11^1)
1 2 1 (11^2)
1 3 3 1 (11^3
1 4 6 4 1 (11^4)
1 5 10 10 5 1 (11^5)
1 6 15 20 15 6 1 (11^6)
所以,可得出二项式定理的公式为:
(a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n
因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学。
求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题。
用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”。
2)杨辉三角的幂的关系
首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下:
1 ( 1 )
1 1 ( 1+1=2 )
1 2 1 (1+2+1=4 )
1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )
1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )
1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 )
1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )
„„
相加得到的数是1,2,4,8,16,32,64,
刚好是2的0,1,2,3,4,5次幂,即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂
3) 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
(1)
1
(2) n=1
1 1 (3) n=2
1 2 1 (4) n=3
1 3 3 1 (5) n=4
1 4 6 4 1 (6) n=5
1 5 10 10 5 1 (7) n=6
1 6 15 20 15 6 1 (8)n=7
把斜行
(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行
(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1
将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比,我们发现它们是完全相同的。
1
11
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
由上面可得:
杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和,即第n行的数分别为1、
(1)中第n行之前的数字之和、
(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、(n-3)中第n行之前的数字之和。
4)杨辉三角的数字排列
1、杨辉三角的第1,3,7,15,...行,即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点?
分析:
观察可知,它们均为奇数.第2K行除两端的1之外都是偶数.
2、杨辉三角第5行中,除去两端的数字1以外,行数5整除其余所有的数.你能再找出具有类似性质的三行吗?
这时的行数P是什么数?
分析:
如2,3,7,11等行.行数P是质数(素数)
3、计算杨辉三角中各行数字的和,看有何规律:
第1行 1+1=2
第2行 1+2+1=4=22
第3行 1+3+3+1=8=23
第4行 1+4+6+4+1=16=24
第5行 1+5+10+10+5+1=32=25
...
第n行
分析:
第n行数字的和为2n.
前n行(含第0行)所有数的和为2n–1,它恰好比第n行的和2n小1.
4、从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩”出发,向右(左)上方作
一条和左斜边平行的射线,在这条射线上的各数的和等于这个数.
例如:
10=1+2+3+4,
20=1+3+6+10,...
一般地,在第m条斜线上(从右上到左下)前n个数字的和,等于第m+1条斜线上的第n个数.
根据这一性质,猜想下列数列的前n项和:
1+1+1+...+1=
(第1条斜线)
1+2+3+...+
=
(第2条斜线)
1+3+6+...+
=
(第3条斜线)
1+4+10+...+
=
(第4条斜线)
(第r+1条斜线)
5、如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(≥3)
这就是著名的斐波那契数列.
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题:
假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子,再过一个月就开始生下一对小兔子,并且以后每个月都生一对小兔子.设所生一对兔子均为一雄一雌,且均无死亡.问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子?
兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案:
右侧从上而下的一列数1,1,2,3,5,8,13,…,正好是刚生的兔子,第一个月后的兔子.第二个月后的兔子,第三个月后的兔子,…n个月后的兔子的对数.“兔子繁殖问题”的答案就是第12行右下侧的数(第13个),即233.
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1)杨辉三角与弹子游戏(先介绍我国现代数学家华罗庚)
华罗庚(1910-1985)是一位具有世界声誉的数学家,我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。
撰写了不少高质量的10部专著、200篇论文和10余部科普著作。
由于他的贡献,有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名.为了推广优选法,华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久,取得了明显的经济效益和社会效益,为我国经济建设作出了重大贡献.在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中,对杨辉三角的构成,提出了一种有趣的看法.
下面介绍弹子游戏问题
如图,在一块倾斜的木板上,钉上一些正六角 形小木块,在它们中间留下一些通道,从上部的漏斗直通到下部的长方形框子。
把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面(有几个通道就算第几层),以后,再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去.……,以此类推,算一算:
个弹子通过n+1层通道,落到各长方形框里的可能情况。
分析:
弹子从每一通道通过时可能情况是:
它选择左右两通道可能性是相等的,而其他任一个通道的可能情形,应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和。
可以设想,第1层只有1条通道,通过的概率是1
第2层有2条通道,每条通过的概率依次是
第3层有3个通道,每条通过的概率从左到右依次是
,
,
第4层各通道通过的概率从左到右依次是
,
,
,
...
照这样计算第n+1层有n+1个通道,弹子通过各通道的概率将是?
“概率三角形”杨辉三角的关系:
第n行各概率的分子是杨辉三角中的数,分母是2n。
2)杨辉三角与“纵横路线图”
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题.图1是某城市的部分街道图,纵横各有五条路,如果从A处走到B处(只能由北到南,由西向东),那么有多少种不同的走法?
我们把图顺时针转45度,使A在正上方,
B在正下方,然后在交叉点标上相应的杨辉三角
数.有趣的是,B处所对应的数70,正好是答案(
70).
一般地,每个交点上的杨辉三角数,就是从A到达该点的方法数.由此看来,杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系.
3)杨辉三角与“堆垛术”(三角垛,正方垛,...)
将圆弹堆成三角垛:
底层是每边n的三角形,向上逐层每边少一个圆弹,顶层是一个圆弹,求总数.
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总结杨辉三角对于我们好理解的规律,如下七点:
1、 每个数等于它上方两数之和。
2、 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。
3、 第n行的数字有n+1项。
。
4、上面两个数之和就是下面的一行的数
5、 第n行数字和为2^(n-1)。
(2的(n-1)次方)
6、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
7、第n行的第m个数和第n-m个数相等,即C(n,m)=C(n,n-m),这是组合数性质 。
杨辉三角基本规律公式
(1)每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是.
(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是.
(3)杨辉三角具有对称性(对称美),即.
(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)n展开式的二项式系数,即
参考文献:
XX文库
360百科
维基百科
道客巴巴
豆丁网
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