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有关模型思想的课题研究
有关模型思想的课题研究
——以人民教育出版社小学数学教材为例
“模型”一词出现在《课程标准(实验稿)》中第三学段的教学建议中,其提法是“教学应结合具体的数学内容采用‘问题情境—建立模型—解释、应用与拓展’的模式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好理解数学知识的意义……”显然,在这里数学建模及其过程更多地被看成是一种教学活动过程和模式。
但是模型思想作为10个核心概念中唯一以“思想”指称的概念,着重的是一种数学的基本思想的体现,在此,我们必须对数学建模与模型思想进行区分,进行本质上的理解。
、相关概念的界定与梳理
.数学思想
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括,如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。
数学思想不同与数学方法:
数学思想是上位的概念,它更具有普遍的指导意义;而数学方法是下位的概念,它是解决数学问题的具体的手段。
两者相比,数学思想更为抽象,具有普遍性和指导性;数学方法则更为具体,具有有策略性和可操作性。
我国著名数学教育家史宁中教授指出,“至今为止,数学发展所依赖的思想在本质上有三个:
抽象、推理、模型,其中抽象是最核心的。
通过抽象,在现实生活中得到数学的概念和运算法则,通过推理得到数学的发展,然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。
.数学模型
从广义上讲,表示数量或几何关系的数学符号、数学概念、几何图形、数学公式、方程式、定理以及由各种数学符号组成的算法系统都可以理解为数学模型。
从狭义上讲,只有那些反映了特定数学问题或特定的具体事物的数学结构才可以称为数学模型。
而小学阶段的数学模型应是入门的、简单的、贴近学生日常生活实际的,重在通过初步的模型方法让学生理解数学的基本概念。
从广义上说,基本的数学概念、代数符号、几何图形、数量关系等数学结构都是数学模型。
例如,从具体情境中抽象出的分数、小数、百分数、负数等数学基本概念就是数学模型。
需要指出的是,小学阶段学生经常接触和练习的数学模型是数量关系模型,如总价=单价X数量,路程=速度X时间等。
通俗来讲,小学阶段常见的解应用题就是运用数量关系模型解决其它同类问题的过程。
从狭义说,针对特定问题而形成的结构性算法也是数学模型,其目的是解决特定问题。
小学阶段常见的特定数学模型有“鸡兔同笼”问题、“间隔植树”问题等。
数学建模则是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。
这一过程的步骤可用如图1来表示
图1数学建模过程的步骤
.模型思想
结合数学思想与数学模型的含义不难看出,模型思想就是指通过对现实问题或情境进行抽象,建立数学模型,并用数学模型解决类似问题的方法与策略、意识与观念。
模型思想的本质是从解决一个问题到解决一类问题的思路和方法。
2011版《数学课标标准》提出了建立和求解模型的过程:
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。
因此,可以从主观和客观两个角度来理解模型思想。
从主观上讲,模型思想是建立和求解模型的意识与观念,它是数学素质培养的对象之一;从客观上讲,模型思想是建立和求解模型的方法与策略,它是学生应该掌握的一种数学思想方法。
从根本上说,模型即结构,数学模型是关于数学知识的结构,模型思想是个体对数学知识和结构认知的过程及其结果。
、小学数学模型的课程内容与典型案例分析
(一)小学数学模型的课程内容分析
本研究的研究对象为义务教育课程标准实验教科书1-6年级小学数学的课程内容。
课程内容来自两个方面:
《数学新课标》中的课程内容标准和我国现行的人教版小学数学教材(以4-6年级为主)。
小学数学的课程内容分为四大版块:
数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。
我国小学阶段由两个学段组成:
第一学段(1-3年级)和第二学段(4-6年级)。
这两个学段的数学课程内容在编排上逐级递进、螺旋上升。
基于对2011版《数学课程标准》中内容标准的分析,我小组总结出各个学段中可抽象为数学模型的课程内容:
.数与代数——数的认识
自然数的认识
第一步:
感知与提取数量信息。
感知事物的数量其实就是感知不同事物(集合)之间的可以建立一一对应的关系(等价关系)是形成标准集合的过程,并提出“有多少种计数单位、有多少个计数单位”的问题。
提取数量的基本方式是数数,数数可以运用不同的计数单位,有以“1”和“群”为单位的两种计数。
第二步:
保存与交流数量信息。
在抽象概念层面,其方式就是借助发声系统运用现成语言进行描述(不同民族、不同国家);在具体操作层面,其方式就是借助发声系统运用现成的语言进行描述(结绳、石子、刻痕等载体)。
第三步:
应用与发展数量信息。
应用与发展数量信息主要是利用数数的方法、数的读写来解决一些生活中问题,如:
比较事物的多少(在比较事物多少的活动中,形成数的大小比较的方法:
有数量的多少决定数的大小,或由计数单位的多少决定数的大小,或由计数单位的大小决定数的大小);分配任务(数的分解与合成:
将一定数量的苹果分给两个人);估计事物的数量(在不同的估计事物数量的活动中,发展人的数感);对事物进行排序编码(在编制学号、座位。
球队等活动中,进一步明确数的二重含义:
序数与基数)。
分数、百分数、小数
第一步:
对物体的任意组合。
第二步:
对物体的任意切分,形成不同的分数计数单位。
第三步:
分数概念的产生。
通过对切分事物的具体情境,例如切分水果,切分烙饼等,对分数的概念进行再创造(对饼进行平均切分成3份,我获得了一份,这一份就表示
)。
再者通过事物数量之间关系为具体情境,对分数的概念进行再创造(三只粉红猪和四只小花猪之间数量关系可以用
来表示的绝对数量)。
第四步:
分数概念的完善。
分数单位的多变性(把一张纸平均分成二份,其中一份就是二分之一;把一张纸平均分成三分,其中一份就是三分之一……把一张纸平均分n份,其中一份就是n分之一)、分数单位的组合性(把一张纸平均分成四分,其中一份就是“
”,三份就是3个“
”,即将分数单位的数量“3”与分数单位“
”进行组合处理,形成一个具有双重含义的组合符号“
”)、单位“1”的广泛性(切分对象只要是“独立可切分物体”,不注重大小、颜色等外在问题;若干个具有共同属性的物体都可以看作整体)。
第五步:
分数大小的比较。
分数大小类似与分数单位的大小,两者皆源于对分数单位的客观原形的直观感受。
一般有原形比较法、转换比较法、演算比较法。
第六步:
分数的局部深化。
十进分数的分离十进分数的计数小数的自然形成百分数的一般含义真分数与假分数分数之间的关系。
质数与合数
第一步:
通过操作逐步给出学习材料,即逐一写出自然数的约数;
第二步:
对多个自然数的约数进行观察,分析它们的共同特征和不同特征,试图进行分类;
第三步:
根据约数个数的多少将自然数分成三部分(只有“1”一个约数、只有“1”和“本身”,没有其它约数、除了“1”和“本身”,还有其它约数),并给出一个相关的名称。
奇数与偶数
第一步:
对每一个自然数做除法运算(n÷2=?
)给出观察材料;
第二步:
对所有除法算式进行观察,容易发现:
除法算式要么没有余数,要么有余数,且余数是1,因此,自然地会将自然数分成两部分:
能被2整除和不能被2整除;
第三步:
根据特征给出定义:
能被2除尽的自然数叫做偶数,不能被2除尽的自然数叫做奇数。
公因数公倍数、最大公因数与最小公倍数
第一步:
根据因数的含义,分别写出两个数的因数;
第二步:
观察两个数的因数,发现两个因数的集合中有相同的因数,从而可以获得公因数的概念;
第三步:
继续对公因数进行观察,容易发现有一个最大的因数,也有一个最小的公因数。
.数与代数——数的运算
第一步:
对操作过程的刻画和对摆放形式的抽象。
3+2==============5
第二步:
对原有知识的分类与对操作过程的简化。
算式分离方式改进
第三步:
在模仿基础上的改进型创造
3+2=53+2=5
5-3=25-3=2
.数与代数——常见的量
量与计量(同构式过程化处理)
第一步:
建立同构对象。
我们对某一事物属性相关知识的过程化处理,可以采用A、B两个集合作为类比推理思考的对象,建立同构思想模型。
如:
以长度的度量为已知属性,对面积的度量、体积的度量的过程化处理都可以采用以上同构思想。
第二步:
进行类比联想。
第三步:
整理完善系统。
借助同构思想模型获得创造的数学知识(计量单位、测量工具等)必须在实践应用中加以改进和完善。
度量工具的认识
第一步:
认识度量工具的形状。
认识事物的过程是一个由表及里的过程,让学生认识度量工具需要从认识度量工具的种类开始。
第二步:
认识度量工具的内容。
认识事物的目的不在于认识事物的种类和形状,而在于认识事物的内容,功能与原理、度量工具的内容主要是与测量事物属性相关的内容。
第三步:
度量工具的实际应用。
度量工具的实践应用一般可以帮助学生进一步感知相关事物的属性,进一步理解和巩固度量工具的相关知识,还可以帮助学生形成测量技能,提升解决简单的实际问题的能力。
币值计数
第一步:
用自然数计数方法对不同币值单位进行计数
第二步:
对不同币值单位的计数结果进行求和。
时间
时间是事物行为的持续过程,这个过程与光行距比较的结果就是时间。
重量
重量是一种可感知的事物的基本属性,重量是事物与地球之间相互作用而形成的,称量物体重量的工具制作原理就是引用了引力和杠杆原理。
.图形与几何——图形的认识
第一步:
从生活中的物体中抽象出某类具有相同特性的图形;
第二步:
通过具体操作活动(例如剪一剪、摆一摆画一画、量一量、算一算等)观察发现图形的特征;
第三步:
内化图形的相关知识。
.图形与几何——测量
平面图形的面积
第一种:
整体割补方法的自然感知过程(局部割补过程中感知发现整体割补的方法);
第二种:
平行四边形面积公式的主动探索过程(观察操作获得三个特征量数,想象猜测发现三个特征量数之间的关系,验证概括获得平行四边形面积公式);
第三种:
其他平面图形面积的问题化归过程(明确要解决的未知问题,回忆可解决的已知问题,寻求未知到已知的转化方法(分解转化法、合并转化法、割补转化法))。
.图形与几何——图形的运动与位置
图形的运动
第一步:
观察生活中物体的运动,感知运动方式的特点进行分类;
第二步:
联系生活实际动手操作,进一步感知物体运动方式的特点;
第三步:
掌握在方格纸上图形运动的方法,分清图形运动的方式。
位置的认识
第一种:
生活方式的刻画,即用占有位置的物体的名称来刻画,如小明位置,小军位置。
第二种:
利用参照物来刻画,即小明的位置可以刻画为桌子的北面等。
第三种:
数学方式的刻画,即客观存在的“地方”进行编号。
编号方式包括自然编号、数组编号。
.统计与概率
第一步:
数据的收集与整理。
统计的对象是静态可移动的对象,用生活化的方式获取数据。
动态不可归类的物体用数学化的方式获取数据。
其次对数据信息进行整理,即对数据进行排序、求特征量数(总数、平均数、中位数、众数)。
第二步:
数据的描述与交流。
第三步:
预测与决策。
在这个过程中,运用的是数学中的同构思想,这种思想表现为两种形式:
一是当前已知的发展情况,推测未来的发展趋势;二是当前样样本的表现情况,推测当前总体的表现情况。
(二)小学数学模型的典型案例分析
案例一:
借助条形图认识分数
方格纸是人教版小学数学教材中常用的教学用具,它适用于分数、小数、位置、几何图形面积、正反比例关系等多个知识领域。
小学六年级上册在学习分数的乘法时借助了方格纸的用法。
例1:
一个粉刷墙面的工人每小时刷一面墙的
那么
小时粉刷这面墙的几分之几?
(1)拿一张纸,用它表示这而墙,凃出它的
如下图所示:
想:
涂色部分是
。
一面墙的
(2)涂出
的
如下图所示:
想:
小时刷这面墙的几分之几,就求
的
是多少。
计算过程和结果为:
×
=
=
的
分析:
方格纸从本质上说是表示事物数量、位置、大小及数量关系的“直观模型”。
教师通过引导学生在方格纸上涂颜色来学习分数的表示、计算及转换,这种直观教学的方式更容晃让学生理解知识的意义,而不是单纯的符兮性知识。
案例二:
“鸡兔同笼”问题
“鸡兔同笼”问题是数学中的经典案例,它出自于我国古代数学名著《孙子算经》。
“鸡兔同笼”问题直接体现了假设和方程的思想,由于它的代表性和可拓展性,所以它所涉及的算法也是数学中的一个经典模型。
小学五年级上册的练习和六年级上册的“数学广角”中都有“鸡兔同笼”这一问题。
例:
笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。
问:
鸡和兔各有几只?
解法1:
列方程
设有X只兔,那么就有(35-1)只鸡。
鸡和兔共有94只脚,就是:
4x+2(35-x)=94
2x+70=94
x=l2
35-12:
23(只)
答:
兔有12只,鸡有23只。
解法2:
假设法
实际上古人就是用假设的方法解决这个问题的,现在我们用更形象的假设法来帮助学生快速得出结果。
(1)假设鸡和兔都是训练有素的,吹一声哨子,鸡和兔各抬起一只脚,这时还有94-35=59只脚;
(2)吹第二声哨子,鸡和兔又各抬起一只脚,这时还有59-35=24只脚,但这些脚都是兔子的,每只兔子两只脚,因为鸡已经“没有”脚了,全部机在了地上;
(3)兔子的个数就是24+2=12只,鸡的个数是35-12=23只。
分析:
用列方程的方法解这道题是比较常规的方法,因为这道题本身蕴涵的就是方程思想,即一元一次方程甚至是二元一次方程组(鸡和兔都是未知数)。
用假设的方法解题,对于处于形象表征阶段的学生来说无疑是有助于学生理解问题的一种方法。
此外,在涉及数量不大的情况下,教师还可引导学生使用列表尝试的方法。
如果鸡和兔共有7个头,22只脚,那么可列表如下:
鸡
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
2
3
4
5
6
7
脚
14
16
18
20
22
24
26
28
通过列表尝试,学生很容易得出鸡有3只,兔有4只。
列表法是发现规律的一条重要途径。
无论釆用何种方法,得出“鸡兔同笼”问题的算法规则是最关键的,因为这种算法规则是一种数学模型,它可以迁移到其他大量相似问题的解决中。
案例三:
“烙饼问题”
小学四年级上册“数学广角”中专题探讨了如何使时间分配最优化以提高效率的问题。
例1:
妈妈每次只能烙两张饼,两面都要烙,每面3分钟。
爸爸、妈妈和我每人一张,怎样才能尽快吃上饼?
模型思想的具体表现:
如果一张一张地烙,烙一张饼要6分钟,恪3张饼则要18分钟,这样未免太费时间了。
此时的模型
。
还有没有其他模型呢?
有。
如果先同时烙两张,再烙一张,这样就只需要12分钟,省了6分钟。
此时烙饼数×3=烙饼时间(严格说应该是最省时间),这是正确的模型么?
显然不是,应该是
。
当然,我们只研究最省时间模型,而最省时间模型的建立途径也并不是唯一的,我们还可以如此建模模型:
或者
。
不同的模型体现不同的模型思想,模型思想没有对与错,只有对应模型的真与假。
分析:
“烙饼问题”或类似的时间分配问题实质上是数学中的对策论模型。
我国古代就有非常经典的对策论模型,如“田忌赛马”。
对策论模型解决的问题是如何用最少的时间或最高的效率完成任务。
“烙饼问题”让学生发现不同的策略情况下完成任务所需的时间是不同的。
、小学数学模型思想的能力要素
(一)问题表征能力
表征能力是指个体在心理活动中以某种方式存储和表现信息以完成某项任务的心理特征。
从认知发展阶段理论或表征发展阶段理论可知,儿童在不同的年龄阶段有不同的认知方式或表征方式。
总体来说,在小学阶段,学生学习数学常用的表征方式有符号、列表和图解。
(二)抽象概括能力
小学数学模型思想需要学生具备一定的抽象概括能力。
所谓抽象概括能力,是指个体在心理活动中简缩认知对象,使认知对象形象化或符号化的能力。
车加亭认为,数学抽象概括能力具体表现在:
发现在普遍现象中存在差异的能力,在各类现象间建立联系的能力,分离出问题的核心和实质的能力,山特殊到一般的能力,把本质的与非本质的东西区分开来的能力,善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。
(三)合情推理能力
合情推理是学生通过观察、尝试、归纳、类比、画图、列表、猜想等活动发现数学规律,得出数学结论的思维过程。
小学阶段,由于儿童的思维处于以具体运算为主的水平,所以小学生的推理形式主要是合情推理。
在小学阶段培养学生的模型思想需要发挥学生的合情推理能力。
合情推理主要有归纳推理和类比推理。
(四)直觉思维能力
建构数学模型不仅需要逻辑思维能力,还在很大程度上依赖于非逻辑思维能力,直觉就是一种非常重要的非逻辑思维能力。
直觉是一种思维形式,也是一种个性思维能力。
允许学生运用他天生的和直觉的思维方法,切实地鼓励他们这样做,而且当他们做得好的时候,还要给予荣誉和奖励,这是非常重要的”气笔者认为,直觉能力表现在两个方面:
猜想意识和发散思维。
、小学数学模型思想的培养策略
(一)重视数学问题情境的创设
新课标强调在小学阶段的数学教学中应结合具体情境,在具体情境中认识数学的基本概念。
数学模型思想的本质是从现实数学问题或现象中抽象出普适性的数学模型,进而应用数学模型解决实际问题。
正如前文所分析的那样,小学数学绝大部分课程内容可用构建数学模型的方式进行教学。
因此,教师在数学教学中应有意识为学生创设问题的情境。
良好的问题情境必须满足以下两个条件:
第一,与学生的生活经验密切相关。
联系并符合学生生活实际的问题情境,一方面学生较为熟悉,另一方面便于学生理解。
数学知识归根到底是“从生活中来”的,从最简单的自然数到复杂的函数关系,都可以在生活中找到它们的原型。
因此,创设问题情境实际上就是将数学模型“还原”的过程。
第二,有利于学生发现问题。
问题情境不是随意化的、无目的的现场观察或生活片段,而是蕴藏一定的结构。
教师为学生创设的情境必须有利于激发学生的好奇心和探究意识,并且在教师的引导下有利于学生提出假设,最终形成有价值的问题。
从创设情境到提出假设性的问题,这是构建数学模型最为关键的环节,小学数学教师必须具备这种教学思想。
(二)重视教学辅助工具的运用
学生在构建数学模型的过程中运用的表征方式主要有符号表征、列表表征和图解表征。
其中,符号表征是最常用也是最基本的表征方式,数学模型最终要以符号的形式固定下来。
确立符号模型需要运用多种辅助教学工具。
基于前面的分析,我们总结出以下两种教学辅助工具:
第一,列表、图形、图像。
列表表征和图解表征有利于学生理解问题的情境,探究问题中隐含的数学关系。
在确立符号模型的过积中需要发挥其他表征方式的辅助作用。
(1)列表法是探索问题答案的有效途径。
列表常用于对多种解题假设的尝试,虽然列表法比较费时,但它便于直接得出问题的答案。
(2)图形法是分析几何关系的直观工具。
小学阶段学习的几何知识主要是平面几何,其中,矩形和三角形是两种基本儿何图形。
学生学习其他复杂的几何图形时都可以还原为三角形和矩形。
在解决特定的几何问题时,教师需将问题情境转化为几何图形并呈现出来,这样学生就更容品联想已学习的几何知识,如“确定起跑线”问题。
(3)图像法是发现数量关系的基本手段。
学生在学习数学中认识的图像主要是坐标系,坐标系不仅是分析位置关系的参照体系,也是认识函数关系的基本工具。
六年级学习的正反比例关系实际上就是一次函数的基本模型,学生需初步掌握用图像表示函数关系的方法。
第二,实物教具。
实物教具也是帮助学生构建数学模型的有效教学手段。
实物教具本质上是反映问题要素基本特征的“直观模型”。
人教版小学数学教材中的教学内容使用了多种实物教具。
如:
方格纸和直尺有助于学生理解分数和小数,图形的平移、旋转和轴对称知识;天平有助于学生建构简易方程和解决按重量不等“找次品”的问题。
(三)通过数学建模改善学习方式
1.小课题学习方式。
让学生自主确立数学建模课题,设定课题研究计划,完成以后提交课题研究报告。
2.协作式学习方式。
在数学建模中可以小组为单位进行合理分工,协同作战,培养学生的合作交流能力。
3.开放式学习方式。
打破课堂课外局限,走入社会,进行数学调查;充分利用网络资源,收集建模有用信息;鼓励对同一问题的不同建模方式,等等。
4.信息技术环境中的学习方式。
充分利用计算机的计算功能、图形实现功能、特有软件包的应用功能等,寻求建模途径,提高数学建模的有效性。
五、小结
模型思想是2011版《数学课程标准》新增的核心概念。
这次随着“模型思想”的列入,我们会看到关于数学模型相关提法在2011版《数学课程标准》多个部分的出现。
特别的,模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容紧密关联。
作为未来教师的强有力储备军的我们应对2011版《数学课程标准》中模型思想的含义及要求准确理解,并把这些要求落实到课堂教学之中,才能助我们茁壮地成长。
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