弹性力学有限论文.docx
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弹性力学有限论文
弹性力学有限元论文
系别:
专业:
姓名:
学号:
土木工程系建筑工程何鑫哲
143109086
弹性力学有限元位移法原理
一、有限单元法的起源
有限单元法的形成可以追溯到20世纪50年代甚至更早些时间,基本思路来源于固
体力学中矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。
对不同结构的杆系、
不同的载荷,用矩阵位移法求解都可以得到统一的公式。
在1952-1953年期间,
R-W-Clough和M・J•Turner在分析飞机三角翼振动问题时,提出了把平面应力三角形或矩形板组合起来表达机翼刚度的方法,当时被称为直接刚度法。
1956年
M-J-Turn
er,R-W-Clough,H-C-Martin,L•J•Topp在纽约举行的航空学会年会上发表论文《Stiffnessanddeflectionanalysisofcomplexstructures》(复杂结构
的刚度和变形分析)介绍了这种新的计算方法,从而将矩阵位移法推广推广到求解弹性力学平面应力问题。
它们把平面板壳结构划分为一个个三角形和矩形的“单元”,
利用单元中近似位移函数,求得单元节点力与结点位移关系的单元刚度矩阵。
1960
年,R-W-Clough在论文《Thefiniteelementinplanestressanalysis》(平
面应力分析的有限元法)中首次提出了有限单元(FiniteElement)这一术语,他也因此被称为“有限单元之父”
二、有限元法的基本思想
有限元法是一种结构分析的方法,正如0・C-Zienkiewicz所说的:
“人类思维的限
制在于不能通过一步运算就掌握复杂环境和事物的行为。
因此,先把所有系统分解为它们的元件或单元,这些元件的行为已经被充分的了解,再把元件重新组装成原来的系统来研究系统的行为”。
可以看出有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组合体来加以分析。
三、有限单元法的数学基础
当有限单元法成功的应用于求解弹性力学平面问题之后,下一步要解决的问题就是能否把这种方法应用于求解其他连续介质问题。
在寻找连续介质问题近似算法的时候,数学家们发展了微分方程的近似解法,包括有限差分方法,变分原理和加权余量法。
四、有限元分析的基本步骤
⑴建立研究对象的近似模型
⑵将研究对象分割成有限数量的单元
⑶用标准方法对每一个单元提出一个近似解
⑷将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统
⑸用数值方法求解这个近似系统
⑹计算结果处理与结构验证
五、一维杆的有限位移法分析
本文以一维直杆的分析为例子,研究有限元位移法基本原理和求解过程。
⑴虚位移原理推到一维直杆单元的刚度方程
如下图所示一维直杆,已知直杆杆长为L,横截面积为A,材料弹性模量为E,所受轴向分
布载荷集度为q(x)。
杆端位移分别记为Ui,Uj,杆端力分别记为Si,Sj。
Ui
SjUj
Xa
设局部坐标系下杆中A点的坐标为Xa,因为只有两个边界条件
u,Uj,因此杆轴任意
(例
如A点)的位移可假设为
u=ua=abx⑴
式中a,b为待定常数。
它们可由杆端位移条件来确定:
将式⑵代入式⑴可得:
a=5b=
Uj-Ui
⑵
L
X
X
—)Ui
L
LUj
⑶
若引入无量纲变量:
则式(3)可改写成:
f
Ni
n
Ui
=Nu
Uj
式中
Ni
称为形函数,矩阵N称作形函数矩阵;矩阵Ue称为杆端位移矩阵或节点位移矩阵。
由式(4)可以看出,形函数具有如下性质:
1、本端为1,它端为零
Ni(0)=1Nj(0)=0
叫⑴=0Nj
(1)=1
2、
任意一点总和为1
Ni()g()=1
现采用虚位移原理给出该杆单元的特性公式,设杆端
i,j分别产生虚位移、Uiuj,由
此引起的单元内任意一点的虚位移为:
Ui
Ue
du
dN
dNi
dNj1
-
1
11
-ue
-|
ue=I"
—
—
dx
dx
dx
dx
L
L一
=〔B1
B2】u
式中B为应变矩阵。
Ue
e=BUe
由此可得—=Bue
Ue
根据虚位移原理:
对任意虚位移,
外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功,
即W外二W变所以有
L丁
0qxudx二Sue0qxNuedx
L
J。
q(x)Ndx)6ue
L
=(SqxNTdx)Tu
L
Adx
ueTBTEABuedx二ueT(BTEABdx)、ue
0'0
可得:
—TTTT
(S0qxNdx)ue=ue(oBEABdx)ue
即
TT
Ndx)
Ue
T
BEABdx)
若记
xNTdx
LBTEABdx
0
e
FE称为该杆单元等效节点载荷;Ke局部坐标单元刚度矩阵。
所以可得单元刚度方程:
式中单元刚度矩阵的显式为:
EA1-1
Ke=
-11
L_-11
可见单元刚度矩阵具有对称性。
即单元刚度矩阵的每一个元素可写成
ldNjdNik卄吕ldx
j0dxdx
二、分析与计算
1、图示两个结构和单元相似,方位相同的平面应力有限元模型,两模型的单元厚度和材料
相同。
两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。
对于下列2种情况,试根据有限元法和力学
有关知识来分析两个模型求解后对应节点的位移值和对应单元的应力值之间的关系:
1)两
个模型面力的合力相等;2)两个模型面力的集度相等。
(10分)
解:
建立坐标系如图所示,对(a)图,各节点坐标
点号
x坐标
y坐标
点号
x坐标
y坐标
1
40
0
4
20
20
2
40
20
5
0
0
3
20
0
6
0
20
单兀节点信息数组可记为
6
5
3
3
4
6
4
3
1
1
2
4
单元①,面积A11=0.52020=200,由式
ai
6
Ci
=Xjym
=yj-ym
=Xm_X
-Xmyj
j
卜i,j,m
(a)
可得
bi
=0
G=20
b2
—
-20
c2=-20
b3
—
20
C3=0
由式Bj=
2A
L
bi0
0ci
i,j,
m(b),
单元几何矩阵为
cib
一
对(b)各节点坐标
点号
x坐标
y坐标
点号
x坐标
y坐标
1
20
0
4
10
10
2
20
10
5
0
0
3
10
0
6
0
10
00-20
B()=丄0200
400
200-20
020
-200
-200
20
1
20
r~
14
0
■1
0
01
E
D—2
卩1
0
,可得D
=E
0
1
0
1-卩
00
1-k
0
0
0.5
■
2
为了计算简便,可设
卩=0且为单位厚度,弹性矩阵大为简化,由式
-1
e
由式
-10
0-1
-1-1
■0
0
-20
0
20
0〕
0
-202
0〕
s()EI
0
20
0
-20
0
0
EI
2
0-20
0
400
10
0
-10
-10
0
10
401
0
-1-10
由式Ke=t
fB
eTDB
e
dC
=tAB
eTDB
e(d),单元①的单元刚度矩阵为
=D;
e.ee弋e
=DBS门
(c),得单元的应力矩阵
'■J
(1)
二tAB⑴TS⑴二E
4
0
-1
-1
0
1
2
0
-2
0
0
0
3
1
-2
-1
-2
1
3
0
-1
0
-2
0
2
0
0
-1
-1
0
1
■1
0
-1
-1
0
(4)
(3)
(1)
根据单元刚度矩阵的性质可得
(2)
K
单元节点信息数组可记为:
653
346
431
124
单元①,面积A("二0.510
10
=50,由式(a)
可计算出
bi
Ci二10
b2
二-10
b3
二10
由式(b),单元几何矩阵为
■0
0
-10
0
10
01
0
0
-10
1
0〕
0
10
0
-10
0
0
1
0
1
0-1
0
0
10
10
0
-10
-10
0
10
1
0
-1-1
0
1
B1=丄
100
由式(c)得单元的应力矩阵
同理由单元刚度矩阵的性质可得
(2)
K二K
(3)
(4)
K(
(1)
K(
"00-10
0
10
01
■0
0
-2
0
2
0〕
E
0100
-10
0
0
E
0
2
0
-2
0
0
—
100
i
50—5
-5
0
5一
20
1
0
-1
-1
0
d)得单元①的单元刚度矩阵
-
1
0
-1
-1
0
11
0
2
0-2
0
0
(1)
nr
(1)^
(1)
E
-1
0
3
1
-2
-1
K
=tABS
=
4
一1
-2
1
3
0
-1
0
0
-2
0
2
0
1
0
-1
-1
0
1
由式(
S1二
综上可知,两个模型中的单元刚度矩阵均相同,所以它们的总刚度矩阵也相同,即
:
(3)
k11
(4)
k(4)
k12
ki(33)
k(3)
k14
(4)
0
(4)
(4)
(4)
k
21
k22
0
k
24
0
(3)
,⑴…
(2)
(3)
(2)
(3)
(1)
k
31
0
k33+k33
+k33
k34
+k
34
k35
(3)
(4)
(4)
(2)
(3)
(2)
(3)
(4)
k41
+k
41
k42
k43+k
43k
44+k
44
+k44
0
(1)
一
(1)
(1)
0
0
k53
0
k55
k56
(1),
(2)
(2)
(1)
(1)
-
0
0
k63+k
63
k64
k65
k
66+
■3
0
-1
-1
-2
0
0
1
0
0
0
0
0
3
0
-2
-1
-1
1
0
0
0
0
0
-1
0
3
1
0
0
-2
-1
0
0
0
0
-1
-2
1
3
0
0
0
-1
0
0
0
0
-2
-1
0
0
6
1
-2
-1
-2
0
0
1
0
-1
0
0
1
6
-1
-4
-1
-1
1
0
0
1
-2
0
-2
-1
6
1
0
0
-2
-1
1
0
-1
-1
-1
-4
1
6
0
0
0
-1
0
0
0
0
-2
-1
0
0
3
1
-1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
3
-1
-2
0
0
0
0
0
1
-2
0
-1
-1
3
0
0
0
0
0
1
0
-1
-1
0
-2
0
3
当两个模型面力的合力相等,它们的载荷列阵都为
F
P
2
V5
V6
位移列阵为
U2
V2
U3
v3u4v400
oT
位移约束条件为u5=v5
形成整体平衡方程KS=F
二U6二V6=0,将此约束条件引入整体刚度方程,对其用“化
一置零法”处理。
即K〔”二F
'3
0
-1
-1
-2
0
0
1
0
0
0
0]
-
■01
0
3
0
-2
-1
-1
1
0
0
0
0
0
v
P/2
-1
0
3
1
0
0
-2
-1
0
0
0
0
U2
0
-1
-2
1
3
0
0
0
-1
0
0
0
0
V2
P/2
-2
-1
0
0
6
1
-2
-1
0
0
0
0
U3
0
0
-1
0
0
1
6
-1
-4
0
0
0
0
V3
0
0
1
-2
0
-2
-1
6
1
0
0
0
0
U4
0
1
0
-1
-1
-1
—4
1
6
0
0
0
0
V4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
.0一
由上式可知在这种情况下,
两种模型求解后对应节点的位移相等。
有整体节点位移获取
单元节点位移,所以对应的单元节点位移也相等。
以单元①为例,两种模型应力矩阵的关系Sj=2S(?
),又由{b}=[S]{6}可得,模型
(b)中单元①的应力是模型(a)的2倍,其它单元可得到类似的结论。
当两个模型面力的集度相等,可设模型(a)
右端受剪力的合力为2P,模型(b)右端
F(a)
-10
P
0
P00
0
-
P
P
F(b)
2
0
00
2
0
由上述内容可得
F(a)
=2F
(b),
进而可知(
a)
受剪力的合力为P,则两种模型的载荷列阵分别为
0U5V5U6V6]T
0U5V5U6V6
模型中对应节点的位移是(b)模型的2
倍。
在单元①中,S(
(1)=2S(?
),所以由la}=[sK§}可知模型(a)和模型(b)中单元①
的应力相等,其他单元可类似说明。
2、证明平面冋题三节点三角形单兀发生刚体位移(小位移平动和转动)时,单兀中将不产
生应力。
(10分)
证明:
三节点三角形单元位移模式选取一次多项式:
在
(1)的1式中带入节点i的坐标(Xi,yi)得到节点i在X向的位移ui,
同理可得,
Ui二M■'-2^1
uj二■-pXj--3yj
(2)
Um*爲Xm'Jm
解
(2)式可得到广义坐标由节点位移表示的表达式:
1
(auaM2A
1
(biUibjUj2A
1
(QUiCjUj2A
1
(ayajVj2A
1
(biVibjVj2A
1
(CVCjVj2A
将求解的广义坐标(
amUm)
2
■3
■4
■5
6
bmUm)
CmUm)
amVm)
bmVm)
CmVm)
3)式代入
(1)
U=NjUiNjUjNmUm
V=NjViNjVjNmVm
(4)
(3)
式,可将位移函数表示成节点位移的函数
式中
1
N二(ai-bx-Ciy)2A
式(4)写成矩阵形式为
(i,j,m)
(5)上式中A
1
(ai'aj'am
2
0
Ni
i
Nj
0
Nm
0
li
ui
Vi
Uj
Vj
Um
Vm
INiINj
INm
ai
aj
,二NiNjNm
e=Nae
(6)
确定了刚体位移后,可以很方便的求得单元的应变和应力。
由此可知,单元应变
=LU“OL"叫Nja^-Bi
Bj
Bm
ee
aBa
B称为应变矩阵,L是平面问题的微分算子。
应变矩阵B的分块矩阵
11
l
cNi〕
——0
——0
Cx
Cx
:
Ni01
cNi
0——
=
0
]0N-
cc
cNicNi
|_CyCX
i
心yCx
(i,j,m)
Bi=LNi
(8)
对(5)式求导得:
1
=ci
2A
(9)
代入(8)式得到:
1
bi
2A
_bi0〕
0ci
(i,j,m)
(10)
bi
三节点单元应变矩阵是
[
bi
0
bj
0
bm
01
B11
Ci
c
Cj
c
Cm
Bi
Bj
Bm-
2A
0
0
0
L
Ci
bi
Cj
bj
Cm
bm
B
(11)
式中$,bj,bm,Cj,Cj,cm是单元形状的参数。
当单元节点坐标确定后,这些参数都是常
数,因此B是常量阵。
当单元的节点位移ae确定后,由B转换求得的单位应变都是常数,
也就是说在载荷作用下单元中各节点具有同一的
;x值,;y值及xy值。
因此,三节点三角
形单元称为常应变单元。
应变应力可根据物理方程求得:
iee
二y=D;-DBaSa
xy
(12)
其中S二DB二D
BiBjBm二SiSjS
S成为应力矩阵。
将平面应力弹性矩阵及式(11)代入式(12)可以得到计算平面应力问题的单元应力矩阵。
S的分块矩阵为
Eo
2
2(1i。
)A
bj
obi
1_vo
hCi
'■-oci
Cj
1…■0I
bi
2
(i,j,m)
(13)
其中Eo,"为材料常数。
对于平面应力问题Eo=E,、..0
与应变矩阵B相同,应力矩阵S也是常量阵,即三节点三角形单元中各节点的应力是相同的。
因此,平面问题三节点三角形单元发生刚体位移(小位移平动和转动)时,单元中将不产生应力。
3、证明20节点六面体等参元在Jacobi行列式为常数条件下的完全(精确)高斯积分方案是3X3X3阶。
(10分)
证明:
单元刚度矩阵形式
k=BTDBdV(a)
v
式中的微分体积dV用dE,dn,dZ表示。
将dV取为三个微分矢量dE,dn和dZ所成平行六面体的体积。
在整体坐标系中,各微分矢量表示为
-dk
:
:
x
di
2Z
于是
:
z
:
z
:
:
z
上式可记为
式中,
J是Jacobi
矩阵J行列式,即
£Y
jz
二常数
于是单元刚度矩阵(
a)改写为
f
』1
』1
J
1
ii
BTDBddd
对于三维数值积分,则有
111
I「—J,,ddd
nnnn
:
?
77.HiHjHmFi,j,\HijmF'i,j,'m
m土jTimm,j,i
n阶高斯积分公式对(2n-1)次多项式被积函数可求得精确积分。
保证单元刚度矩阵精确积分的积分阶选择,基本考虑是保证被积函数所有项次精确积分,这种积分方案称为完全积分。
所以如果F:
•八*「m,且i,j,m乞2n-1,则上式给出精确的积分结
果。
对于20节点六面体等参单元,在
dn,dZ和各个不同方向上,选取2个积分点,
即得到精确高斯积分方案是
3x3X3。
4、图示一个一维直杆问题,杆的截面积为
A,弹性模量为E。
杆受线性变化的轴向线分布力
q=cx。
试构造一种三次杆单元(单元有
4个节点,节点间隔均匀,形函数可以由形函数
性质直接构造或采用拉格朗日插值多项式)
求解该问题,整个杆用1个单元离散化。
解出节
并将有限元解与精确解作比
点位移后,由单元有关方程导出单元上位移和应力的分布函数,较。
(10分)
假设位移场,在单元内假设位移场应是二次多项式,即:
2
u=qb2xb3x
其中,b为待定参数(称为广义坐标)。
为方便计算,采用题图所示的局部坐标系,则有
单元①u=b1■b2s■b3s2
对单元①来说,在上面的式中分别代入节点1、2、3、4的坐标,可得节点1、
在x方向上的位移山、u2、u3、u4,即:
卢2
6=6+b2Xt+b3Xt
2
u2=S+b2x2+b3x2
2
u3=bi*b2x3*b3x3
2
其中,
H=bi+b?
X4X4
X4二L。
-b3si
2
b3S2
bsS;
用局部坐标系表示为:
比=6b2吕
U2=bib2s2
u3—b1b2S3
2
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