专题十 概率统计.docx
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专题十概率统计
专题十概率统计
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,为人们制定决策提供依据.概率是研究随机现象规律的学科,为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.在义务教育的基础上,统计一章进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法;概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型.在必修课程学习统计的基础上,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用.概率为统计学的发展提供了理论基础.
§10-1概率
【知识要点】
1.事件与基本事件空间
随机事件:
当我们在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件;在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件,随机事件简称为事件.
基本事件与基本事件空间:
在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述,这样的事件称为基本事件.所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间,常用Ω表示.
2.频率与概率
频率:
在相同的条件S下,重复n次试验,观察某个事件A是否出现,称n次试验中事件A的出现次数m为事件A出现的频数,称事件A出现的比例
为事件A出现的频率.
概率:
一般的,在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率
,当n很大时总是在某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记做P(A).显然有0≤P(A)≤1.
不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,随机事件的概率在(0,1)之间.
3.互斥事件的概率加法公式
事件的并:
由事件A或B至少有一个发生构成的事件C称为事件A与B的并,记做C=A∪B.
互斥事件:
不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.
互斥事件加法公式:
如果事件A、B互斥,则事件A∪B发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和,即P(A∪B)=P(A)+P(B).
如果A1,A2,…,An两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪An发生的概率,等于这n个事件分别发生的概率和,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
对立事件:
不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件A的对立事件记作
,满足P(
)=1-P(A).
概率的一般加法公式(选学):
事件A和B同时发生构成的事件D,称为事件A与B的交(积),记作D=A∩B.在古典概型中,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
4.古典概型
古典概型:
一次试验有下面两个特征:
(1)有限性,在一次试验中可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;
(2)等可能性,每个基本事件发生的可能性是均等的,则称这个试验为古典概型.
古典概型的性质:
对于古典概型,如果试验的n个基本事件为A1,A2,…,An,则有P(A1∪A2∪…∪An)=1且
.
概率的古典定义:
在古典概型中,如果试验的基本事件总数为n(Ω),随机事件A包含的基本事件数为n(A),则p(A)=
,即
.
5.几何概型
几何概型:
一次试验具有这样的特征:
事件A理解为区域Ω的一个子区域A,A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关,这样的试验称为几何概型.
几何概型的特点:
(1)无限性,一次试验中可能出现的结果有无穷多个;
(2)等可能性,每个基本事件发生的可能性相等.
几何概型中事件A的概率定义:
,其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示子区域A的几何度量.
随机数:
就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会均等.计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法,可以节约大量的人力物力.
【复习要求】
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别;
2.了解两个互斥事件的概率加法公式;
3.理解古典概型及其概率计算公式,会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率;
4.了解随机数的意义,了解几何概型的意义.
【例题分析】
例1国家射击队的某队员射击一次,命中7-10环的概率如下表:
命中环数
10环
9环
8环
7环
…
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该队员射击一次,
(1)射中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数,命中不同的环数是互斥事件,射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和.命中不足8环所包含的事件较多,而其对立事件为“至少命中8环”,可先求其对立事件的概率,再通过P(A)=1-P(
)求解.
解:
设事件“射击一次,命中k环”为事件Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A,则
P(A)=P(A10)+P(A9)=0.60;
(2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B,则
P(B)=P(A10)+P(A9)+P(A8)=0.78;
(3)“射击一次,命中不足8环”为事件B的对立事件,则
P(
)=1-P(B)=0.22.
【评析】解决概率问题时,要先分清所求事件由哪些事件组成,分析是否是互斥事件,再决定用哪个公式.当用互斥事件的概率加法公式解题时,要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件,要善于用对立事件解题.
例2现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率;
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
【分析】本题是一个古典概型的问题,可以直接用概率公式
求解.
解:
(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),
(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),
(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),
(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}
由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示“A1恰被选中”这一事件,则
M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}.
事件M由6个基本事件组成,因而
.
(2)用N表示“B1,C1不全被选中”这一事件,则其对立事件
表示“B1,C1全被选中”这一事件,
由于
={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件
由3个基本事件组成,
所以
,由对立事件的概率公式得
.
【评析】古典概型解决概率问题时,选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步.本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果”为基本事件空间,计算时采用列举法,也可以利用乘法计数原理计算3×3×2=18.本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间,共有3个基本事件,选出A1只有一种可能,故所求概率为
.
例3一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
(1)连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;
(2)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率.
【分析】本题是一个古典概型问题,因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多,宜用两个计数原理计数.做第二问时,要分为三个事件:
“第一次摸到红球”,“第一次摸到不是红球,第二次摸到红球”,“前两次摸到不是红球,第三次摸到红球”,显然三个事件是互斥事件.
解:
(1)从袋中依次摸出2个球共有9×8=72种结果,第一次摸出黑球且第二次摸出白球共有3×4=12种结果,所求概率为
.
(2)设“第i次时第一次摸出红球”为事件Ai(i=1、2、3),Ai彼此互斥,则P(A1)=
,
所述概率为P2=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
.
【评析】利用古典概率求解时,求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致,若无序则都无序,若有序则都有序,分子和分母的标准要相同.在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法),有时也与排列组合联系紧密,计算时灵活多变,但要注意分类讨论,做到不重不漏.
例4
(1)两根相距6米的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2米的概率是________.
(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面,并约好先到者等候另一人一刻钟,过时即可离去.则两人能会面的概率是________.
(3)正方体内有一个内切球,则在正方体内任取一点,这个点在球内的概率为________.
【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解.分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解.
解:
(1)本题可转化为:
“在长为6m的线段上随机取点,恰好落在2m到4m间的概率为多少?
”易求得P=
;
(2)本题可转化为面积问题:
即“阴影部分面积占总面积的多少?
”,解得P(A)=
;
(3)本题可转化为体积问题:
即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?
”.解得P=
.
【评析】几何概型也是一种概率模型,它具有等可能性和无限性两个特点.解题的关键是要建立模型,将实际问题转化为几何概率问题.基本步骤是:
把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω;把随机事件A转化为与之对应的区域A;利用概率公式P(A)=
计算.常用的几何度量包括:
长度、面积、体积.
例5设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
【分析】本题第一问是古典概型问题,第二问由于a、b在实数区间选取,可以转化为几何概型问题求解.
解:
设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共12个:
(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为P(A)=
.
(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率为=
.
【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的,只是几何概型的基本事件有无限个,而古典概型的基本事件有有限个.在具体问题中,不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型.
例6已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:
先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989.
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(B)
A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15
【分析】本题的20组模拟数中,恰好两次命中(即含有两个1-4)的有5组:
191271932812393,所得概率为0.25.
【评析】利用随机数模拟实验可以节约大量的人力物力.利用计算机模拟求概率实质上是利用统计结果近似,需要大量实验.本题若按照独立事件求得概率为0.288,与统计结果有差距,要正确理解这一差距的原因.
练习10-1
一、选择题
1.下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的()
A.频率就是概率
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
2.从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有一个白球,都是白球
B.至少有一个白球,至少有一个红球
C.恰有一个白球,恰有两个白球
D.至少有一个白球,都是红球
3.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为()
A.
B.
C.
D.
4.电子钟一天显示的时间是从00:
00到23:
59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为()
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5.甲、乙二人做掷骰子游戏,两人掷同一枚骰子各一次.则至少出现一个5点或6点的概率是________;如果谁掷的点数大谁就取胜,则甲取胜的概率为________.
6.一个袋中装有3个红球和n个白球,从中任取三个,已知取出的球至少有一个是白球的概率为
,则n的值为________.
7.在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率__
_______.
8.已知一组抛物线
,其中a为2、4、6、8中任取的一个数,b为1、3、5、7中任取的一个数.从这些抛物线中任取两条,它们在x=1处的切线平行的概率是__
______.
三、解答题
9.已知集合A={-4,-2,0,1,3,5},在平面直角坐标系中点M(x,y)的坐标满足x∈A,y∈A.
计算:
(1)点M恰在第二象限的概率;
(2)点M不在x轴上的概率;
(3)点M恰好落在区域
上的概率.
10.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.
11.已知袋中有编号1-9的小球各一个,它们的大小相同,从中任取三个(不放回),
(1)恰好有一球编号是3的倍数的概率;
(2)至少有一球编号是3的倍数的概率;
(3)三个小球编号之和是3的倍数的概率.
专题十统计概率
练习10-1
一、选择题
1.C2.C3.D4.C
二、填空题
5.
6.47.
8.
三、解答题
9.解:
(1)点M的横坐标为负,有2种选法,纵坐标为正,有3种选法,共6种选法所述概率为
;
(2)只需点M的纵坐标不为0,所以点M的取法有30种,所求概率为
;
(3)符合题意的点M有(5,5),所求概率为
.
10.解:
(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,
那么
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
.
(2)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么
所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
.
11.解:
(1)设恰好有一球编号是3的倍数的概率为P(A),则
;
(2)设3个小球的编号都不是3的倍数的概率为P(B),则
,所求概率为
;
(3)3个小球编号之和为3的倍数的有(1,2,3)(1,2,6)(1,3,5)(2,3,4)(1,2,9)(1,3,8)(1,4,7)(1,5,6)(2,3,7)(2,4,6)(3,4,5)(1,4,10)(1,5,9)(1,6,8)(2,3,10)(2,4,9)(2,5,8)(2,6,7)(3,4,8)(3,5,7)(4,5,6)(1,7,10)(1,8,9)(2,6,10)(2,7,9)(3,5,10)(3,6,9)(3,7,8)(4,5,9)(4,6,8)(5,6,7)(2,9,10)(3,8,10)(4,7,10)(4,8,9)(5,6,10)(5,7,9)(6,7,8)(5,9,10)(6,8,10)(7,8,9)(8,9,10)共42组
所求概率为
.
§10-2统计
【知识要点】
1.随机抽样
总体、个体、样本:
把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体,构成总体的每一个元素称为个体,从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本.
随机抽样:
抽样时,保证每一个个体都可能被抽到,且每个个体被抽到的机会均等,满足这样条件的抽样为随机抽样.
简单随机抽样:
从元素个数为N的总体中,不放回的抽取容量为n的样本,如果每一次抽样时,总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫简单随机抽样.
系统抽样:
当总体个数很大时,可将总体分成均匀的若干部分,然后按照预先制定的规则从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本,这种抽样的方式叫做系统抽样.
分层抽样:
当总体由有明显差异的几部分组成时,将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫做层,在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样,这种抽样方法叫做分层抽样.
三种抽样方法的比较:
类别
共同点
各自特点
联系
适用
简单
随机
抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
(2)每次抽出个体后
不再将它放回,即不放回抽样
从总体中逐个抽取
总体个数较少
系统
抽样
将总体均分成几部分,按预先制定的规
则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机
抽样
总体个数较多
分层
抽样
将总体分成几层,分层进行抽取
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.用样本的频率分布估计总体的频率分布
常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数据,观察样本数据的特征,从而估计总体的分布情况.
频率分布(表)直方图的画法步骤:
(1)计算极差(用样本数据的最大值减去最小值);
(2)决定组数与组距(组数×组距=极差);
(3)决定分点;
(4)列频率分布表;
(5)绘制频率分布直方图.
易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率,所有小长方形面积之和等于1.
频率分布折线图:
连结频率分布直方图各个长方形上边的中点,就得到频率分布折线图.
总体密度曲线:
随着样本容量的增加,分组的组距不断缩小,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线,这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律.
茎叶图:
茎指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.在样本数据较少时,茎叶图表示数据的效果较好.它的突出优点是:
统计图中没有原始数据的损失,所有的数据信息都可以从茎叶图中得到;茎叶图可随时记录,方便表示.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本数据的平均数:
如果有n个数x1,x2,…,xn,那么
叫做这n个数的平均数.
标准差:
样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,其中
.
方差:
标准差的平方s2叫做方差.
.
4.两个变量间的关系
散点图:
两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来,这些点对应的图形叫做散点图.
线性相关:
若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动,则这两个变量可近似看成具有线性相关关系.
回归直线方程:
从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条直线附近,则这条直线叫做这些数据点的回归直线方程,记作
=bx+a,其中称b为回归系数.
最小二乘法:
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数组
(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),求得
,
,这时离差
最小,所求回归直线方程是
.这种求回归直线的方法称为最小二乘法.
【复习要求】
1.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样方法;
2.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点;
3.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算样本数据平均数、标准差,并给出合理解释;
4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想;
5.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
【例题分析】
例1某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1-5号,6-10号,…,196-200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________,若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人.
【分析】由已知系统抽样的组距为5,所以相邻组间的号码相差5;由饼形图可知200名职工中,50岁以上人数;40-50岁人数;40岁以下人数=2∶3∶5,总样本为40人,分层抽样抽取每层人数比例为2∶3∶5.
解:
37;20.
【评析】系统抽样的特征是等距,也就是只要在一组内选定号码,其余各组的号码随之选定,所选相邻号码的间隔为组距.分层抽样的特征是按比例抽取,也就是每一层所选人数占总选出人数的比例与每层人数占总人数的比例相等.抽样是统计分析的重要部分,最常用的抽样方法是简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,抽样时每个个体被抽到的可能性相等.简单随机抽样常用抽签法和随机数表法.
例2对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命(h)
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500)
[500,600)
个数(个)
20
30
80
40
30
(1)列出频率分布表:
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计电子元件寿命在[100,400)以内的概率;
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率.
【分析】按要求列表、绘图,并用样本的分布估计总体的分布.
解:
(1)频率分布表:
寿命(h)
频数
频率
[100,200)
20
0.10
[200,300)
30
0.15
[300,400)
80
0.40
[400,500)
40
0.20
寿命(h)
频数
频率
[500,600)
30
0.15
合计
200
1.00
(2)
(3)P=0.10+0.15+0.40=0.65.
(4)P=1-0.65=0.35.
【评析】频率分布表和频率分布直方图是用统计的方法对样本数据加以概括和总结.列频数分布表时,要区分频数和频率的意义,画频率分布直方图时要注意横、纵坐标代表的意义
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